1、椭圆的基本知识1椭圆的定义：把平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭21,F21F圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) . 2.椭圆的标准方程：（ 0） （ 0）12byaxab12bxayab焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 mx2+ny2=1(m0，n0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法解: (相., .2,1的 轨 迹中 点求 线 段段 轴 作 垂 线向从 这 个 圆 上 任 意 一 点半 径 为标 原 点已 知 一 个 圆 的 圆 心 为 坐如 图例
2、 MP xP关点法)设点 M(x, y), 点 P(x0, y0), 则 xx 0, y 得 x0 x， y0 2y.2x 02y 024, 得 x2(2 y)24, 即 所以点 M 的轨迹是一个椭圆 . .144.范围. x2a 2，y 2b 2，| x|a，|y|b椭圆位于直线 xa 和 yb 围成的矩形里5.椭圆的对称性椭圆是关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心6.顶点 只须令 x0，得 yb，点 B1(0,b) 、B 2(0, b)是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y0，得xa，点 A1(a,0)、A 2(a,0)是椭圆
3、和 x 轴的两个交点椭圆有四个顶点：A 1(a, 0)、A 2(a, 0)、B1(0, b)、B 2(0, b)椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点线段 A1A2、B 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.a 叫做椭圆的长半轴长b 叫做椭圆的短半轴长|B1F1| |B1F2| |B2F1|B 2F2| a在 RtOB2F2 中，|OF 2|2| B2F2|2|OB 2|2，即 c2a 2b 27.椭圆的几何性质：aA1yOF2xB2B1AcbyOF12xMc xF21OyMcyxOPM椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中
4、心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标 x 和纵坐标 y 互换，就可以得出2xy1(ab0)a的有关性质。总结如下：2()几点说明：（1）长轴：线段 ，长为 ；短轴：线段 ，长为 ；焦点在长轴上。12Aa12Bb（2）对于离心率 e，因为 ac0，所以 0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于 ，所以 越趋近于 1， 越趋近于 ，椭圆越扁平； 越趋近于22cabeae0e0， 越趋近于 ，椭圆越圆。b（3）观察下图， ，所以 ，所以椭圆的离心率 e = cosOF 2B222|,|OBFc2|BFa8.直线与椭圆：直线 ： （
5、 、 不同时为 0）l0AxByCAB椭圆 ：21(ab)a那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：消去 得到关于 的一元二次方程，化简后形式如下201AxByCabyx， 20()mxnp24nmp（1）当 时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；（2）当 时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切） ；（3）当 时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为 ，那么线段 的长度（即12(,)(,)AxyBAB弦长）为 ，设直线的斜率为 ，2211|()()ABxyk可得
6、： ，然后我们可通过求出方程的根或用韦达22| kx212|x定理求出。椭圆典型例题例 1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值632myx m分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值c22cbam解：方程变形为 因为焦点在 轴上，所以 ，解得 126yxy63又 ，所以 ， 适合故 2cm55m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程03，Pba分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程ab2解：当焦点在 轴上时，设其方程为 x012bayx由椭圆过点 ，知
7、 又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为03，P92ba31292a192yx当焦点在 轴上时，设其方程为 012baxy由椭圆过点 ，知 又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为03，P192baba3812a92b1982xy例 3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 的轨迹和顶点ABC16ACBG的轨迹分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解20G（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程A解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系设 点坐标为 ，由BCxBCGyx，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点因 ， ，20G
8、 10a8c有 ，6b故其方程为 01302yx（2）设 ， ，则 A， G， 01362yx由题意有 代入，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴3yx， A0132490yx x上两点） 例 4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作PP3542P焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为 、 ，且 ， 从椭圆定义1F23541P352F知 即 5221Paa从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，21 12FPRt21sin21PF可求出 ， ，从而 621FP3526cos1PF3022cab所求椭圆方程为 或 1
9、0352yx152yx例 5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点，2ba1A21F2P， 求： 的面积（用 、 、 表示） 21PA1F21PFab分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面CaSsin21积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象yxP， yxP， P限由余弦定理知： 21F2211F224cos由椭圆定义知： ，则 得 a21 2 cos121bP故 sin2121PFSPF sinco12bta2例 6 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心03，A6432yxB：的轨迹
10、方程分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，03，即 点 的轨迹是以 ， 为两焦点，8BMPBA AB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆 12yx（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A（4）椭圆上有两点 、 ，
11、 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yx， 2yxN， MNyxR， ， ， ，yxy2121得 022121121 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有x，212121xyy将代入得 0（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y211xy 342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意，204601643为所求034yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 04yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）
12、21xy 22（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得22121y， ， ， 21214xx 212214yy将代入得： ， 421212x再将 代入式得： ， 即 2121xy 24121xy2x此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程5102解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，mxy142yx1422mx即 ，解得 01252x065222 25（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， x2 521x121x根
13、据弦长公式得 ： 解得 方程为 05412m0my说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例 9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长132yx 09yxl： M轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭
14、圆 的焦点为 ， 132yx031，F2，点 关于直线 的对称点 的坐标为（9，6） ，直线 的方程为1F09l： 2F032yx解方程组 得交点 的坐标为（5，4） 此时 最小932yxM21M所求椭圆的长轴： ， ，又 ，5621Fa3ac 因此，所求椭圆的方程为 365222cb 1642yx例 10 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围12kyxk解：由 得 ，且 ,350,k54k满足条件的 的取值范围是 ，且 3说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,05k5k53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆0baba例 11 已知 表示焦点
15、在 轴上的椭圆，求 的取值范围1cossin22yx)(y分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围解：方程可化为 因为焦点在 轴上，所以 cossin122 0sin1co因此 且 从而 0ta)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方0sin10cos1(2)由焦点在 轴上，知 ， (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件yco2in2b0例 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程)2,3(A)1,3(B分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为
16、( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求12nymx0n出方程解：设所求椭圆方程为 ( ， )由 和 两点在椭圆上2 )2,3(A)1,3(B可得即 所以 ， 故所求的椭圆方程为,1)32(2nm,143nm51n152yx例 13 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交x1F3椭圆于 ， 两点，求弦 的长ABA分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkk也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为焦点21xkAB 4)(21212xxk6
17、a3b3c在 轴上，x所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以86721x1x2， ， ， 从而13721x3821xk1348)(22122 xxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， 9362ymAF1nB1mAF12nBF12在 中， ，即21FA 3cos212122 ；)( m所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 34621FB346n1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ，0836732
18、x1x2A的横坐标B再根据焦半径 ， ，从而求出 11exaAF2eaB1BFA例 14 椭圆 上的点 到焦点 的距离为 2， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）925yxM1FN1MON的值为 A4 B2 C8 D 23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一定义得2F，所以 ，1021aMF8210M又因为 为 的中位线，所以 ，故答案ON4ON为 A说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆21F(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与aMF21焦点的有关距离例 15 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得
19、对于直线 ，椭圆 上有不1342yxC： mmxyl4： C同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1) 直线 ；(2)弦 的中ABl lAB点 在 上Ml利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围解：(法 1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点),(1yx),(2yxll),(0yxM 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去 得l4lkABnx41,1342yxn。 于是 ，08168322nx 13821 210，3400y即点 的坐标为 点 在直线 上， 解得 M)1,(Mmxy4mn134413将式代入式得 0869232mx ， 是椭圆上的两点， 解得 AB 0)48169(34)(22 132(法 2)同解法 1 得出 ， ，n43mx)0，即 点坐标为 mxy 3)(1400M)3,(m ， 为椭圆上的两点， 点在椭圆的内部， 解得ABM1)4)(22132m(法 3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标),(yxA),(2yxBlABlM为 ,0 ， 在椭圆上， ， 两式相减得13421yx1342yx，0)()(321212121 x
