1、第 3034 课时： 参数取值问题的题型与方法（）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 1已知当 x R 时，不等式 a+cos2x3 即 a+245aa上式等价于 或 ，解得 a0,( t 1,1)恒成立。设 f(t)= 2t2 4t+4 a+ 则二次函数的对称轴为 t=1,f(x)在 1，1内单调递减。只需 f(1)0,即 a 2.(下同)45a例 2已知函数 f(x)在定义域（ ，1 上是减函数，问是否存在实数 k，使不等式
2、 f(ksinx) f(k2 sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 k sinxk 2 sin2x1 对于任意 xR 恒成立，这又等价于对于任意 xR 恒成立。)2()1(sin41222xk不等式（1）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2(1+sin 2x)min=1,即 1k 1-(3)不等式（2）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2 k+ (sinx )2max= ,4149即 k 1 或 k2,-(4)由（3） 、 （4 ）求交集，得 k= 1,故存在 k= 1 适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记
3、号。例 3设直线 过点 P（0，3） ，和椭圆 顺次交于 A、B 两点，试求 的l xy294APB取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的APBx根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路 1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量APBx，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线 AB 的斜BAx,率 k. 问题就转化为如何将 转化为关于 k
4、 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆BAx,方程，消去 y 得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得 ；l 51PBA当 与 x 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭l )(,21yx， l3kxy圆方程，消去 得 ，y045492kxk解之得 .6722,1x因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 的情形.0k当 时， ， ，0k49521kx 4956272x所以 = = = .21xPBA525218k25918k所求量的取值范围把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元
5、二次方程xA= f（k） ，x B = g（k）得到所求量关于 k 的函数关系式求根公式AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围由 , 解得 ，04918)54(22k952k所以 ，512综上 .51PBA思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定k理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自21xPBA21,x然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关
6、系式.21,解 2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l3kxyy（*）045492则 令 ，则，.495,21kx21x .204531k在（*）中，由判别式 可得 ，,0952k从而有 ，所以 ，36452k 536214把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去y 得到关于 x 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，x A xB = g（k ）构造所求量与 k 的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围解得 .结合 得 . 51105综上， .PBA说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均
7、值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 4 （2003 年江苏卷第 11 题 、天津卷第 10 题）已知长方形四个顶点 A（0，0 ） ，B（2 ，0 ） ，C（ 2，1）和 D（0 ，1 ）.一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为 的方向射到BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P 3 和 P4（入射角等于
8、反射角）.设P4 的坐标为（x 4，0）.若 11,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。故 loga21,a1, 10，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm同理，若在m,n 内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在 2，2 内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解：不等式即(x 1)p+x2 2x+10,设 f(p)= (x 1)p+
9、x2 2x+1,则 f(p)在 2,2上恒大于0，故有：即 解得：)2(f01342x13x或或x3.例 8.设 f(x)=x2 2ax+2,当 x 1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 1,+ )时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x) a=x2 2ax+2 a.)当 =4（a 1)(a+2)0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。4o xy-1 o xy即04)(21xa4016)(2a48a或解得 a 8.解法 2（利用根与系数的分布
10、知识）：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4.10. =0,即（4+a） 2 16=0,a=0 或 a= 8.a=0 时，f(x)=(t+2) 2=0,得 t= 20,符合题意。a= 8.20. 0,即 a0 时，f(0)=40,故只需对称轴 ，即 a 4.04aa 8综合可得 a 8.三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定
11、值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题） 。研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。解析
12、几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。1几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。2代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。例 10 已知椭圆 C: 和点 P（4，1） ，过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，xy28在线段 AB 上取点 Q，使 ，求动点
13、 Q 的轨迹所在曲线的方程及点 Q 的横坐标的APB取值范围.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点 的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率 作为),(yx k4o xy参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条yx,k件： 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到 ，APB )(824BAxx要建立 与 的关系，只需将直线 AB 的方程代入
14、椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.xk通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于kfx的方程（不含 k） ，则可由 解得 ，直接代入 即可得y, 1)4(xky41xykkfx到轨迹方程。从而简化消去参的过程。解：设 ，则由 可得： ，),(,21QxByA， QBAPxx2121解之得： （1）)(8421设直线 AB 的方程为： ，代入椭圆 C 的方程，消去 得出关于 x 的一4xky y元二次方程： （2）08)1()(222 kk .128)4(,122kx将直线方程
15、代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y = k (x4)+1，消去参数 k点 Q 的轨迹方程QBAP)(824BAxxkfx代入（1） ，化简得： (3).234kx与 联立，消去 得：1)(ky.0)4(xy在（2）中，由 ，解得 ，结合04642k 410212k（3）可求得 .919106x故知点 Q 的轨迹方程为： （ ）.042y9102691026x说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综
16、合问题求解的一条有效通道.例 11已知 ，试讨论 的值变化时，方程 表示的曲线的形状。0,)22sincos1xy解：（1）当 时，方程化为 ，它表示两条与 轴平行的直线；1yx（2）当 时，方程化为 ，它表示两条与 轴平行的直线； x（3）当 时，方程化为 ，它表示一个单位圆；42（4）当 时，方程化为 ，因为 ，所以它0211sincoy10sinco表示一个焦点在 轴上那个的椭圆；x（5）当 时，方程化为 ，因为 ，所以4222sicxy0sic它表示一个焦点在 轴上那个的椭圆；y（6）当 时，方程化为 ，因为 ，2211sincosxy1,0sincos所以它表示一个焦点在 轴上那个的
17、双曲线。x（） 、求参数的取值范围在解析几何中的应用例 12 一农民有田 2 亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为 400 公斤，若种花生，则每亩产量为 100 公斤，但水稻成本较高，每亩每期 240 元，而花生只要 80元，且花生每公斤可卖 5 元，稻米每公斤只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？分析：最优种植安排问题就是要求当非负变量 x、y 满足条件 和2xy时，总利润 P 达到最大，是线性规划问题。4082yx解：设水稻种 x 亩，花生种 y 亩，则有题意得：即 20,2yx0,yx480yx 53此不等式组的解为四边形区
18、域（包括边界） ，这些解通常就叫做本问题的可行解，并称这个区域为问题的可行解区域。而利润 P（3400200 ）x（510080）y960x+420y 为二元函数，通常就叫做本问题的目标函数。故所求问题变为：要在此可行解区域内，找出（x，y）点，使目标函数 P960x+420y 的值为最大，这类点就叫做本问题的最佳解。如何找出这类点呢？观察目标函数 P，我们知道：（1 ） 当 P 等于任意常数 m 时，m960x+420y 都是48/21 的直线；（2 ） 若直线 l：m 960x+420y 与可行解区域相交，则对应于此直线的任一可行解，目标函数 P 的值皆为 m；（3 ） 当直线 l：m 9
19、60x+420y 即 y48/21xm/400 过可行解区域，且纵截距最大时，m 有最大值，即目标函数 P 有最大值。由图可知，当直线 l 过 B 点时，纵截距最大。解方程组 得交点 B（1.5,0.5）235xy所以当 x1.5， y0.5 时，P max960 1.5420 0.51650（元）即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得的利润最大。说明：很多数学应用题都与二元一次不等式组有关，而不等式组的解答往往很多，在各种解答中，是否有一组为符合实际情况的最佳解答呢？求此类问题的解答为数学的一个重要分支线性规划。线性规划是最优化模型中的一个重要内容，它具有适应性强，应用面广，计算技术
20、比较简便的特点，它是现代管理科学的重要基础和手段之一。利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：（1 ） 根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形，即可行解区域；（2 ） 设所求的目标函数 f（x，y）为 m 值；（3 ）将各顶点坐标代入目标函数，即可得 m 的最大值或最小值，或求直线 f（x，y）m 在 y 轴上截距的最大值（最小值）从而得 m 的最大值（最小值） 。例 13某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若 A 厂每小时可完成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车；B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车。今欲制造 40 辆甲型车和乙型车，问这两家工厂各工作
21、几小时，才能使所费的总工作时数最小？分析：这是一个如何安排生产才能发挥最佳效率的问题。最优工作时数的安排问题就是A、B 两厂生产甲、乙两种不同型号的汽车数不得低于甲型 40 辆、乙型 20 辆时，总工时最少。解：设 A 厂工作 x 小时，B 厂生产 y 小时，总工作时数为 T 小时，则它的目标函数为T=x y 且 x3y40 ，2x+y20 ，x0 ，y 0可行解区域，而符合问题的解答为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点） ，于是问题变为：要在此可行解区域内，找出格子点（x，y） ，使目标函数 T x y 的值为最小。由图知当直线 l：yx T 过 Q 点时，纵截距 T 最小，
22、但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看 Q 点是否是格子点。解方程组 得 Q（4,12）为格子点，3402xy故 A 厂工作 4 小时，B 厂工作 12 小时，可使所费的总工作时数最少。说明：也可以用凸多边形性质去寻找最佳解，要注意到有时符合题意的解仅限于可行解区域内的格子点，此时如果有端点并非格子点，这些点就不符合题意，不是我们要找的解；如果所有的端点都是格子点，所有的端点全符合题意，我们就可用凸多边形性质去找出最佳解。符合本题的解仅为可行解区域内的格子点，其可行解区域的端点 P（40,0） ，Q（4,12）R（0,20）都是格子点，都符合题意，而它们所对应的目标函数值如下表所示：（x，y） （40,0） （4,12） （0,20）T 40 16 20故 Q（4,12 ）即为所要找的点。例 14 私人办学是教育发展的方向。某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表如下（以班级为单位）：班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元）
