1、1有理数考点 1、正数和负数正数：大于零的数负数：小于零的数（在正数前面加上负号“”的数）注意：（1）0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点（2）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数例 1、 向北走 2000 米与向南走 1000 米，若规定向北走为正，则向北走 2000 米可记作 ，向南走 1000 米记作 ，原地不动课记作 例 2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为 85 分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作15 分，4 分，0 分，4 分，15 分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？例 3、 观察
2、下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第 15 个、第 101 个、第 2010 个的数是什么？1） 、1、2、+3、4、5、+6、7、8、 、 、 2） 、1、 、3、 、5、 、7、 、 、 、 161易错点：1）误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例：a 一定是正数吗？2）对于“0”的含义理解不准确例：下列说法错误的是（ ）A、0 是自然数 B、0 是整数 C、0 是偶数 D、海拔 0 米表示没有海拔考点 2、有理数1、有理数的分类按定义分： 按性质符号分：有理数负 分 数正 分 数分 数 负 整 数正 整 数整 数有 理 数 0 负 分 数负 整 数负 有
3、 理 数 正 分 数正 整 数正 有 理 数0注意：1、有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。2、0 是整数不是分数例 1、把下列各数填在相应的集合内：， ，-3， 2，-1，-0.58 ，0，-3.14， ，0.618，104913整数集合： 分数集合： 非负数集合： 例 2、下列说法正确的是（ ）A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a 一定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数22、数轴（重点）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、
4、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致例 1、图中哪 一个表示数轴？并说出理由。例 2、请画出一条数轴，并且在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5， ，0，+2，0.5.23例 3、如图所示，在数轴上，点 A,B,C,D 依次表示 1.5，-2，2，-2.5 。说出各点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？ 1.5CAB-2.5D-3 -2 -1 3210例 4、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点 表示的数为（ ）AA、3
5、0 B、50 C、60 D、80例 5、如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为_例 6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边 20m 处，玩具店位于书店东边 100m 处。小明从书店沿街向东走了 40m，接着又向东走了 60m，你知道此时小明的位置在哪吗？例 7、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，求 的值cba ab0c31、 相反数（重点）定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。 ）相反数的表示方法及多重符号的化简：（1） 0a,则当 则当 则
6、当例 1、有理数 的相反数是（ ）3（A） （B） （C）3 （D） 31例 2、a 的相反数是 ， -a 的相反数是 ， 0 的相反数是 例 3、若 a 和 b 互为相反数，则 a+b=例 4、如果 0，那么 a， b两个实数一定是 （ ）A.都等于 0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数例 5、如果 a与 1 互为相反数，则 |2|等于（ ）A2 B 2C1 D 14、绝对值（难点）绝对值的定义：数轴上表示 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记为 a，读作：a 的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0 的绝对值
7、是 0）绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0 的绝对值是 0 绝对值的计算规律：（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等（2） 若 ，则 a=b 或 a=-b；ba（3） 若 0,0ba则例 1、如果| -a | = -a，下列成立的是（ ）A .a0 D.a0例 2、 的绝对值是 8。例 3、若 ，则 b= ，若 ，若 ，则 a 01b 则,6例 4、若 ，则 等于（ ）5,abaA、2 B、8 C、2 或 8 D、 81或4例 5、已知 0122ba(1)求 a,b 的值(2)求 的值208208ab(3)求 2081211 bababa例 6
8、、计算： 91031421例 7、 （2）27135 21354例 8、根据 ，解答下列问题0a（1）当 x 为何值时, 有最小值？最小值是多少？2x（2）当 x 为何值时, 有最大值？最大值是多少？435例 9、已知某零件的标准直径是 10mm，超过规定直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了 5 件样品，检查的结果如下表：序号 1 2 3 4 5直径长度（mm） +0.1 -0.15 +0.2 -0.05 +0.25（1） 试指出哪件样品的大小最符合要求；（2） 如果规定偏差的绝对值在 0.18mm 之内是正品，偏差的绝对值在 0
9、，18mm 0.22mm 之间是次品，偏差绝对值查过 0.22mm 是废品，那么上述 5 件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？易错点：1）画数轴时，缺少要素2）误认为 ，则 a0;若 ，则 a0，n|n|，用“”把 、 、 、 连接起来。mn考点 3、有理数的加减（重难点）1、有理数加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；6（4）一个数与零相加，仍得这个数。例 1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ） 。A.都是正数B.一个是正数，一个是零C.两个
10、数异号，且正数的绝对值较大D.以上三种情况都有可能例 2、简单计算（1） ； （2） ； （3） ； （4）34.54.56.725175123（5） （-51）+（+37） ； （6） （+15）+（-15） ； （7） （+4.25）+ ； （8）141423（9）15+0 ；（10）-4.7+0 ；（11）0+0例 3、复杂有理数计算（1） （+26）+（-14）+（-16）+（+18） （2） 125.3)75(6)72(61)3 673142)4( 516(5)2.391.7327.1321.576767例 4、已知 与 互为相反数，求 的值。132xyxy例 5、小明在一条南北方向
11、的公路上散步，他从 A 地出发，每 10 分钟记录自己的散步情况（向南为正方向，单位：米） ，1 小时后停下来时记录如下：-1008，1100，-976，1010，-827，946此时他在 A 地的什么方向，距离 A 地多远？小明散步共走了多少米？例 6、a 与 b 互为相反数，b 与 c 相乘的积是最大的负整数，d 与 e 的和等于-2，则 edbca的值是多少？例 7、读一读：式子“1+2+3+4+5.+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为简单起见，我们可以将“1+2+3+4+5.+100”表示为 ，这是求和符号。例如10n“1+3+5+
12、7+9+.+99”（即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和）可表示为 。通过对以上材料501)2(n的阅读，请回答问题：（1）2+4+6+8+.+100(即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和求和符号表示为_；（2）计算： _（填写最后的计算结果） 。31n8例 8、从图（1）中找规律，并在图（2）填上合适的数2、有理数减法有理数减法法则中，字母 a,b 表示任意有理数；0 减去任何数得这个数的相反数。有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算，不要将减法法则与加法法则中异号两数相加混淆。计算有理数的减法时，要把减号变为加号，把减数变为它的相反数，即必须同时改变两个符号：一是运算符号
13、由“-”变为“+” ；二是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。例 1、下列说法正确的是（ ）A.两数相减，被减数一定大于减数B.0 减去一个数仍得这个数C.互为相反的两个数差为 0D.减去一个正数，差一定小于被减数例 2、计算：（1） （2） （3） （4）6153 7.218)5.28(.)132(0例 3、列出算式并计算下列各题：（1） 的 相 反 数 的 差 ；的 绝 对 值 的 相 反 数 与 32-（2）潜水员从海平面以下 24m 处上升到海平面以下 15m 处，此潜水员上升了多少米？(1)-6 -2-8-19-1-5(2)-4 -14129例 4、已知 a0,b0,且 试判断 a
14、-b 的符号。,ba3、有理数加减的综合运用例 1、计算：（1） （2）)94(8.0)32(50 8134215874（3）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+.+2005-2006-2007+2008+2009-2010.（4） 20192081.43121 例 2、以地面为基准，A 处高+2.5 米，B 处高为-17.8 米，C 处高-32.44m，问：（1） A 处比 B 出高多少？（2） B 处和 C 处哪个高？高多少？（3） A 处和 C 处哪个低？低多少？例 3、小亮做这样一道题：“计算 ”，其中 表示被污染看不清的一个数，他翻开答案知道该题3的结果是 6，那么
15、 表示的数是多少？例 4、-a,-b 在数轴上的位置如图，-b -a 0化简： .aba10例 5、某摩托车厂本周计划每日生产 250 辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每日产量与计划每日产量相比情况如下表：（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）星期 一 二 三 四 五 六 日增减 -5 +7 -3 +4 +10 -9 -25（1）求星期日生产摩托车多少辆？（2）本周总产量与计划产量相比是增加了，还是减少了？差是多少？（3）产量最多的一天与产量最少的一天的产量差是多少？考点 4 有理数的乘除、乘方1、 有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负；任何数与零相乘，都得零；几个
16、不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。2、有理数除法两数相除，同号得正，异号得负零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）3、有理数的乘方负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数4、有理数运算律 加 法 的 交 换 律 a+b=b+a； 加 法 的 结 合 律 a+(b+c)=(a+b)+c； 存 在 数 0， 使 0+a=a+0=a； 对 任 意 有 理 数 a， 存 在 一 个 加 法 逆 元 ， 记 作 -a， 使 a+(-a)=(-a)+a=0； 乘 法 的 交 换 律 ab
17、=ba； 乘 法 的 结 合 律 a(bc)=(ab)c； 分 配 律 a(b+c)=ab+ac； 存 在 乘 法 的 单 位 元 10， 使 得 对 任 意 有 理 数 a， 1a=a； 对 于 不 为 0 的 有 理 数 a， 存 在 乘 法 逆 元 1/a， 使 a(1/a)=(1/a)a=1。 0a 0 文 字 解 释 ： 一 个 数 乘 0 还 是 0。注 意 ： 先 乘 方 、 开 方 ， 后 乘 除 ， 最 后 加 减 ； 有 括 号 时 ， 先 算 括 号 里 面 的 ； 同 级 运 算 按 从 左 至 右 的 顺 序进 行 ， 同 时 注 意 运 算 律 的 灵 活 应 用 。
