1、第 2 章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次 , 以 X 表示前后两次出现的点数之和, 求 X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12由表格知 X 的可能取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且， ； ；361)2()(P362)1()(XP； ；04 495； 。5)8()6(X36)7(即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)3|7|kP2.2
2、设离散型随机变量的概率分布为 试确定常数 .,21,kaeXPa解：根据 ，得 ，即 。1)(0kX00()kke1e故 ea2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.解：分别用 表示甲乙第一、二次投中，则)2,1(,iBAi1221212()0.7()0.3,()0.4,()0.6,PPAPBPB两人两次都未投中的概率为： ，3.6.1 两人各投中一次的概率为： 2016.4.07.4)()()()( 12211221 BAPBAPBA两人各投中两次的概率为： 。所以：078
3、4.（1）两人投中次数相同的概率为 3.0.63.(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：1212121212()()()()()0.49.6049.30.36.58PABPABPAB2.4 设离散型随机变量 的概率分布为 ，求X5,43,1kX)31()P)5.2.0()2P解：(1) 135(2) )()().5.0(XX5122.5 设离散型随机变量 的概率分布为 ，求,3,1kP;6,42)1(P3)2(解： 31)21(21, 464 X413)2( XP2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1)
4、进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1) )4()3()( XPXP1792.0.6.04C(2) )5()()()(.3174.0.64.5235 2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率：(1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾.解：(1) ，由题意， ，所求事件的概率为 .()!kPXe0.531.,0k15e(2) , 由题意， ，所求事0(2)1!e .54.
5、件的概率为 .3e2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为 X，则 。)01.,8(B依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99，即 ，也即9)(mP01.)(mXP因为 n=180 较大，p=0.01 较小，所以 X 近似服从参数为 的泊松分布。8.10查泊松分布表，得，当 m+1=7 时上式
6、成立，得 m=6。故应至少配备 6 名设备维修人员。2.9 某种元件的寿命X(单位：小时 ) 的概率密度函数为：210,)xfx求 5 个元件在使用 1500 小时后, 恰有 2 个元件失效的概率。解：一个元件使用 1500 小时失效的概率为 3101)5010( 5502xdxXP设 5 个元件使用 1500 小时失效的元件数为 Y，则 。所求的概率为),(B。2358()()24YC2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦 时) 是一连续型随机变量 , 概率密度函数为： 21(),01,(),xxf其 他假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦 时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若
7、每天的供电量上升到90万千瓦 时, 每天供电量不足的概率是多少?解：求每天的供电量仅有80万千瓦 时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦 时（亦即X 0.8百万千瓦 时）的概率：0.80.82234.0(0.8=1-(.1-()1()627Pfxdxdx） ）若每天的供电量上升到 90 万千瓦 时, 每天供电量不足的概率为：0.90.92234.0(0.9=1-P(X.1-()1()6837fxdxdx） ）2.11 设随机变量 求方程 有实根的概率.(,)KU20xK解：方程 有实根，亦即 ,230x24814(3)10K显然，当 时，方程 有实根；又由于1
8、23x所求概率为： 。(2,4)KU()142.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位：小时) 服从参数为 0.005 的指数分布, 求下列事件的概率：(1) 发射管寿命不超过100 小时;(2) 发射管的寿命超过300 小时;(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在 100 至300 小时之间.解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率：=0.3910 100.5.50.5().xxPXedee(2) 发射管的寿命超过 300 小时的概率： 1.5.(3)(3)()23P(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在 100 至300 小
9、时之间.。0.5.1.5(1)0ee2.13 设每人每次打电话的时间(单位：分钟) 服从参数为 0.5 的指数分布. 求282人次所打的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为 X，XE(0.5)，则一个人打电话超过 10 分钟的概率为5105.105.)( edxePx又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 Y，则 。),28(B因为 n=282 较大，p 较小，所以 Y 近似服从参数为 的泊松分布。9.5e所求的概率为 )1()0(1)2( PYP562.09.21.1.19.9. ee2.14 某高校女生的收缩压X(单位：毫米汞柱) 服 ,
10、求该校某名女生：()N(1) 收缩压不超过105 的概率;(2) 收缩压在100 至120 之间的概率.解：(1) )42.0(1)42.0()1205()1( P3768.(2) )()()(X。5934.016.21.0283.).0( 2.15 公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01 设计的, 设成年男性的身高X(单位：厘米 ) 服从正态分布 N(170， ), 问车门的最低高度应为多少?26解：设车门高度分别为 。则：x170()10.9()xP查表得， ，因此 ，由此求得车门的最低高度应为 184 厘米。2.32.362.16 已知20 件同类型的产品中有2 件次
11、品, 其余为正品. 今从这20 件产品中任意抽取4 次, 每次只取一件, 取后不放回. 以X 表示4 次共取出次品的件数, 求X 的概率分布与分布函数.解：X的可能取值为0,1,2。因为 ； ；1876512(0),29P218403()95CP3所以 X 的分布律为X 0 1 2P 29359X 的分布函数为0129()512xFxx2.17 袋中有同型号小球5 只, 编号分别为1,2,3,4,5. 今在袋中任取小球3 只, 以X 表示取出的3只中的最小号码, 求随机变量X 的概率分布和分布函数.解：X 的可能取值为 1,2,3。因为 ； ；6.01)(3524CP 1.0)(35CXP.所
12、以 X 的分布律为X 1 2 3P 0.6 0.3 0.1X 的分布函数为 3129.06)(xxF2.18 设连续型随机变量X 的分布函数为：0,()ln1,Fxxe求（1） ， ，2PX032.5PX（2）求 的概率密度函数 。()fx解：(1) ln)(F10)(30XP25.ln5.2ln5.2).2(F(2) 其 它0(1exxFf2.19 设连续型随机变量X 的分布函数为：2,0,()0,.xabeFx（1）求常数 ,ab（2）求 的概率密度函数 。X()fx（3）求 ln4l16.P解：(1)由 及 ，得 ，故 a=1,b=-1.)(F)0(lim0Fx01ba(2) )(2xe
13、xf(3) )4ln()16l()ln4l( FXP。25.041(2l26lee2.20 设随机变量 X 的概率分布为：X 0 232kp0.3 0.2 0.4 0.1解：(1) Y 的可能取值为 0, 2, 42。因为 ；.0)()0(XP；7.)(21.23()4(Y所以 Y 的分布律为Y 0 2 42P 0.2 0.7 0.1(2) Y 的可能取值为-1,1。因为 ；7.)()()1( X3.0)2()()1( XPYP所以 Y 的分布律为Y -1 1P 0.7 0.32.21 设随机变量 X 的分布函数为 01.3()82xFx（1）求 的概率分布； （2）求 的概率分布。XYX解：
14、(1) X 的可能取值为 F(x)的分界点，即-1,1,2。因为 ； ；3.01(P5.038.)1P 2.081)2(XP所以 X 的分布律为X -1 1 2P 0.3 0.5 0.2(2) Y 的可能取值为 1,2。因为 ；8.0)()()1( 2.2X所以 Y 的分布律为Y 1 2P 0.8 0.22.22 设随机变量 ，求下列随机变量 概率密度函数：(0,1)XNY（1） （2） ； (3) .;YXYe2解：设 和 分别为随机变量 的分布函数和概率密度函数。()Fyf(1)已知 21xXexf因为 )21()()1()() yFyXPyPyYF XY求导得 212fffX8)1(2)
15、1( 2yyee所以 Y 参数分别为-1, 2 2 服从正态分布。(2) 当 ， ，当 ，由已知条件，0y()()0YFPyy，21)(xXexf 2ln)()(ln)(ln1l1l1XY tyXFyPyPyeFd 求导得 2ln,0()0;xYeyfy(3) 当 ， ，当 ，由已知条件 ，y()()0YFPyy21)(xXexf2()()()YXX Xy求导得 21,0()0;yYef2.23 设随机变量 ，求下列随机变量 概率密度函数：(,)XUY（1） （2） ； (3) .ln;YcosYsinX解：(1)已知 其 他01)(xxfX则 )()()ln2()() 22yXyY eFPy
16、XyPF求导得 )(21)()( 22yXyXY efefyf因为当 ，即 时， ；当 y 取其他值时 。20eln)(yXf 0)(2yXef所以 为所求的密度函数。其 他0l21)(yyfY（2）根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道 。当cos(1,)YX， ，由于随机变量(1,)y()(cos)(arcs)YFyPXyPy，容易求得0XUarY求导得 211()0Yyfy其 他（3）根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道 。当sin(0,1)YX，(0,1)y，由(sin)(0arcsin)(arcsi)YFPyXyPyPy于随机变量 ，容易求得0,)U2YF求导得 21()0Yyfy其 他
