1、1求函数极限的方法1. 预备知识1.1 函数极限的定义定义 1 设 为定义在 上的函数， 为定数若对任给的 ，存在正f,aA0整数 ，使得当 时有 ，则称函数 当 趋于 时以 为极MaxMfxfxA限记作： 或 limxfA定义 2 设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义， 为定数，若f0x0;Ux对任给的 ，存在正数 ，使得当 时有 ，则称函00fxA数 当 趋于 时以 为极限记作： 或 fxA0limxfA0f定义 3 设函数 在 （或 ）内有定义， 为定数若对任f0;U;给 的，存在正数 ，使得当时 （或 ）有000x00xx，则称数 为函数 当 趋于 （或 ）时的右（左）极限记作：fx
2、AAf或 00limlixxff00fxAxfAx1.2 函数极限的性质性质 1（唯一性） 若极限 存在，则此极限是唯一的0limxf性质 2（局部有界性） 若 存在，则 在 的某空心邻域 内有0f0x0Ux界性质 3（局部保号性） 若 （或 ） ，则对任何正数 （或0lixfArA） ，存在 ，使得对一切 有 （或 ） rA0UxoUx0fr0fx性质 4（保不等式性） 设 与 都存在，且在某邻域0limx0lixg内有 ，则 0;xfxg00lixf性质 5（迫敛性）设 ，且在某邻域 内有00lixfgA0;Ux2，则 fxhgx0limxhA性质 6（四则运算法则） 若极限 与 都存在，
3、则函数 ，0lixf0limxgfg，当 时极限也存在，且fg0x1. ；0 00limlilix xxfgfg2. ；0 00又若 ，则 当 时极限存在，且有 0lixfgx3. 00lilimxxffg.求函数极限的若干方法2.1 利用定义求极限例 证明 21limxx分析 当 时， ，故 ，于是有021x，2 31122xxx取 ，当 时 ，故有 ，从而有1210321x，取 即可6x26证明 对于 ，取 ，于是当 时，有01min,2601x，x由定义知 成立21limxx注 函数 在点 处是否有极限，与函数 在点 处是否有定义无关f0 fx032.2 利用函数的连续性求极限例 2 求
4、 4limtanxx解 4 3litt4x此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数 在 处连tanfxx4续，所以可把 直接代入求极限若以后遇到此类函数可用此方法求其极限4x2.3 利用两个重要极限求极限首先给出两个重要极限的一般形式（1） ； （2） 0sinlm1x1limxxe例 3 求极限 ilxa解 ，cosinsinsin22coaxax于是有 sinsin2lmlicoxaxaxasin2licosl2xaxa先利用和差化积对函数进行转化，要使用 ，必须使函数中出现此类0sinlm1x型的式子，如当 时 ，此时 ，再进行求解xa02i2lxa例 4 求极限 （ 为给定实数） 10
5、limxx4解 1100limlixxx e在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用如 ，此题就是利用这种变形求解的在以后的101lilixyxye求函数极限的问题中可灵活运用2.4 利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换例 5 求极限 ， 为正整数21limnxx 解 21l
6、inx 2111li nx xx 2121lim1nx xx 121li limnx x 23n 1n本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解2.5 利用迫敛性求极限例 6 求极限 23(1)limn n 解 由放缩法得5，2 2 23(1)13 31nn n 化简得，23(1)1322nn 因为，1limli2nn由迫敛性定理得231li 2nn 在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等本题就是用放缩法使得，2 2 23(1)13 31nn n 且 ，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限1limlinn2.6
7、利用归结原则求极限归结原则 设 在 内有定义， 存在的充要条件是：对任何含f0;Ux0limxf于 且以 为极限的数列 ，极限 都存在且相等0;Ux0nnn例 7 求极限 21limn分析 利用复合函数求极限，令 ， 求解21xux1xv解 令 ， 则有21xuxv； ，limnueli1nvx由幂指函数求极限公式得，21lilixvxx ue6故由归结原则得2211limlinxnxe注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于 ，0x， 和 这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强0xx的形式注 2 若可找到一个以 为极限的数列 ，使 不存在，或找到两个0nxli
8、mnnfx都以 为极限的数列 与 ，使 与 都存在而不相等，则0xnx linf“不存在0limxf2.7 利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限 30tansilimxx解 由于 ，而t1co， ，sin0x2s0x3sin0x故有23300tansi1limlcosxx注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有 ， ，而推出tan0xsin0x，3300ilimlsixx则得到的式错误的结果附 常见等价无穷小量， ， ，sin0xtan0x21cos0x7， ， ，ar
9、csin0xarctn0x10xe， l112.8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求 型不定式极限及 型不定式极限用此种方法求极0限要求在点 的空心领域 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零0x0Ux例 9 求极限 21coslimtanx解 由于 ，且有2litx， ，1cos22tantsec0xx由洛比达法则可得 21coslimtanxiex3cosli2x1例 10 求极限 3limxe解 由于 ，并有lilix， ，xe320x由洛比达法则可得，32limlixxe由于函数 ， 均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法xfe2g则32limlililim6xxxx
10、ee8注 1 如果 仍是 型不定式极限或 型不定式极限，只要有可能，我0limxfg们可再次用洛比达法则，即考察极限 是否存在，这时 和 在0limxfgfxg的某领域内必须满足洛比达法则的条件0x注 2 若 不存在，并不能说明 不存在0limxfg0lixfg注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件下面这个简单的极限 虽然是 型，但若不顾条件随便使用洛比达法sinli1x则，sicosliml1xx就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论2.9 利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在 时的
11、特殊形式，即麦0x克劳林公式也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式2“00!nnfffxffxx 例 11 求极限 240coslimxe解 由于极限式的分母为 ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取 ：4n，245cos1xx，22458xe245cos1xx因而求得9245400cos 11limli2xx xe利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的 n2.10 用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数 在点 处可导，则下列式子成立：yfx01 ，00limxffxf2 00lihfff其中 是无穷小，可以是 ， 的函数或其他表达式0xx例 12 求极限 20limx
12、pq,q分析 此题是 时 型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解解 令 ， 则2fxp2gxq20limx0lixffg0fpq2.11 利用定积分求极限有定积分的定义知，若 在 上可积，则可对 用某种特定的方法并fx,ab,ab10取特殊的点，所得积分和的极限就是 在 上的定积分因此，遇到求一些fx,ab和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法例 13 求极限 22211limnnn 解 对所求极限作如下变形： 22211linnn 222lim11nnn 21lini不难看出，其中的和式是函数 在区间 上的一个积分和，所以有21fx0,1222lim1nnn 120dx120x102
