1、九年级数学 培优讲义1第 1 讲 相似三角形讲义学习目标 解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例 1：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例 2、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结AE、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 E(2)如图：其
2、中1= 2，则 ADEABC 称为“相交线型 ”的相似三角形。 EE1242(3)如图：1=2，B= D，则ADEABC，称为 “旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例 3、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DF AC=BC FE 九年级数学 培优讲义2例 4：已知：如图，在ABC 中，BAC=90 0，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA 2=MD ME；（2）DEA2三、相似三角形证明
3、两角相等、两线平行和线段相等。例 5：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 。求证：31ADFBEAEF=FBD例 6、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG例 7、Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BFAB CDEM12AB CDEFG 九年级数学 培优讲义3A DB CEFM(第 5 题图)E CDAFB图 2GF ED CBA目标训练一、填空题1、 两个相似三角形
4、的面积比 S1:S2与它们对应高之比 h1:h2之间的关系为 2、 如图 2，平行四边形 BC中， E是边 B上的点， AE交 BD于点 F，如果 23BEC，那么 FD 33、如图，点 1234A， ， ， 在射线 O上，点 123B， ， 在射线 OB上，且 123AB ，23B 若 21 ， 3 的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 4. ABC 中，DEFGBC，且 AD：DF：FB=3：2：1，则S ADE ：S 四边形 DFGE：S 四边形 FBCG= 二、选择题1.已知ABCDEF，且 AB：DE=1：2，则ABC 的面积与DEF 的面积之比为（ ）(A)1：2
5、(B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么x 的值（ ）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感如图，某女士身高165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm4、如图，ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的
6、面积的 （ ） 91 92 31 94E HF GCBA（第 4 题图）（第 3 题图）O A1 A2 A3 A4 ABB1B2B314九年级数学 培优讲义45、 如图，直角梯形 ABCD 中，BCD90，ADBC，BCCD，E 为梯形内一点，且BEC90，将BEC绕 C 点旋转 90使 BC 与 DC 重合，得到DCF，连 EF 交 CD 于 M已知 BC5，CF3，则 DM:MC 的值为 （ ）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如图，在 RtABC 内有边长分别为 ,abc的三个正方形，则 ,abc满足的关系式是（ ）A、 bac B、 b C、 22 D、 27、如图,
7、Rt ABAC 中,ABAC ,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PEAB 于 E,PDAC 于D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ）A. 35 B. 45 C. 72 D.215x三、解答题1、如图 5，在ABC 中，BCAC， 点 D 在 BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF.（1）求证：EFBC.（2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积.2、 （本小题满分 10 分）如图：在等腰ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点，连接 AP 交 BC于点 E,连
8、接 BP 交 AC 于点 F.(1) 证明：CAE=CBF;(2) 证明：AE=BF;(3) 以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G） ，记ABC 和ABG 的面积分别为 SABC 和 SABG ,如果存在点 P,能使得 SABC =SABG ,求C 的取之范围。ABCDE PFCA BPEH九年级数学 培优讲义53、如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E.（1）求证：ABAFCBCD（2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是射线 DE 上的动点.设 DPx
9、cm（x0） ，四边形 BCDP 的面积为 ycm2.求 y 关于 x 的函数关系式；当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值. 4、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证：（1） CGAE；（2） .MNDN5、 如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，DPAEFCB九年级数学 培优讲义6GFED CBA BAC= AGF=90，它们的斜边长为 2，若 ABC 固定不动， AFG 绕点 A 旋转， AF、 AG 与边 BC
10、的交点分别为 D、 E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m， CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围.（3）以 ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴， BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图 12).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD 2 CE =DE 2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD 2 CE =DE 2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.6、 为了
11、加强视力保护意识，小明想在长为 3.2 米，宽为 4.3 米的书房里挂一张测试距离为 5 米的视力表在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙（1）甲生的方案：如图 1，将视力表挂在墙 ABEF和墙 DG的夹角处，被测试人站立在对角线 AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由（2）乙生的方案：如图 2，将视力表挂在墙 CH上，在墙 ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处（3）丙生的方案：如图 3，根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的
12、小视力表如果大视力表中“ E”的长是 3.5cm，那么小视力表中相应“ E”的长是多少 cm？GyxOFED CBAH H（图1）（图2）（图3）（第 6 题）3.5 ACF3mB5mD九年级数学 培优讲义77、将两块大小一样含 30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与 BD 相交于点 E，连结 CD(1)填空：如图 9，AC= ，BD= ；四边形 ABCD 是 梯形.(2)请写出图 9 中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图 10，若以 AB 所在直线为 x轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为 y轴建立如图 1
13、0 的平面直角坐标系，保持 ABD 不动，将 ABC 向 轴的正方向平移到 FGH 的位置，FH 与 BD 相交于点 P，设AF=t，FBP 面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值值范围.8、如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q【探究一】在旋转过程中，(1)如图 2，当 CE1A时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明.D CBAE图
14、9EDC HF GBAPyx图1010九年级数学 培优讲义8QPDEFCBAQPDEF CBAAB CD EFPQR S(2)如图 3，当 CE2A时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由.(3)根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当 CEAm时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为_,其中m的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC30cm，连续 PQ，设EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：(1)S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.(2)随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化？不出相应 S 值的取值范围.（图 1） （图 2） （图 3）9.如图，在 RtABC 中，A=90，AB=3，AC=4，以斜边 BC 上距离 B 点 3的点 P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 90 至DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少 2？FC(E)BA(D)
