1、66生物统计学教案第八章 单因素方差分析教学时间：5 学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握方差分析的方法步骤,掌握单因素和两因素的方差分析 ,了解多重比较的一些常用方法讲授难点：掌握单因素和两因素的方差分析8.1 方差分析的基本原理8.1.1 方差分析的一般概念第五章讲过两个平均数差异性的比较可用 t 检验，在多组数据之间作比较便需要通过方差分析来完成。在多组数据之间作比较可以在两两平均数之间比较，但会提高犯 I 型错误的概率。最简单的方差分析是单因素方差分析。下面举例说明。例 1 调查 5 个不同小麦品系株高，结果见下表：品 系I II III IV V1 64.6 64.5 67.
2、8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.23 64.8 64.6 67.1 70.0 69.84 66.0 63.7 66.8 69.1 68.35 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5和 326.5 322.0 336.5 354.0 343.0平均数 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6例 2 从每窝均有 4 只幼仔的初生动物中，随机选择 4 窝，称量每只动物的出生重，结果如下：窝 别I II III IV671 34.7 33.2 27.1 32.92 33.3 26.0 23.3 31.43 26.2 28.6 27.8 25.
3、74 31.6 32.3 26.7 28.0和 125.8 120.1 104.9 118.0平均数 31.450 30.025 26.225 29.500这两个例子都只有一个因素，例 1 是“品系” ，例 2 是“窝别” 。在每个因素下，又有 a 个水平（或称为处理） ，例 1 有 5 个品系，例 2有 4 个窝别。 a 个水平可以认为是 a 个总体，表中的数据是从 a 个总体中抽出的 a个样本。方差分析的目的就是由这 a 个样本推断 a 个总体。因为上述实验都只有一个因素，对这样的数据所进行的方差分析称为“单因素方差分析” 。单因素方差分析的典型数据见下表。X1 X2 X3 Xi Xa1
4、x11 x21 x31 xi1 xa12 x12 x22 x32 xi2 xa23 x13 x23 x33 xi3 xa3j x1j x2j x3j xij xajn x1n x2n x3n xin xan平均数 x1. x2. x3. xi. xa.表中的 xij表示第 i 次处理下的第 j 次观测值，下标中的“.”表示求和，具体说明如下： xanxx aiainjij iinjiji 1, ,2,11688.1.2 不同处理效应与不同模型线性统计模型：模型中的 xij是在 i 水平下的第 j 次观测值。 是对所有观测值的一个参数，称为总平均数。 i是仅对第 i 次处理的一个参数，称为第 i
5、 次处理效应。 ij是随机误差成分，要求误差是服从 N(0， 2)的独立随机变量。固定因素：因素的水平确定后，因素的效应即被确定。因素的 a 个水平是人为特意选择的。方差分析所得结论只适用于所选定的 a 个水平。固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。随机因素：因素的水平确定之后，其效应并不固定。因素的 a 个水平是从水平总体中随机抽取的。从随机因素的 a 个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。8.2 固定效应模型8.2.1 线性统计模型其中 i是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相当，因此如果不存在处理效应，各 i都应当等于 0，
6、否则至少有一个 i0。因此，零假设为： H0： 1 2 a0备择假设为： HA： i 0（至少有一个 i） njaiijiij ,2,1 njaixijiij ,211nii698.2.2 平方和与自由度的分解对于每个固定的 xi .，因此，以 SST表示总平方和， SSA表示处理平方和， SSe表示误差平方和，三者关系为： SST SSA SSe自由度可做同样的分割： dfT dfA + dfedfT an1 dfA a1 dfe an a为了得出检验统计量，以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度，得出相应的均方。MSe SSe/dfe MSA SSA/dfA。8.2.3 均方期望与统计量
7、 F21112 2121 ainjiiainjiijainjiij ainj iiijainjij xxxx ainj ai nj iijiiiij xxx1 110 ainj iijaiiainjij xxnx 121221 ainjiijeaiiAainjijT xSxnSxS 12122170MSe 是 2 的无偏估计量，证明如下：用同样的方法可以得出 MSA的均方期望。 2 221122121 212111 ananEanExanSEanSEMSainj aiiijainj iijainj iiijiaij iijeee71因为 E( ij)=0, 故所有包含 ij乘积项的数学期望都等
8、于 0于是：由以上结果可以看出，误差均方 MSe是 2的无偏估计量。对处理项来说，只有当 i0 时， MSA才是 2的无偏估计量。用 MSA和 MSe比较，便可以反映出 i的大小。为此，使用统计量 F 作为检验统计量，做上尾单侧检验。 F=MSA / MSe， 具 ai ai aiiiiiai iiai iiaiiAAAEnEnxSESEM11 1221 21 2121 021111.1 ai ai ai aiiiiai ii aii aiiaiiaii aiiaiiai ai aiiiiiAnnEnEnMSE12122 1221 121211 12272dfA,dfe 自由度，当 FF 时拒
9、绝零假设，处理平均数间差异显著。在中，令则处理均方可表示为这时的零假设可以记为 H0： 2 = 0。备择假设记为 HA： 2 0。将上述结果列在方差分析表中变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望处理间 SSA a1 MSA MSA/MSe 2+n 2误 差 SSe na a MSe 2总 和 SST na18.2.4 平方和的简易计算令C 称为校正项。误差平方和SSe SST SSA将例 1 中的每个数据都减去 65，编码后列成下表。221aii2AEMSnnaxxnSaiiaiiAai ainjijnjijT 21121 122 naxC2221aAiinEMS73品 系I II II
10、I IV V1 0.4 0.5 2.8 6.8 4.22 0.3 0.3 1.3 7.1 3.23 0.2 0.4 2.1 5.0 4.84 1.0 1.3 1.8 4.1 3.35 0.8 1.1 3.5 6.0 2.5 总和xi . 1.5 3.0 11.5 29.0 18.0 57.0xi .2 2.25 9.00 132.25 841.00 324.00 1308.50 xij2 1.93 3.40 29.43 174.46 68.06 277.28将以上结果列成方差分析表：变差来源 平方和 自由度 均方 F品系间 131.74 4 32.94 42.23 *误 差 15.58 20
11、0.78总 和 147.32 24* 0.01F4，20，0.05 2.87， F4，20，0.01 4.43。 F F0.01。 PFa-1,an-a, 时拒绝 H0。 MSA的期望组成除包含误差方差外，还包含处理项方差，表明不同处理间存在差异。方差分析的程序与固定模型相同，但由于获得样本的方式不同，使之所得结果也不同。随机模型适用于水平总体，而固定模型仅适用于所选定的 a 个水平。以下 njaixijiij ,2,10:20A22 22 122111221211 nana aEEna xnEaSEMSEaiiaiiai iii aiiA 2eMSE75是例 2 的计算结果，将每一数据均减去
12、 30。4.7 3.2 2.9 2.93.3 4.0 6.7 1.43.8 1.4 2.2 4.31.6 2.3 3.3 2.0 总和xi . 5.8 0.1 15.1 2.0 11.2xi .2 33.64 0.01 228.01 4.00 265.66 xij2 49.98 33.49 69.03 32.86 185.36将上述结果列成方差分析表变差来源 平方和 自由度 均方 F窝间 58.575 3 19.525 1.97误差 118.945 12 9.912总和 177.620 15F3，12，0.05 3.49， F0.05，接受 H0。结论是不同窝别动物出生重没有显著差异。8.4 多重比较8.4.1 最小显著差数法（LSD）平均数差数的显著性检验公式为： 945.1857.82.17.4.46.51 52.178.3.184.762.1222 ATeaiiAainjijTSSCxnSxC 2121,2121 nMSssxt ex
