1、1数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明 在 平面上处处不可导。Rez证明：令 。 ， 。uivRezx,0uv， ， 。1x0yvy于是 与 在 平面上处处不满足 CR 条件，uvz所以 在 平面上处处不可导。Re2、试证 仅在原点有导数。2fz证明：令 。 。uiv222,0fzxyuxyv。 。2,xyv所以除原点以外， 不满足 CR 条件。而 在原,u,uvxyx点连续，且满足 CR 条件，所以 在原点可微。fz。000xxyyuvufii或： 。2*000limlilimzzxyf i。2*0000lilili()zz z z 【当 ， 与趋向有关，则上式
2、中 】,ire*2ie *1z23、设 ，证明 在原点满足 CR 条件，但332()z0() =0xyifzzf不可微。证明：令 ，则,fzuxyiv，3220, =0。322(,)0xyv，300(,),(,)limlim1xx xuu；300(,),(,)liliyy xy，300(,),(,)lili1xx xvv。300(,),(,)limlimyy xy,(,)(,)(,)xyyxuvuv在原点上满足 CR 条件。()fz但 。33200()()limlizzfxyi令 沿 趋于 ，则ykx333343432 2 20()1()1(1)li )ziykikik依赖于 ， 在原点不可导
3、。k()fz4、若复变函数 在区域 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D3上必为常数。D（1） 在区域 上为实函数；zfD（2） 在区域 上解析；*（3） 在区域 上是常数。Rezf证明：（1）令 。(),)(,)uxyiv由于 在区域 上为实函数，所以在区域 上 。zfDD(,)0vxy在区域 上解析。由 CR 条件得()， 。0uvxy0uvx在区域 上 为常数。从而 在区域 上为常数。D(,)yzfD（2）令 ，则 。)(,)fzuxiv*(),)(,)uxyiv在区域 上解析。由 CR 条件得(。 （1）,uvvxyx又 在区域 上解析，由 CR 条件得*()fzD。 （2）,uv
4、xyx联立（1）和（2） ，得。0uvxy在区域 上均为常数，从而 在区域 上为常数。,D()fzD（3）令 ，则 。,fzuxyivRe,uxy由题设知 在区域 上为常数， 。, 04又由 CR 条件得，在区域 上D，于是 在区域 上为常数。0,0vuvuxyxv在区域 上均为常数，从而在区域 上 为常数。,D()fz5、证明 不能成为 的一个解析函数的实部。2xyz证明：令 ， 。2u202uxxy不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为 的一个解析函数的z实部。6、若 ，试证：zxiy（1） ；sncoshsinhyxy（2） ；czx（3） ；22siisiy（4） 。conhzx证明：（1
5、） si()sico()sin()yxiyxy，c)o,h。sincshsizxyxy（2） co()()ni()i，s,sniiyy。cchhzxix（3） 222sin(ios)(csi)yy22sincohsinhxyxy1nxx。222222si(ics)ihsiiyxy5（4） 22222cos(cosh)(insh)coshsinhzxyxyxyxy1i222cssisxyxy。22o(n)hcosinhy7、试证若函数 和 在 解析。 ，fz0z000,fzz则 。 （复变函数的洛必达法则）00limzf证明：。0 0 0 00000()()li() ()()limlilimz
6、z z zzfff ff 或倒过来做。8、求证： 。0sinl1z证明： 。00(si)imllimcos1zzz第二章习题解答9、利用积分估值，证明a 积分路径是从 到 的2ixydz i右半圆周。b证明 积分路径是直线段。2iz证明：a （方法一）224i i ixydzxydzxydz。4242()i i （方法二）在半圆周 上， ，1xy22,1xy6从而 424242xyxy在半圆周 上， ， ，21421ixy4max1cy。22i i i ixydzxydzxydz或： 。24mai cb证: 2 22111xxaxzxizxi。22ai zxid10、不用计算，证明下列积分之值
7、均为零，其中 均为圆心在原点，c半径为 的单位圆周。1a ； b 。cosdzA256zced证明：a 的奇点为 ，由于 ，所以它们均1z1,0,nzn 1nz不在以原点为圆心的单位圆内。在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。1cosz由柯西定理: 。0cosdzAb 的奇点为 ， ，它们均不在以256(2)3zzee12z3z原点为圆心的单位圆内。在以原点为圆心的单位圆内处处解析。256ze由柯西定理: 。 205zcedA711、计算a ；b 。21:2czdczA21:2czdczA解: a 在 所围区域内解析，且 在 所围区域内。2 由柯西积分公式得。2211()24zczdiii
8、Ab 在 所围区域内解析，且 在 所围区域内。2z 1z2由推广的柯西积分公式得。22 11124236zc zzdiziiiA12、求积分 （ ） ，从而证明 。zce: cos0ined解: 在 所围区域内解析，且 在 所围区域内。ze1z1由柯西积分公式得 。 （1）02zzcediiA在 上令 ， ，则cizcosinizecddAcosinsiied，cos cosiii cos02iie其中利用了，由于 是 的奇函数，而 是cosine cosin的偶函数，所以， 。cosin0ed cos cos0in2ineded8。 （2）cos02inzcedidA从而，联立（1）和（2）
9、 ，得。cos0ined13、由积分 之值，证明 ， 为单位圆周 。2cz012cos054dc1z证明： 在单位圆周 所围区域内解析。由柯西定理:1z。 （1）0cdzA另一方面，在 上 ， ，cize222iiiccdz eded11cosin544iiei i （2）2cossn54cidd为 的奇函数，n（3）si0co由（1） 、 （2）及（3）得。 （4）s54cd又 的偶函数，o为。 （5）012s12cosc54d于是由（4）和（5）得。0oscd14、设 ，证明积分264zFcFzdAa.当 是圆周 时，等于 ；21xy09b.当 是圆周 时，等于 ；c21xy4ic.当 是
10、圆周 时，等于 。2证明： 的奇点为 及 。2642zzF1z2a.当 是圆周 时， 及 均在圆外， 在圆内c21xy12Fz解析。由柯西定理: 。60czdzAb.当 是圆周 时，仅 在圆内。由柯西积分公式c21xy12得 。2664c zzdziii Ac.当 是圆周 时，仅 在圆内。由柯西积分公式21xy得 。26612c zzdziii 第三章习题解答15、求下列级数的收敛半径，并对 c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。a. ； b. ； c. （ 为常数） 。1nz1nz0knz解: a. 。limlilinnnRb. 。1lili0nc. 。limli11kknnR或 。lilik
11、nkn10【 （洛必达法则） 】11lnlimixxeln1imi0xx在收敛圆周 上， ，级数成为 。zize0kine， 它的通项 在 时，不趋于 。0kkin故级数 发散。0kine16、试求下列级数的收敛半径。a. ；b. ；c. 。!0nz0!nz00,nzabi解: a.当 时，级数收敛。1!1! !limlilim1nn nzzz当 时，级数发散。!lin亦即当 时，级数收敛。而当 时，级数发散。1z1z于是收敛半径 。Rb. 。11! 1limlimlilimnnnnn nR ec. ， 。lina122lilinnnRabab又因为 ，且 ，122x, x,nb12lin故 。12lima,nn于是所求级数的收敛半径 。ma,Rb或： ， 。1linRa22linn
