1、教学目标 1、掌握全等三角形的性质及判定；2、全等三角形证明方法及过程重点、难点 全等三角形证明过程考点及考试要求 全等三角形的证明教 学 内 容第一课时 全等三角形证明知识梳理课前检测1、如图,已知 MBND,MBANDC,下列不能判定ABMCDN 的条件是（ ）AMN BABCD CAMCN DAMCN2、某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带和去第 1 题 第 2 题 3、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）A两条直角边对应相等 B两个锐角对应相等C一条直角边和它所对的锐角对应相等 D一
2、个锐角和锐角所对的直角边对应相等 4、AD 是ABC 中 BC 边上的中线，若 AB4，AC6，则 AD 的取值范围是（ ）A.AD1 B.AD5 C.1AD5 D.2AD105、如图所示，ABEACD，B70，AEB75，则CAE_. ABCDE第 1题知识梳理一、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。（1）
3、缺个角的条件：1、公共角 2、对顶角 3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形 5、同角或等角的补角（余角） 6、等角加（减）等角7、平行线 8、等于同一角的两个角相等（2）缺条边的条件：1、公共边 2、中点 3、等量和4、等量差 5、角平分线性质 6、等腰三角形7、等面积法8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等9、两全等三角形的对应边相等10、等于同一线段的两线段相等第二课时 全等三角形证明典型例题典型例题一一一、截取构全等如下左图所示，OC 是AOB 的角平分线，D 为 OC 上一点，F 为 OB 上一点，若在 OA 上取一点E，使得 OE=OF，并连接 DE，则有OEDOFD，从而
4、为我们证明线段、角相等创造了条件。例 ：如上右图所示，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。提示：在 BC 上取一点 F 使得 BF=BA，连结 EF。二、角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过AOB 的平分线 OC上一点 D 向角两边 OA、OB 作垂线，垂足为 E、F，连接 DE、DF。则有：DE=DF，OEDOFD。例 ：如上右图所示，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180 三、作角平分线的垂线构造等腰三角形。如下左图所示，从角的一边 OB 上
5、的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF，使之与角的另一边 OA相交，则截得一个等腰三角形（OEF） ，垂足为底边上的中点 D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归” 。例 1：如上右图所示，已知BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH=（AB-AC）提示：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 2：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2
6、 ，CEBD 的延长线于 E,求证：BD = 2CE提示：延长 CE 交 BA 的延长线于点 F。四、作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：如下左图所示，过角平分线 OC 上的一点 E 作角的一边 OA 的平行线 DE，从而构造等腰三角形ODE。如下右图所示，通过角一边 OB 上的点 D 作角平分线 OC 的平行线 DH 与另外一边 AO 的反向延长线相交于点 H，从而构造等腰三角形 ODH。五、由线段和差想到的辅助线（1）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线
7、段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。在ABC 中，AD 平分BAC，ACB2B，求证：ABACCD。（2）对于证明有关线段和差的不等 式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可 想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等 关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出 现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.（法 1）证明：将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，A
8、MAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法 2）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。六、由中点想到的辅助线 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么
9、首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质） ，然后通过探索，找到解决问题的方法。（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD 是 ABC 的中线，则SABD =SACD =SABC （因为 ABD 与 ACD 是等底同高的） 。例 1、如图 2，ABC 中，AD 是中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD，DF 是 DCE 的中线。已知 ABC 的面积为 2，求：CDF 的面积。（2）倍长中线已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组
10、全等三角形。如图，延长 AD 到 E，使得 AD=AE，连结 BE。例 2、如图 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。7、验证中点、中线问题，应构造平行线如图，过 B 作 BE 平行 AC 交 AD 延长线于 E。例 3如图 3，在等腰ABC 中，AB=AC，在 AB 上截取 BD，在 AC 延长线上截取 CE，且使 CE=BD连接 DE 交 BC 于 F求证：DF=EF第三课时 全等三角形证明课堂检测课堂检测 一、填空题1如图（1） ， C= E，1=2， AC=AE，则 ABD 按边分是_ 三角形2如图（2） ， AB=
11、AC， BD AC 于 D， CE AB 于 E，交 BD 于 P，则PD_PE（填“”或“=” ） 3如图（3） ， ABC 中， AB=AC，现想利用证三角形全等证明 B= C，若证三角形全等所用的公理是 SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_FEDCBA图（1） 图（2） 图（3） 图（4）4一个三角形的三边为 2、5、 x，另一个三角形的三边为 y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_5如图（4） ， AD=AE，若 AEC ADB，则需增加的条件是_ （至少三个）2、选择题6如图（8） ，图中有两个三角形全等，且 A= D， AB 与 DF 是对应边，则下列书写最规范的是（ ）
12、A ABC DEF B ABC DFEC BAC DEF D ACB DEF7如图（9） ， AC=AB， AD 平分 CAB， E 在 AD 上，则图中能全等的三角形有_对A1 B2 C3 D4图（8） 图（9） 图（10） 图（11）8 如 图 （ 10） ， ABC中 ， D、 E是 BC 边 上 两 点 ， AD=AE， BE=CD， 1= 2=110， BAE=60， 则 CAD 等于 （ ）A70 B60 C50 D1109如图（11） ， AB CD，且 AB=CD，则 ABE CDE 的根据是 （ ）A只能用 ASA B只能用 SAS C只能用 AAS D用 ASA 或 AAS
13、10如图（12） ， ABC AEF， AB 和 AE， AC 和 AF 是对应边，那么 EAC 等于（ ）A ACB B BAF C F D CAF11如图（13） ， ABC 中， C=90， AC=BC， AD 平分 CAB 交 BC 于 D， DE AB 于 E 且 AB=6 cm，则 DEB 的周长为 （ ）A40 cm B6 cm C8 cm D10 cm图（12） 图（13） 图（14）12如图（14） ，1=2， C= D， AC， BD 相交于点 E，下面结论不正确的是（ ）A DAE= CBE B DEA 与 CEB 不全等C CE=CD D AEB 是等腰三角形三、解答题13已知 EF 是 AB 上的两点， AE=BF， AC BD，且 AC=DB，求证： CF=DE图（15）14一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由图（16）15如图（17） ，在 ABC 中， AM 是中线， AD 是高线图（17）（1）若 AB 比 AC 长 5 cm，则 ABM 的周长比 ACM 的周长多_ cm（2）若 AMC 的面积为 10 cm2，则 ABC 的面积为_cm 2A10 B20 C30 D40（3）若 AD 又是 AMC 的角平分线， AMB=130，求 ACB 的度数
