1、圆锥曲线知识网络椭圆双曲线抛物线定义定义定义标准方程标准方程几何性质几何性质应用应用标准方程几何性质 应用圆锥曲线直线与圆锥曲线 位置关系 相交相切相离圆锥曲线的弦第 1 讲 椭圆知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点 21F、 的距离之和为常数 |)|2(2Fa的动点 P的轨迹叫椭圆,其中两个定点 21F、 叫椭圆的焦点.当 1aP时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当 221时, 的轨迹不存在; 当 1FF时, 的轨迹为 以 21F、 为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 与定直线 l(定点 不在定直线 l上)的距离之比是常数 e( 10)的点的轨迹为椭圆（利用第二定
2、义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12bayx )0(12baxy参数关系 22cba焦点 )0,(, ),0(c焦距范围 yx|,| bxay|,|顶点 ),0(,)(0ba )0,()0(对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ce性质准线 cax2cay23.点 ),(0yP与椭圆)0(12by的位置关系:当12bax时,点 在椭圆外; 当 2ax时,点 P在椭圆内; 当12byax时,点 P在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交 0;直线与椭圆相切 0;直线与椭圆相离 0重难点突破重点:掌
3、握椭圆的定义标准方程，会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点:椭圆的几何元素与参数 cba,的转换重难点:运用数形结合，围绕 “焦点三角形” ，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数cba,的关系1.要有用定义的意识问题 1 已知 2F、 为椭圆1952yx的两个焦点，过 1F的直线交椭圆于 A、B 两点若 122BF，则 AB=_。解析 2的周长为 04a， AB=82.求标准方程要注意焦点的定位问题 2 椭圆12myx的离心率为 2，则 m 解析当焦点在 x轴上时，314；当焦点在 y轴上时， 31624m，综上 316m或
4、 3热点考点题型探析考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用例 1 (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是A4a B2(a c) C2(a+c) D以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况:(1) ,此时小球经过的路程为 2(ac);(2) D, 此时小球经过的路程为 2(a+c
5、);(3) AQBP此时小球经过的路程为 4a,故选 D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 244，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数 cba,的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为12byax或)0(12yx，则，22)(4cab解之得： 4a，b=c4.则所求的椭圆的方程为1632yx或132yx.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 cba,的数量关系警示易漏焦点在 y 轴上的情况考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离
6、心率（或范围）例 3 在 ABC 中， 3,2|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率O xyDPA BCQ解析 3sin|21ACBSABC，3|， 2cos|2|2 ACB13| BCAe【名师指引】 （1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出 cba、 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3） “焦点三角形”应给予足够关注题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 4 已知实数 yx,满足124y,求 xy2的最大值与最小
7、值【解题思路】 把 2看作 x的函数解析 由14yx得22,0212,3)1(222 xxyx当 1时, 2取得最小值 ,当 时, xy2取得最大值 6【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错考点 3 椭圆的最值问题题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例 5 椭圆1962yx上的点到直线 l: 09yx的距离的最小值为_【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析在椭圆上任取一点 P,设 P( sin3,co4). 那么点 P 到直线 l 的距离为：|9)i(5|21|sin3co4|2 .2【名师指引】也可以直接设点 ,yxP，用 表示 y后，把动点到直线的距
8、离表示为 x的函数，关键是要具有“函数思想”考点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6 已知椭圆 C的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为 0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l与 y 轴交于点 P（0，m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 PB3（1）求椭圆方程；（2）求 m 的取值范围【解题思路】通过 BA3，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式解析（1）由题意可知椭圆 C为焦点在 y轴上的椭圆，可设2:1(0)yxCab由条件知 a且 bc，又有 22abc，解得 1,2abc故椭圆 C的离心率为
9、2e，其标准方程为：2xy（2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1，y1） ，B （x2，y2）Error! 得（k22）x22kmx（m2 1）0（ 2km）24（k22） （m21）4（k22m2 2）0 （*）x1x2 ， x1x2 2kmk2 2 m2 1k2 2 3 x13x2 Error!AP PB消去 x2，得 3（x1x2）24x1x20，3（ ）24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m2k220 m2 时，上式不成立；m2 时，k2 ，14 14 2 2m24m2 1因 3 k0 k2 0，12m22 成立，所以（ *）成立即所求 m 的取值范围为（ 1， ）（ ，1） 12 12【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
