1、概率论基础知识第一章 随机事件及 其概率一 随机事件1 几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为 随机试验 ；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为 E。例如：E 1：掷一骰子，观察出现的总数；E 2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为 随机事件 ：常记为 A，B，C 例如，在 E1 中，A 表示“ 掷出 2 点” ，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事件与
2、不可能事件：每次试验必发生的事情称为 必然事件 ，记为 。每次试验都不可能发生的事情称为 不可能事件 ，记为 。例如，在 E1 中， “掷出不大于 6 点”的事件便是必然事件，而“掷出大于 6 点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为 事件 。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为 基本事件 。例如，在 E1 中， “掷出 1 点” ， “掷出 2 点” ， “掷出 6 点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为 复合事件 ，例如，在 E1 中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为 样本点 ，常记为 e.例如
3、，在 E1 中，用数字 1，2，6 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集1，2，6 便是 E1 中的基本事件。在 E2 中，用 H 表示正面， T 表示反面，此试验的样本点有（H，H） ， （H，T） ， （T，H） ， （T，T） ，其基本事件便是（H ，H）， （H，T），（T， H）， （T，T）显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如， 在 E1 中“掷出偶数点”的事件便可表为2，4，6 。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为 。例如，在 E1 中，=1，2，3，4，5，6在 E2 中，=（H，H） ， （H，T） ， （T，H） ， （T，T）在 E3 中，=0，1，
4、2，例 1，一条新建铁路共 10 个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。此试验样本空间所有样本点的个数为 N =P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为(组合)例 2随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，观察 15 名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列2 事件间的关系与运算 1、包含:“若事件 A 的发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 A B或 B A。 例如，在 E1 中，令 A 表示“ 掷出 2 点
5、”的事件，即 A=2B 表示“掷出偶数”的事件，即 B=2，4， 6则 2、相等：若 A B 且 B A，则称事件 A 等于事件 B，记为 A=B例如，从一付 52 张的扑克牌中任取 4 张，令 A 表示“取得到少有 3 张红桃”的事件；B 表示 “取得至多有一张不是红桃”的事件。显然 A=B3、和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件简称为和，记为 A B，或 A+B例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示“甲击中目标”的事件，B 表示“乙击中目标”的事件，则 AUB 表示“目标被击中”的事件。推广： 有限个 无穷可列个 4、积：称事件 A 与事件 B 同时发
6、生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A B或 AB。例如，在 E3 中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 A=接到偶数次呼唤，B=接到奇数次呼唤 ，则 A B=接到 6 的倍数次呼唤 推广：任意有限个无穷可列个5、差：称事件 A 发生但事件 B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为 A-B。例如，测量晶体管的 参数值，令 A=测得 值不超过 50，B=测得 值不超过 100 ，则，A-B=，B-A=测得 值为501006、互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=，则称 A 与 B 是互不相容的。例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：
7、若 A=红灯亮，B=绿灯亮，则 A 与 B 便是互不相容的。7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 显然 ，A =例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令A=取得的 3 个产品中至少有一个次品，则 =取得的 3 个产品均为正品。3 事件的运算规律 1、交换律 AB=BA； AB=BA2、结合律 （AB）C=A（BC） ；（A B）C=A（BC ）3、分配律 A（BC）= （AB）（AC） ， A（B C）=（AB）（A C）4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如A B A，AB B（越求和越大） ；AB A，AB B（越求积越小） 。若 A B
8、，则 A B=B, A B=A A-B=A-AB= A 等等。例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai=第 i 次取得合格品,i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A=三次都取得合格品三次中至少有一次取得合格品三次中恰有两次取得合格品三次中最多有一次取得合格品解： 表示方法常常不唯一，如事件又可表为或 例 4，一名射手连续向某一目标射击三次，令 i=第 i 次射击击中目标 , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解： A1A2A3=三次射击都击中目标A3-A2=第三次击中目标但第二次未击中目标例 5，下图所示的电路中，以 A 表示“信号灯亮”这一事件，以 B,C,D 分别表
9、示继电器接点，闭合，试写出事件 A,B,C,D 之间的关系。 解，不难看出有如下一些关系： 二 事件 的概率1 概率的定义所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P（A ） 。规定 P(A)0，P（）=1。1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令 A=掷出 2 点=2，B=掷出偶数总=2，4，6。此试验样本空间为=1，2，3，4，5，6，于是，应有 1=P（）=6P（A） ，即 P（A ）=。而 P（B）=3P （ A）=定义 1：在古典概型中，设其
10、样本空间 所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 而事件 A 所含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为：例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间=（H，H，H ） （H，H，T ） （H，T，H） （T，H，H） （H，T，T） （T ，H，T） （T ，T，H）（T， T， T）。可见 N =8 令 A=恰有一次出现正面 ，则 A=（H，T，T） （T，H ，T） （T，T，H）可见，令 NA=3 故例 2， （取球问题）袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列三种
11、取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球：从袋中任取 3 个球。 在以上三种取法中均求 A=恰好取得 2 个白球 的概率。解：（1）有放回取球 N =888=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况，第三次取黑球只有三种情况）（2）无放回取球 故 （3）一次取球故 属于取球问题的一个实例：设有 100 件产品，其中有 5%的次品，今从中随机抽取 15 件
12、，则其中恰有 2 件次品的概率便为（属于一次取球模型）例 3（分球问题）将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（nN） 。解： 令 A=恰有 n 个盒子各有一球，先考虑基本事件的总数先从 N 个盒子里选 n 个盒子，然后在 n 个盒子里 n 个球全排列故属于分球问题的一个实例：全班有 40 名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令 A=40 个同学生日皆不相同，则有(可以认为有 365 个盒子，40 个球)故 例 4（取数问题）从 0，1，,9 共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1） 四个数排成一个偶数；（
13、2） 四个数排成一个四位数；（3） 四个数排成一个四位偶数；解：令 A=四个数排成一个偶数，B=四个数排成一个四位数 ，C=四个数排成一个四位偶数，例 5（分组问题）将一幅 52 张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得 13 张黑桃及有人手里有 4 张 A 牌的概率各为多少？解：令 A=有人手里有 13 张黑桃，B=有人手里有 4 张 A 牌于是 ，故不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：1 P（A） 0 2 P（）=13 若 A1，A 2，A n 两两互不相容，则2、概率的统计定义 频率：在 n 次重复试验中，设事件 A 出现了 nA 次，则称： 为事件 A 的频率。频
14、率具有一定的稳定性。示例见下例表 试验者 抛硬币次数 n 正面（A）出现次数 nA 正面（A）出现的频率德摩尔根 2048 1061 05180浦丰 4040 2148 05069皮尔逊 12000 6019 05016皮尔逊 24000 12012 05005维尼 30000 14994 04998定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1 2 3 若 A1，A 2，两两互不相容，则3、概率的公理化定义 （数学定
15、义）定义 3：设某试验的样本空间为 ，对其中每个事件 A 定义一个实数 P（A） ，如果它满足下列三条公理：1 P（A） 0（非负性） 2 P（）=1（规范性）3 若 A1，A 2，A n两两互不相容，则（可列可加性，简称可加性） 则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义定义 4：假设 是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从 中随机地选择一点，即 中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是 ，假设事件 A 是 中任何一个可度量的子集，则P(A)=(A)/ ()2 概率的性质 性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) 差的概率等于概率之差证： 因为：A B 所以：B=A(B-A)且 A(B-A)=,由概率可加性 得 P（B）=PA（B-A）=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A） =P（B）-P （A） 性质 2：若 A B， 则 P（A）P（B） 概率的单调性证：由性质 1 及概率的非负性得 0P（B-A）=P（B ）-P（A ） ，即 P（A ）P（B ） 性质 3：P（A）1 证明：由于 A ，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）1
