1、第 4 章 正态分布习题解答48第 4 章 正态分布1， （1）设 ，求 ， ，)1,0(NZ2.1ZP37.24.Z；24.37.2P（2）设 ，且 ， ，求 。),(97.0a056.bPba,解：（1） ，825)4.1(.Z 0986.25.91.)24.()3.(.3723724. ZPP 0371)().(4.1（2） ，所以 ；37.19.0aZ37.a，所以 ，即526.bZPbP )62.1(940bZP。.12，设 ，求 ， 。)6,3(NX84XP50XP解：因为 ，所以 。1)1,(3N 2957.08.94.0)2.(.4484 P。673695.0)()35(0X3
2、， （1）设 ，试确定 ，使得 。)36,25(NC954.02CXP（2）设 ，试确定 ，使得 。4X.解：（1）因为 1)6(2)()6255 CXPCP所以得到 ,即 ， 0.1。97.0)6(.第 4 章 正态分布习题解答49（2）因为 ，所以 ，即)1,0(23NX 95.0)23(1CXP，从而 ， 。95.,5.)( CC或 者 64.24，已知美国新生儿的体重（以 g 计） 。)57,31(2NX（1） 求 ；25.439075.28XP（2） 在新生儿中独立地选 25 个，以 Y 表示 25 个新生儿的体重小于 2719 的个数，求 。4P解：根据题意可得 。)1,0(573
3、NX（1） )5731.28()5732.92.49.2587 P（或6.0.1(6.0)8.1().( 0.8673） （2） ，492.).()57329(7XP根据题意 ，所以)14.0,BY。64.08.92.25025 kkkC5，设洗衣机的寿命（以年计） ，一洗衣机已使用了)3.2,46(NX5 年，求其寿命至少为 8 年的条件概率。解：所要求的概率为 176.082.541)9.0(16)3.2465(1.85|8 XPXP6，一电路要求装两只设计值为 12 欧的电阻器，而实际上装的电第 4 章 正态分布习题解答50阻器的电阻值（以欧计）服从均值为 11.9 欧，标准差为 0.2
4、 欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在 11.7 欧和 12.3 欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于 12.4 欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量 则,YX，)04.,91(NX)04.,91(NY（1） 3.127.3.127.327,3.27 PPXP；2).091()2.0913( 69.0815.)(22（2）至少有一只电阻器大于 12.4 欧的概率为 2).0914(14.2.14.12,.1 YPXYXP。0.938.27，一工厂生产的某种元件的寿命 （以小时计）服从均值 ，X160均方差为 的正态分布，若要求 ，允许 最大
5、 80.210P为多少？解：根据题意， 。所以有),(160NX，80.1)4(2)1602(120 P即， ，从而 。)8.19.)4( 5.3,8.4故允许 最大不超过 31.25。第 4 章 正态分布习题解答518，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在 ，液体的温度 （以 计）是一个随机变量，且Cd XC，)5.0,(2NX（1） 若 ，求 小于 89 的概率；9（2） 若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不低于 0.99，问至少为多少？d解：因为 ，所以 。)5.0,(2NX)1,0(5.NdX（1） ；28.)2(.98 P（2）若要求 ，那么就有 ， 9.0
6、)5.(dP即 或者 ，从而 ，01.)5.8(d )36.(9.0)5.(d 326最后得到 ，即 至少应为 81.163。63.9，设 相互独立，且 服从数学期望为 150，方差为 9 的正态YX, X分布， 服从数学期望为 100，方差为 16 的正态分布。（1） 求 ， ， 的分布；W1 Y22/)(3YXW（2） 求 ， 。6.4YXP51/)(P解：根据题意 。6,0),950(N（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书 101 页定理2）的性质，立刻得到， ， )25,0(1NW)52,0(2N)425,1(3NW（2） 因为 ， ，所以413， 。),(5YX),0(2
7、/5YX第 4 章 正态分布习题解答52因此 ，0694.)8.1()5206.(.2 YXP 52/(15/)( YXP).)5.2(046.10， （1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以 mm 计），垫圈直径（以 mm 计） ， 相互)2.0,(NX )2.0,51(NYYX,独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。（2）在（1）中若 ， ，问控制 至多为)2.0,1(NX),5.10(2NY多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于 0.90。解：（1）根据题意可得 。螺栓能装入垫圈的概)8.,(率为 。961.07.(0.50 YXP（2） ，所以若要控制)4.,5(2N
8、，)28.1(90.04.)5(2Y即要求 ，计算可得 。表明 至多为28.104.53.0.3348 才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于 0.90。11,设某地区女子的身高（以 m 计） ，男子身高)025.,631(NW第 4 章 正态分布习题解答53（以 m 计） 。设各人身高相互独立。 （1）在这一)05.,731(2NM地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选 5 名女子，求至少有 4 名的身高大于 1.60 的概率；（3）在这一地区随机选 50 名女子，求这 50 名女子的平均身高达于 1.60 的概率。解：（1）因为 ，所以)03125.,(NWM
9、 0367.9.1)7.(.0 P；（2）随机选择的女子身高达于 1.60 的概率为，849.0)21()05.631(60.1 WP随机选择的 5 名女子，身高大于 1.60 的人数服从二项分布，所以至少有 4 名的身高大于 1.60 的概率为)849.0,(B 895.04.)89.01(5545 CC（3）设这 50 名女子的身高分别记为随机变量 ，501,W。则 ，所以这 50 名女子的501iiW)502.,631(501Nii平均身高达于 1.60 的概率为 1)49.8()50/2.63(160. P12， （1）设随机变量 ，已知 ，),(2NX20.16XP，求 和 ；90.
10、2XP（2） 相互独立且都服从标准正态分布，求ZY,第 4 章 正态分布习题解答54。7623ZYXP解：（1）由 ，得到)84.0(2.)16(；84.0，得到 ；).1(9.0)2(XP 28.1联立 和 ，计算得到 。84.01628.1850.1,534.7（2）由 相互独立且都服从标准正态分布，得到ZYX,。)490(63N故所以 1587.0)()70(62372 ZYXPZYXP13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为 30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到 时结束。)(gm以 记容器中饮料的重量。设台秤的误差为 ， 以)(gZ 5.7,02NXXg 计
11、。 （此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）（1）写出 的关系式；mX,（2）求 的分布；Z（3）确定 使容器中所装饮料至少为 450g 的概率不小于 0.95。解：（1）根据题意 有关系式 或者 ；mX, XZ30XmZ30（2）因为 ，所以 ；)5.7,0(2N)5.7,(2N第 4 章 正态分布习题解答55（3）要使得 ，即要95.0ZP，95.0.7)3(414m所以要求 ，即 ，)65.(9.05.78m64.1.8。所以，要使容器中所装饮料至少为 450g 的概率不小3.492于 0.95， 至少为 492.4g。14,在上题中若容器的重量 也是一个随机变量， ，)(gY)9,30
12、(NY设 相互独立。YX,（1）求 的分布；Z（2）确定 使容器中所装饮料至少为 450g 的概率不小于 0.90。m解：（1）此时 ，根据 ， ，可得XY)9,30(NY)5.7,0(2X。)25.6,30(NZ（2） ，)28.1(90.25.648.)(4145 mP可得 ，即 。28.60m3.9015，某种电子元件的寿命 （以年计）服从数学期望为 2 的指数X分布，各元件的寿命相互独立。随机取 100 只元件，求这 100 只元件的寿命之和大于 180 的概率。解：设这 100 只元件的寿命分别记为随机变量 ，10,X。则 ， 。根据独立同分布的中心极10iiX2)(E04.)(XD
13、第 4 章 正态分布习题解答56限定理可得 8413.0)(2.081(2.081.8.118010 XPXPii16，以 记 100 袋额定重量为 25（kg）的袋装肥料的真实10,的净重， 服从同一分布，.10,2,)(,25)( iXDkgXEii 10,X且相互独立。 ，求 的近似值。10ii 25.7.4P解：根据题意可得 。由独立同分布的中10)(,(25)(kg心极限定理可得)5.2().(1.025.251.07425.7.24 XPXP9876)(17，有 400 个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为 10-7。设舍入误差相互独立，且在区间服从均匀分
14、布。求误差总和的绝对值小于)105.,.0(77的概率。 （例如 45.345678419 舍入到 45.3456784）6解：以 记这 400 个数据的舍入误差， 。则401,X 401iiX。利用独立同分布的中心极限定理可得8)(,)(14DE 1025.025.05. 886401 XPXPii第 4 章 正态分布习题解答57480125.0481025. 8148XP)25.()25.(61018，据调查某一地区的居民有 20%喜欢白颜色的电话机， （1）若在该地区安装 1000 部电话机，记需要安装白色电话机的部数为 ，X求 ， ， ；（2）问至少需要安装18570XP190P180X多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于 50 部的概率大于 0.95。解：（1）根据题意， ，且 。)2.0,1(BX160)(,20)(XDE由 De Moivre-Laplace 定理，计算得 )1605.7()1605.8(1570 XP；17.)92.()874.()4.2()5.( ；6.03.160190 XP。18.92.)54.()125.8( （2）设要安装 部电话。则要使得n 95.0)16.2549()16.025(150 nnXP就要求 ，即 ，从而)4.(9.)6.42(n .0
