1、 专题一：求解通项公式（1）观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） （3）,1764,093,521（4）,5,34,解：（1）变形为：10 11，10 21，10 31，10 41， 通项公式为： 10na（2） ;2na（3） ;1n（4） .点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 )(na（2） 定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例 2： 已知数列a n是公差为 d 的等差数列，数列 bn是公比为 q 的(qR 且 q1) 的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且 a1 = f (d1) ，a 3 = f
2、 (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1) ，(1) 求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2) 2，a 3 = f (d+1)= d 2，a 3a 1=d2(d 2) 2=2d，d=2，a n=a1+(n1)d = 2(n1) ；又 b1= f (q+1)= q2，b 3 =f (q1)=(q2) 2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，b n=bqn1 =4(2) n113)(b（3） 公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na。1,()na例:3：(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列 的
3、前 n 项和为 满足 1 且 6 =nSnSn 求 的通项公式。(12nNna解：由 = 解得 =1 或 =2，由已知 1，因此 =2 又aS1()261aa1a由 = 得1nn()()26nn=0 0 1()(3)13从而 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，故 的通项为 =2+3(n-1)=3n-1.na nan小扩展：已知 求 ，用作商法：12()nafA na(1),2)nfan（3）迭加法：若 求 ： 。1()nfn1221()()(nna (例 4：已知数列 满足 ， ，求 。a21an解：由条件知： 1)(1 nn分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n)()( 1
4、3412 naaa)1()所以 nn1，2an23（4）迭乘法：已知 求 ，用累乘法：1()nafa121naa ()n例 5设 是首项为 1 的正项数列，且，求它的通项公式 .解析：由题意 ， ， ， ，又 ，当 时， ，当 时， 符合上式 .（5） 倒数法：形如 的递推数列都可以用倒数法求通项1nakb例 6：已知数列 ， = ， ，求 =？n11nnNna解：把原式变形得 两边同除以 得1nnaa1n1n 是首项为 ，d= 的等差数列故 。1na ()nna（6）构造等比数列法: ）（1）递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ） 。pann1 )01(pq解法：把原递推公式转化为： ，
5、其中 ，再利用换元法转化为)(1tatnnt等比数列求解。（2）递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ） 。 nnpa1 )01)(qp（或 ,其中 p，q, r 均为常数）1narq解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得：1nqpqnn1引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再应用类型 3 的方法解决。nbnaqbpnn11（3）递推公式为 （其中 p，q 均为常数）nnp12解法：先把原递推公式转化为 )(112nsatsa其中 s，t 满足 ，再应用前面类型 3 的方法求解。qt例 7：(2006.重庆.14）在数列 中，若 ，则该数列的通na11,2
6、3(1)na项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jna例 8. 已知数列 中， , ，求 。n511)2(3nn n解：在 两边乘以 得：11)2(3n 1)(31aa令 ，则 ,应用例 7 解法得： 所以ab21nnbnnb2n)(例 9：（06 福建理 22）已知数列 满足 =1， = ( )，求数列na11na2nN的通项公式。na（6） 数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明专题一：通项公式的练习1.（2010 全国卷 2）(6)如果等差数列 na中， 3+ 4+ 5a=12，那么 1+ 2a+ 7=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D)
7、352.（2010 安徽）(5)设数列 n的前 n 项和 2nS，则 8的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011 年高考四川)数列 na的首项为 3， nb 为等差数列且 1(*)nnbaN .若则 32b， 10，则 8( ） A ）0 （B）3 （C）8 （D）114.(2011 年高考全国卷设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ，nSn12d，则 A）8 （B）7 （C）6 （D）524AnSk5.（ 2009 广 东 卷 理 ） 已知等比数列 na满足 0,2,n ，且5(3)na，则当 1时， 21231logllogna A. (1 B. ()
8、C. D. 2()6.（2009 陕西卷）设等差数列 na的前 n 项和为 ns,若 6312as,则 na 7. (2011 广东卷)等差数 列 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 ，则 40kk8. 则其通项为1,31an9（2009 宁夏海南卷理）等差数列 na前 n 项和为 nS。已知 1ma+ -2m=0， 21S=38,则 m=_10.重庆卷理）设 a， 12na， 21nba， *N，则数列 nb的通项公式nb= 11等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列，n nS931,求数列 的通项公式.25aS12 已知数列 的前 项和 满足 求数列 的通项nnS,)(2
9、anna公式。13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113nna， n14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n1136nn， n16 知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na17 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n1 1(4)6nnn， n18 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11723na， na答案及详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。 34512a， 4a127174()28aa2.【答案】 A【解析】 87695S.【方法技
10、巧】直接根据 1(2)nnaS即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知 由叠加法128,8,nnb.2137 81()()()64204603aaaa4【答案】D【解析】 2211()()kkSkdakd故选 D。1()ad()4255【解析】由 253n得 na2， 0，则 n2， 3212logl12 )1(logn ，选 C. 6 解析:由 6as可得 的公差 d=2,首项 =2,故易得 na2n.答案:2n7【答案】10【解析】由题得 106031)(2489kddk8 解：取倒数： 11nnnaa是等差数列，na13)1(1nan 3)1(n21na9 解析由 1m+ - 2m=0
11、得到 122210, 13810mmaaSa又。答案 1010 解析 由条件得 11221nnnnaab b且 14所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 142nb11 解：设数列 公差为na)0(d 成等比数列， ，931, 9123a即 8()(12d ， 0 25aS 211)4(25d由得： ，31d nn5)(5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。12 解：由 1211aSa当 n时，有 ,)1(2)(21nnnnaS1(),21nn， .1221()nna.)1(233)()(11nnn 经验证 也满足上式，所以a
12、 )1(23nna13 解：由 得 则121nnnn12321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 1.na14 解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nna， 0na12()5nn132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnna 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna15 解：设 1152()nnxx将 代入式，得 ，等式两边消去123nna 13525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得1525nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na152na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，
13、则 ，故1 1n1n16 解：由 及 ，得1228(1)3nna189a212234228(1)82439538()()981480391aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。21()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak222222222()()138()1()(1)()3()1()kkkkkk由此可知，当 时等式也成立。1nk根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN17 解：令 ，则14nnba21()4nb故 ，代入 得211()nna14)6nnna2211()4()
14、46nnnbb即 2213n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn可化为 ，1()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数3n11432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得2()nnb()nb4()3na。2()343nna18 解：令 ，得 ，则 是函数 的不动点。72x240x1x31()47xf因为 ，所以1513nnna。2()34nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列 的通项公式。na以上均为个人见解，如有不当之处，请见谅！
