1、高考函数总结一、函数的概念与表示1、函数（1）函数的定义原始定义：设在某变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫作自变量。近代定义：设 A、B 都是非空的数的集合， f：xy 是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做函数，记作 y=f(x)，其中 ，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合,C 叫做函数的值域。 （2）构成函数概念的三要素 定义域 对应法则 值域3、函数的表示方法 解析法 列表法 图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二、函数的解析式与
2、定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，求函数解析式的方法：（1） 定义法 （2）变量代换法 （3）待定系数法 （4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量 x 的取值的集合。求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。3。复合函数定义域：已知 f(x)的定义域为
3、,其复合函数 的定义域应由不等式bax)(xgf解出。bxga)(三、函数的值域1函数的值域的定义在函数 y=f(x)中，与自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2确定函数的值域的原则当函数 y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合；当函数 y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合；当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数 y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=
4、f(x)的取值范围；二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；单调性法：利用函数的单调性求值域；不等式法：利用不等式的性质求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。四函数的奇偶性1定义: 设 y=f(x)，xA，如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为偶函数。设x()fxfy=f(x)，xA，如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为奇函数。如果函数 是()f ()fx奇函数或偶函数，则称函数 y= 具有奇
5、偶性。()fx2.性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,y偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 )(21)(21)( xfxfxf 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两 函 数 的 定 义 域 D1 ， D2， D1 D2要 关 于 原 点 对 称 对
6、 于 F(x)=fg(x):若 g(x)是 偶 函 数 ， 则 F(x)是 偶 函 数若 g(x)是 奇 函 数 且 f(x)是 奇 函 数 ， 则 F(x)是 奇 函 数若 g(x)是 奇 函 数 且 f(x)是 偶 函 数 ， 则 F(x)是 偶 函 数3 奇 偶 性 的 判 断 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 看 f(x)与 f(-x)的 关 系五、函数的单调性1、函数单调性的定义一般地，设一连续函数 f(x ) 的定义域为 D，则 如果对于属于定义域 D 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1，x 2D 且 x1x2，都有 f(x1) f(x2)，即在 D 上具有单调性
7、且单调增加，那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数 。 相反地，如果对于属于定义域 D 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1，x 2D 且 x1x2，都有f(x1) 0 时，抛物线开口向上，函数在 上单调递减，在 上单调递增，2,(ab),时，abx2abcxf4)(2min（2）a0) =b 2-4ac ax2+bx+c=0 (a0) ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)0 abx2121xx或 21x=0 abx210x图象与解0,a0,M0,N0Malognall(4)对数换底公式： )10,10,(logl mNama 且且（5）对数的降幂公式： ,lan且九指数函数与对
8、数函数1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1) 互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系名称 指数函数 对数函数一般形式 Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1)定义域 (-,+ ) (0,+ )值域 (0,+ ) (-,+ )过定点 （，1） （1，）图象 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称单调性 a 1,在(- ,+ )上为增函数a1,在(0,+ ) 上为增函数 a1 ? y0? y0?比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果
9、底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。十函数的图象1、作函数图象的基本方法有两种：（1） 描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点） 3、描点，连线 如：作出函数 的图xy1象（2） 图象变换法：利用基本初等函数变换作图 平移变换
10、： （左正右负，上正下负）即 kxfyxfy hkkh )()(,0;,上 移下 移 左 移右 移 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变） )()()()(1xfyxfyxfyffxx 轴 下 方 图 上 翻轴 上 方 图 ， 将保 留 边 部 分 的 对 称 图轴 右 边 不 变 ， 左 边 为 右原 点轴轴 伸缩变换： )()(1Affy xy 倍来 的仍 一 点 的 纵 坐 标 变 为 原 倍来 的仍 一 点 的 横 坐 标 变 为 原 导数与积分1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 y=f（x 0+ ）f （x 0） ，
11、比值 xy叫做函数 y=f（x）在 x 0到 x + 之间的平均变化率，即 =f)(。如果当 0时，y有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 0处的导数，记作 f（x ）或 y| 0x。即 f（x 0）=limxy= 0lixxff)(0。2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x ） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x ） ）处的切线的斜率是 f（x ） 。相应地，切线方程为yy 0=f（x ） （xx ） 。3几种常见函数的导数: ;C 1
12、;nx(sin)cosx; (cos)inx;();xe()lxa; 1l; 1lglaae.4两个函数的和、差、积的求导法则( .)vu.)(uvvvu= 2v（v 0） 。复合函数的导数：单调区间：一般地，设函数 )(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则 f为增函数； 如果f0)(x，则 )(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则 )(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f )(x在a，b 上必有最大值与最
13、小值。求函数 )(x在(a，b)内的极值；求函数 在区间端点的值 (a)、(b)；将函数 )(x的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数 f(x)在区间a ，b上连续，用分点 ax0x1xi1xixnb 把区间a ，b等分成n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n）作和式 Innif1(i)x（其中x为小区间长度） ，把 n即x0 时，和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作：badxf)(，即 badxf)(nif1lm(i)x。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b
14、叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：dx0C； dxm1mC（mQ， m1） ；1dxln C； exxC； daxxlnC； xdcossinxC； dsincosx C （表中 C 均为常数） 。（2）定积分的性质babaxfkf)()(（k 为常数） ；badxgdgx)(；bacacfxff)()(（其中 ac b )。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa，xb（ab） ，x 轴及一条曲线 yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积badxfS)(。如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设 f1(x)f2(x)0） ，及直线 xa ，xb（ab ）围成，那么所求图形的面积 S S 曲边梯形 AMNBS 曲边梯形 DMNC badff)()(21。
