1、 DB CA EDB CA E DB CA EAB DC双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的 2 倍。模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：BAD=2EDC。AB=AC，设AB
2、C=ACB=，AD=AE，设ADE=AED=，其中两个等腰三角形的一条腰 AE 与 AC 共线，那么剩余的底 DE 与剩余的底 BC 的夹角EDC=-，那么剩余的腰 AB 与剩余的腰 AD 的夹角BAD=ADC-ABC=2-2，BAD=2EDC。模型一变式、如图，AB=AC，BAD=2EDC，求证：AD=AE。如图，AD=AE，BAD=2EDC，求证：AB=AC。模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC。AB=AD，设ABD=ADB=，AB=AC，设ABC=ACB=，其中两个等腰三角形的一条腰 AB 与 AB 共线，那么剩余的底 BD 与剩余的底 B
3、C 的夹角DBC=-，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 AD 的夹角CAD=BAD-BAC=2-2，CAD=2CBD。同理可证，BAC=2BDC。模型二变式、如图，AB=AC，CAD=2CBD，求证：AB=AD。如图，AB=AC，BAC=2BDC，求证：AB=AC。模型二思考、等腰ABC 与等腰ACD 也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足 2 倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC；（3）BAD=2BCD。AB=AD，设ABD=ADB=，AB=AC，设ABC=ACB=，AB
4、 DCEB CFAD QPEB CFADD CAB EHGEA DB CF其中两个等腰三角形的一条腰 AB 与 AB 共线，那么剩余的底 BD 与剩余的底 BC 的夹角DBC=+，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 AD 的夹角CAD=2+2，CAD=2CBD。同理可证BAC=2BDC；BAD=2BCD。模型二与模型三都可以看成点 A 为BCD 的外心。模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？模型四、如图，等腰ABC 中，AB=AC，等腰DEF 中，DE=DF，图中 AB 与 DE 共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直
5、线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角，通过前面的方法可证CPF=2FQC。典型例题赏析例 1：如图，RtABC 中，AB=AC，D、E 分别是 BC、AC 边上一点，连接 AD、DE，若BAD=2CDE，CD=4，AE= ，求 AC 的长。24例 1 解析：由 AB=AC 和BAD=2CDE，可得 AD=AE= ，24解ACD，可得 AC= 。6例 2：如图，正方形 ABCD，过点 A 作EAF=90，两边分别交直线 BC 于点 E，交线段 CD 于点 F，G为 AE 中点，连接 BG，过点 G 作 BG 的垂线交对角线 AC 于点 H，连接 HF，若 CH=3AH，请你探究 HF与
6、 AF 之间的数量关系.例 2 解析：由 BG 是直角三角形 ABE 的斜边中线，得 BG=AG，由正方形 ABCD，得BAC=45，题中已知BGH=90得BGH=2BAH，由模型二的变式可得 GH=GB，为接下来固定图形起到了至关重要的作用，设 AH=k，CH=3k，BC= k，连接 BH，得 BH= k，由GBH 为等腰直角三角形，得25GB=GH= k，AE=2BG= k，AB= k，得 BE= k，由ADF101022ABE，DF=BE= k，AF= k，CF= k，解CFH，得 FH= k，得 AF= FH.2 52HGAB共腰双等腰部分FECA DB O FE CA DB O FE
7、 CA DBxyABOxy FGN MQABO P例 3：如图，在菱形 ABCD 的对角线 AC 上取点 E，连接 BE，使BEC=60，在 CD 边上取点 F，连接EF，且CEF= ABE，若 CF=4，CE=16，求 AE 的长. 21例 3 解析：本题由菱形构成，菱形四条边相等，所以不缺少等腰三角形，但是CEF= ABE 这个21条件不知如何使用。连接 DE，ABEADE，ABE=ADE，由 DA=DC，CEF= ADE，得DE=DF，设 EO=k，BE=2k，DE=DF=2k，DC=BC=2k+4，CO=16-k，BO= k，勾股BOC，得 k=5，AE=6。3例 4：在平面直角坐标系
8、中，抛物线 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直2yxbc线 AB 的解析式为 .3yx（1）求抛物线解析式；（2）P 为线段 OA 上一点（不与 O、A 重合） ，过 P 作 PQx 轴交抛物线于 Q，连接 AQ，M 为 AQ 中点，连接 PM，过 M 作 MNPM 交直线 AB 于 N，若点 P 的横坐标为 t，点 N 的横坐标为 n，求 n 与 t 的函数关系；（3）在（2）的条件下，连接 QN 并延长交 y 轴于 E，连接 AE，求 t 为何值时，MNAE. 例 4 解析：有已知可容易得（1）答案 。23yxFECA D共腰双等腰部分（2）共腰双等腰部分NMQAPED
9、CBAEB CADxyHEN MQABO P（2）BAO= NMP，MA=MP，得 MN=MP，21得NMP 为等腰直角三角形，过 M 作x 轴的垂线，过 N 作 y 轴的垂线，可得NFMMGP，设点P（t，0）,Q(t，)，由 M 为 AQ 中点，23tMG=，NF=MG=213t，所以 =OG-NF=21tn21t。（3）MN=MP=MQ，得NQP= NMP=45，NHQ=AHP=45，得QNH=90，得21EQAB，MNAE，由 M 为 AQ 的中点，得 N 为 EQ 的中点，得 AN 垂直平分 EQ，得AQ=AE，EAO=AEB-90=(45+AEQ)-90=AEQ-45 又AQP=A
10、QE-45，EAO=AQP，EOA=QPA=90，APQOEA，AO=PQ=3，由 Q(t， )，得23t， （舍） ， 。23t10t2t强化训练习题1、如图：在ABC 中，AB=AC，D、E 分别是 BC、AC 边上一点，且 AD=AE，BAD=68，求CDE 的度数.2、如图，在ABC 中，ABC=C，D、E 分别在 CB、AB 的延长线上，连接 AD、DE，且E=ADE，若BDE=50，求DAC 的度数.（3）共腰双等腰部分N MQPEFCDABCDBAGHBCDAEDEAB C BACBAC3、如图，在ABC 中，线段 BC 的垂直平分线交 AB 于点 F，垂足为 E，D 为 EF
11、上一点，连接AD、BD、CD，若ACD 为等边三角形，EF=2，求 BF 的长.4、如图，在四边形 ABDC 中，连接 AD、BC，AB=BC=BD， DAC 的正切值为，若 AB=5，求31CD 的长.5、如图，在菱形 ABCD 中，tanDAB= ，AE=AB， AHBE 于点 H，连接 DE 交 AH 于点 G，连接34BG，BG=10，求 BE 的长.6、如图，RtABC 中，B=90，BAC=60，点 E 是 AC 边的中点，D 为 BC 上一点，若 BA=BD，求 sin ADE 的值.7、已知，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，D 是 AC 的中点，E 为 AC 垂直 平分
12、线上的动点，连接 CE，过 E 作 EFCE，垂足为 E，射线 EF 交直 线 AB 于 F，若 AC=4，四边形 BCEF 的面积为 4.5 时，求DCAB FEAB CDFDEOA BCAF 的长.8、如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC、BD，AC=AD=BC，ABC=60，AD= ，CD= ，求 BD 的273长.9、如图，等边ABC 中， D 为直线 BC 下方一点，满足BDC=90，将点 C 沿直线 BD 折叠得到点 E，连接 DE、AE，交射线 DB 于点 F.（1）求证：AEC=30；（2）请你猜想 AE、CE、BF 之间的数量关系，并证明你的结论.10、如图，在 RtAB
13、C 中，ACB=90，点 O 在 AB 边上，OB=OC，点 D 在 OC 的延长线上，连接AD，点 E 在 AD 上，OE 交 AC 于点 F，OE=OC，ABC=CAD+30，若 OF=4，DE=3，求 OD 的长.答案：1、CDE=682、DAC=1003、BF=4DB ECA F DB ECADB ECA DB ECA4、CD= 105、BE= 86、sin ADE= 27、AF= 或 AF=358、BD=89、 （1）略；（2） CE+BF=AE2310、OD=7共底双等腰接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而
14、剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。模型一、如图，AB=AC，BD=DE， （1）求证：ABD=CDE；（2）延长 ED 交 AB 于 F，求证：BDC=BFE。证明：（1）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底 BC 与 BE 共线，那么腰 AB 与腰 BD 的夹角ABD=ABC-DBE=-，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 DE 的夹角CDE=ACB-DEB=-，ABD=CDE。（2）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底 BC 与 BE 共线
15、，那么腰 AB 与腰 DE 的夹角BFE=180-ABC-DEB=180-，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 BD 的夹角BDC=180-ACB-DBE=180-，BDC=BFE。模型一变 式、如图， AB=AC，ABD=CDE，求证：BD=DE。如图， BD=DE，ABD=CDE，求证：AB=AC。FDE CBAFDE CBAFDE CBA FDE CBAFDE CBAFDE CBADE CBA模型二、如图，点 D 为射线 CA 上一点，点 E 为 BC 上一点，AB 交 DE 于 F，若 AB=AC，DB=DE，求证：（1）ABD=CDE；（2）BDC=BFE。证明：（1）AB=AC，设AB
16、C=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底 BC 与 BE 共线，那么腰 AB 与腰 BD 的夹角ABD=DBE -ABC =-，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 DE 的夹角CDE=DEB -ACB =-，ABD=CDE。（2）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底 BC 与 BE 共线，那么腰 AB 与腰 DE 的夹角BFE=180-ABC-DEB=180-，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 BD 的夹角BDC=180-ACB-DBE=180-，BDC=BFE。模型二变式、如图，AB=AC，ABD=CDE，求证：BD=D
17、E。如图，BD=DE，ABD=CDE，求证：AB=AC。如图，AB=AC，BDC=BFE，求证：BD=DE。如图，BD=DE，BDC=BFE，求证：AB=AC。模型三、如图，点 D 为射线 CA 上一点，点 E 为射线 CB 上一点，若 AB=AC，DB=DE，求证：ABD=CDE。证明：AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底 BC 与 BE 共线，E CAB DDFACBEFDB CE AFE CABDGDFACBE那么腰 AB 与腰 DB 的夹角ABD=180-ABC-DBE=180-，那么剩余的腰 AC 与剩余的腰 DE 的夹角CDE=18
18、0-ACB-DEB=180-，ABD=CDE。模型三思考：图中两个等腰三角形的底 BC 与 BE 共线，腰 AC 与腰腰 DB 的夹角为BDC，那么剩余的腰 AB 与剩余的腰 DE 在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角AFD，通过前面的方法可证BDC=AFD。典型例题赏析例 1：如图，等腰直角ABC，BAC=90，AB=AC，D 是 AB 上一点，连接 CD、DE，若 CD=DE，求证：BE= AD.2例 1 解析：AB=AC，CD=DE，由共底双等腰，得BDE=ACD，过 D 作 DFBC 交 AC 于 F，导角得CFD=DBE=135，可得CDFED
19、B，BE=DF，由 DF= AD，BE= AD。22例 2：如图，ABC 为等边三角形，D 为 AB 上一点，点 E 为 CD 延长线上一点，CE=CB，连接 BE 并延长交 CA 的延长线于点 F，若 AD=3，CF=7，求 CD 的长.例 2 解析：题目中已经具备了等边三角形 ABC 和等腰三角形 CBE，并且两个等腰三角形还是共腰的双等腰，但是并不足以解决求 CD 的问题，所以我们在 CF 上取点 G，连接 BG，使得 FG=BG，再构造出一个等腰GFB，由 CE=CB，形成共底双等腰，得GBC=FCE，再由题目中的等边三角形 ABC，就共底双等腰部分GFB CEF DCOA BE DC
20、OA BN MPF DCO BAEDAB C出现了我们非常熟悉的ACDBCG，AD=CG=3，FG=CF-CG=7-3=4，由ACDBCG，CD=BG=FG=4。例 3：如图，在半O 中，AB 为直径，C 在半O 上，且 ，当 AB=4 时，连接 AC.ACB（1）求 AC 的长；（2）在 上有一点 D，当 时，求 AD 的长；AB1tan3A（3）在（2）的条件下， 上有一点 E，过 E 作 EF 平行 AC 交 AD 于 F，连接 BE、BF，若 BE=BF，求 AF 的长. 例 3 解析：由已知条件，很容易求出（1）AC= ， （2）AD= 。85（3）题目中已经具备等腰三角形 BEF，
21、延长 EF 交 AB 于 P，EFAC，EPB=CAB=45，过 E作 EMAB 于 M，构造出第二个等腰三角形 MEP，由共底双等腰得，BEM=FBP，过 F 作 FHAB 于N，EMBBNF，FN=BM，设 BM=k，则 FN=k，由 tanDAB= ，AN=2k，BN=4-2k，EM=4-122k，BM=k，OM=2-k，连接 OE，EMO=90，在OEM 中， ，2OEM， （取加号时，k2，加号舍去） ，222()(4)k105ktanDAB= ，AF=1 。52强化训练习题1、如图，等边ABC 中，D 是 BC 的中点，P 为射线 AD 上一点，若BPA 为等腰三角形，求BPC 的度数.MPFBE共底双等腰部分
