1、1（1）第一定义把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了 2 个新的定点焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.【例 1】 若点 M 到两定点 F1（0，-1 ） ，F 2（0，1）的距离之和为 2，则点 M 的轨迹是 （ ）.椭圆 .直线 .线段 .线段 的中垂线.AB2C2D1F【解析】注意到 且 故点 M 只能在线段 上运动，即点 M 的轨迹就是线段 ，选 C.1,1,2 21F【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会
2、错误地选 A.（2）勾股数组椭圆方程的几何特征椭圆的长、短半轴 a、b 和半焦距 c，满足 .在 a、b、c 三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第2=2+23 个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.【例 2】已知圆 ，圆 内一定点 （ 3，0） ，圆 过点 且与圆 内切，求圆心 的轨迹方程. 103:2yxAABPBAP【解析】如图，设两圆内切于 C，动点 P（x，y） ，则 A、P 、 C 共线 . 连 AC、PB ， B为定长，而 A（-3，0） ，B（3，0）为定
3、点，圆心 的轨迹是椭圆.且 .所求轨迹方程为：5,4acb. 2156xy一、 的最值若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点），P 为 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点，求 的最值。例 2. 已知椭圆 内有一点 A（2，1），F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图 1，设椭圆的右焦点为 ，可知其坐标为（ 3，0）图 1由椭圆的第一定义得：可知，当 P 为 的延长线与椭圆的交点时， 最大，最大值为 ，当 P 为 的延长线与椭圆的交点时， 最小，最小值为 。故 的最大值为 ，最小值为 。XYA(-3,0) B(3,0)P(x,y)C2二、椭圆上定长动弦中点到准线
4、距离的最值例 4. 定长为 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 上移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。解：设 F 为椭圆的右焦点，如图 3，作 于 A”，BB” 于 B”，MM” 于 M”图 3则当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为 。评注： 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值， 是 AB 能过焦点的充要条件。一、填空题1方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_x225 m y216 m2椭圆 1(m5) ，它的两焦点分别是 F1，F 2，且 F1F28，弦 AB 过点x2a2 y225F1，则 ABF 2 的周长为
5、_4过点(3,2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程是 _x29 y245已知椭圆的焦点是 F1(0，1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且 PF1PF 22F 1F2，则椭圆的标准方程是_6已知椭圆的两个焦点为 F1(1,0)，F 2(1,0)，且 2a10，则椭圆的标准方程是_7若ABC 的两个顶点坐标 A(4,0) ，B(4,0)， ABC 的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程为_8已知椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是 PF1 的中点，若x216 y29OQ1，则 PF1_.9设 F1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点，P 是椭圆上的点
6、，且 PF1PF 221，则PF 1F2x29 y24的面积等于_1 点 P（ x，y）在椭圆 上，则 的最大值为 （ ）)(2yxxyA.1 B.-1 C. D. 3331、如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）2xkyykA B C D (0,)(0,)(1,)(0,1)2、方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）22516xykykA B C D 92k25923、椭圆 上一点 到一个焦点的距离为 2，则点 到另一个焦点的距离为（）215xyppA 5 B 6 C 7 D 84、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 A,B 两点，则 A,B 与椭圆的另
7、一个焦点 构成2x1F 2F的 的周长是（ ）A 2 B 4 C 8 D 2F 25 平面内两定点的距离为 8.则到这两个定点的距离之和为 6 的点的轨迹为（）A 圆 B 椭圆 C 线段 D 不存在6、椭圆 的焦点坐标是 （ ）2215xymA B C D (7,0)(,7)(7,0)(,7)二、解答题10已知椭圆 x22y 2a 2(a0)的左焦点 F1 到直线 yx 2 的距离为 2 ，求椭圆的标准方程211已知圆 C：(x 3) 2 y2100 及点 A(3,0)，P 是圆 C 上任意一点，线段 PA 的垂直平分线 l 与 PC 相交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程12已知 F1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点，P 是椭圆上任意一点x2100 y264(1)若F 1PF2 ，求F 1PF2 的面积；3(2)求 PF1PF2 的最大值
