1、1概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称 表达式交换律 AB结合律 CACB)()( ABC)()(分配律 ) 德摩根律 BA2、概率的定义及其计算公式名称 公式表达式求逆公式 )(1)(AP加法公式 BBAP条件概率公式 )(AP乘法公式 )()(BAP)(B全概率公式 niiiAP1)()(贝叶斯公式（逆概率公式）1)()(iijjjj BBAP伯努利概型公式 nkpCknkn,10,)()(两件事件相互独立相应公式； ； ； ；)()(BPAP)(AP1)()(ABP1)()(BA二、随机变量及其分布1、分布函数性质)(bFXP)()aFbXaP2、离
2、散型随机变量分布名称 分布律01分布 ),(pB 1,0,)1()( kpkXP二项分布 ,n nCnn ,2泊松分布 )(P ,210,!)(kekXP几何分布 )(pG,)1()(p超几何分布 ),(nMNH ),min(,1,MlkCkXPnNM3、连续型随机变量分布名称 密度函数 分布函数均匀分布 ),(baU其 他,0,1)(bxabxf bxaxF,1,0)(指数分布 )(E其 他,0)(xexf 0,)(exx正态分布 ),(2Nxefx2)(21)( xtFd21)(2)(标准正态分布 )1,0(xx2)( xtex)(2)(三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分
3、布 j jijiii pyYxXPxXPp),()( i ijjijj pyYxXPyYP),()(2、离散型二维随机变量条件分布 2,1)(,)(iyYyYxp jjijiji ,)(,)( jPpxXPXPiijijij3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数 xydvufF),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数： 边缘密度函数：xdvufF),()( dvxfxfX),()(yY, uyyY,5、二维随机变量的条件分布yxfyfXXY,)()( xyfxfYYX,)()(3四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量： 连续型随机变量：1
4、)(kpxXE dxfXE)()(2、数学期望的性质(1) 为 常 数C,)(E)()(XE)()(C(2) )(YXYbab )()()11 nnXECXE (3)若 XY相互独立则： )()(Y(4) )()(22EE3、方差： )(XXD4、方差的性质(1) 0)(C0)( )()(2XDab2)()CXE(2) 若 XY相互独立则：,2YCovXY )(YDYD5、协方差： 若 XY相互独立则：)(),(),(Eov 0),(ov6、相关系数： 若 XY相互独立则： 即 XY不相关)(,YDXovYX XY7、协方差和相关系数的性质(1) )(,(DCov),(),(Covv(2) ,
5、 2121 YXoYX ),(),( YXabCovdYcaX8、常见数学分布的期望和方差分布 数学期望 方差0-1分布 ),1(pBp)1(p二行分布 ,nnn泊松分布 )(P几何分布 )(pGp121p超几何分布 ),(nMNH)(NmMn均匀分布 ),(baU2ba12ab正态分布 ),(2N指数分布 E124五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 对于任意 有 或,)(,)(2XDE02)()(XDEXP 2)(1)(XDXEP2、大数定律：若 相互独立且 时，n1nniini 11)(1)若 相互独立， 且 则：nX1 2)(,)(iiiiXDEMiniiPni XEX11
6、)(),(2)若 相互独立同分布，且 则当 时：n1 ii)(nnii13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为 的独立同分布时，当 n充分大时有：02)1,0(1NnXYk (2)拉普拉斯定理：随机变量 则对任意 x有：),()2,(pnBnxtnx xdepP)(1)1(lim(3)近似计算： )()()()( 11 nabnXnaPbXaknk 六、数理统计1、总体和样本总体 的分布函数 样本 的联合分布为X)(xF),(21nX )(),(121knxFxF2、统计量(1)样本平均值： (2)样本方差：ni1 niinii XXS12122 )()(3)样本标准
7、差： (4)样本 阶原点距：niiXS12)(k,1knAik(5)样本 阶中心距：knikikMB13,2)(6)次序统计量：设样本 的观察值 ，将 按照由小到大的次序重新排列，得),(21nX ),(21nx nx21,到 ，记取值为 的样本分量为 ，则称 为样本 的次)()2()1nxx )(ix)(iX)()()(X ),(21nX序统计量。 为最小次序统计量； 为最大次序统计量。,mi21)1( nX ,max21)( nn53、三大抽样分布(1) 分布：设随机变量 相互独立，且都服从标准正态分布 ，则随机变量2nX21, )1,0(N所服从的分布称为自由度为 的 分布，记为21nX
8、 n22n性质： 设 且相互独立，则nDE2)(,)()(),(2Ym)(2nmYX(2) 分布：设随机变量 ，且 X与 Y独立，则随机变量： 所服从的分布称为自t ,10YN T由度的 的 分布，记为nt )(ntT性质： )2(,)(,0)( tDtE 2)(1),0()limxneNt(3) 分布：设随机变量 ，且 与 独立，则随机变量 所服从的分布称F)(),(21VUUV211),(nVUF为自由度 的 分布，记为),(21n),(21nF性质：设 ，则,mFX),1mX七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用 估计总体参数 ，称 为 的估计量，相应的 为总),(21nX),(21nX),(21nX体 的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）离散型样本均值： 连续型样本均值：niXEX1)( dxfXE),()(离散型参数： ni122)(3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法： 取自 的样本，设 则可得到概率密度：nX,21 )(),(PXxfXi或),(),(),( 1121121 nininnii PPxfxf 或基本步骤：似然函数： )(),()(11niniixfL或取对数： niiXf1),(ll解方程： 最后得：0l,0l1kL ),(,),( 2121 nknxx
