1、求数列前 N 项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前 n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。1. 公式法等差数列前 n 项和：11()()22anSd特别的，当前 n 项的个数为奇数时， ，即前 n 项和为中间项乘以项数。11(2)kkSaA这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前 n 项和：q=1 时， 1Sa，特别要注意对公比的讨论。nnqq，其他公式：1、 2、)1(1kSn )12(612nkSn3、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前
2、 n 项和.logl23x nxx32解：由 21logll1l 3323 由等比数列求和公式得 （利nnxxS2用常用公式） 1xn1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n ，nN *,求 的最大值.1)3()nSnf解：由等差数列求和公式得 ， 2n )2(11nSn（利用常用公式） 1)32()nSnf 6432 64150)8(21 当 ，即 n8 时，)(maxf2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an b n的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 132)2(7531nxxS解：
3、由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的1)(n 1nx通项之积设 . nn xxxxS)12(7531432 得 nnn xxS )12(1)( 143 （错位相减 ）再利用等比数列的求和公式得： nnnxSx)(12)( 21)()2Snn 例 4 求数列 前 n 项的和.,264,3解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n2 n21设 nnS2643 1421（设制错位）得 1432 2)( nnS（错位相减 ）1n 24nS练习：求：S n=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1解： Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 两边同乘以 x，
4、得x Sn=x+5 x2+9x3+(4n-3)xn - 得 ， （ 1-x） Sn=1+4（ x+ x2+x3+ ） -（ 4n-3） xnnx当 x=1 时 ， Sn=1+5+9+（ 4n-3） =2n2-n当 x1 时 ， Sn= 1 1-x 4x(1-xn) 1-x +1-（ 4n-3） xn 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1na例 5 求 的值 89sii3si2i1sin 222 解：设 . in2S将式右边反序得. 1sii3sin8sin9si 22222（反序
5、） 又因为 coi),0co(i 22xxx+得 （反序相加）89 )89cos(sin)2cs(sin)1c(sin2 22222 S S44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 6 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()() 1S将其每一项拆开再重新组合得)2374()11(2 naann（分组）当 a1 时， 3(Sn2)1（分组求和）当 时， )(1nann2)13(1nan例 7 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kka
6、k 23)12( nkS1 )(231nk将其每一项拆开再重新组合得 Sn kknn121312（分组） )21()(3)( 223 nnn ()12)1n（分组求和） )(2练习：求数列 的前 n 项和。),21(,8341n解：nnnS21)()(325. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项）如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12(1)2(1nan（5） )2()()(nn(6) nnnnnn Sa
7、 2)1(,)1(1)(21)( 1 则例 9 求数列 的前 n 项和.,32,1解：设 nna1（裂项）则 1321nSn（裂项求和） )1()23()12( n n例 10 在数列 an中， ，又 ，求数列b n的121nan 12nnab前 n 项的和.解： 2n )1(82nnb（裂项） 数列b n的前 n 项和)1()413()21()(8 nS（裂项求和） )(n8例 11 求证： 1sinco89cos12cos1cos0 2解：设 S nnta)1ta()cos(1i （裂项） 89cos12cos1s0S（裂项求和） 8tant)2tan3(t)tan(t)tan1(tsin
8、 0t89tsi 1cotsisi2 原等式成立练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63 之和。解：94)1(2)917(532)(616. 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （ 找特殊性质项 ）)180cos(S n （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（co
9、s89+ cos91）+ cos90 （ 合并求和 ） 0例 13 数列a n： ，求 S2002.nnaa12321,解：设 S2002 0a由 可得nn12321,654 ,2,3, 1110987 aaa ,2,3,1 656466266 kkkkkk （找特054aaa殊性质项） S 2002 20321aa（合并求和） )()()( 626112876321 kkkaa 201098943)aa 2012019 4636kkkk5例 14 在各项均为正数的等比数列中，若的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 Sn 由等比数列的性质 （找特qpnmqpn殊性质项）和
10、对数的运算性质 得NMaaalogllog)log(l)()(l 6353932310313 aSn （合并求和） )(log)(log)(log 653923103 aaa l9107. 利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 15 求 之和.11个n解：由于 （找)10(9911 kkk个个通项及特征） 11个n )10(9)10(9)()0(932 n（分组求和） )()1( 1321 个nn 90)9n )1(8n例 16 已知数列a n： 的值.11)(,)3(18nnaa求
11、解： （找通)4(2)3()(11n项及特征） )(1)4(218 nn（设制分组） )413(8)(4（裂项） （分组、 111 )()42()( nnnna裂项求和） 8)3( 31练习：求 5，55，555，的前 n 项和。解 ： a n= 5 9(10n-1)S n = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + + 5 9(10n-1)= 5 9（ 10+102+103+10n） -n= （ 10n 1-9n-10）8以上一个 7 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
