1、 1相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例 1、如图，PCD 是等边三角形，A、C 、D、B 在同一直线上，且 APB=120.求证：PACBPD ； CD2 =ACBD2、如图,在等腰ABC 中, BAC=90,AB=AC=1,点 D 是 BC 边上的一个动点(不与 B、C重合） ，在 AC 上取一点 E，使ADE=45（1）求证：ABDDCE（2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 函数关系式及自变量 x 值范围，并求出当为何值时 AE 取得最小值？（3）在 AC 上是否存在点 E，使得 ADE 为等腰三角形？若存在，求 AE 的长；若不存在，请说明
2、理由？3、如图所示，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE上一点，且AFE=B：1）求证：ADFDEC ； 2）若 AB=4， ,AE=3，求 AF 的长。3AD考点二：射影定理：例 4 如图，在 RtABC 中，ADB=90,CDAB 于 C，CD=4cm,AD=8cm,求 AC、BC 及 BD的长AB CDEF2例 5、如图，已知正方形 ABCD，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上的一点，且 AF= AD，EGCF 于点 G，14（1） 求证：AEF BCE（2） EFC 是直角三角形吗？为什么？（3）试说明：EA 2=CG.FG6
3、、 （2011 深圳市中考）已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ ） ，将纸片折叠一次，使点 A与 C重合，再展开，折痕 EF交 边于 ，交 边于 F，分别连结F和 E（）求证：四边形 FE是菱形；（）若 10cm， B 的面积为 24cm，求 的周长；（）在线段 AC上是否存在一点 P，使得 2AE ACAP ？若存在，请说明点 P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由考点三：相似之共线线段的比例问题例 1.已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证： GHFE腇腇 腇腇腇腇
4、腇32如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长，交 AD 于点 E，交BA 的延长线于点 F（1）求证：PC 2=PEPF；（2）若菱形边长为 8，PE=2，EF=6，求 FB 的长3如图，CD 是 RtABC 斜边上的高，E 为 AC 的中点，ED 交 CB 的延长线于 F求证：BDCF=CD DF4如图：已知在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、BC 延长线上的点，且BD=CE，直线 CD 与 AE 相交于点 F（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD 2=DCDF5 （2012泰安）如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EFA
5、E，EF 分别交 AC，CD 于点 M，F，BGAC，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长46、 如图，在 RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DH BM 且与 AC 的延长线交于点 E求证：（1）AED CBM；（2）AECM=ACCD7、 （泰安）如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED的延长线与 CB 的延长线交于点 F（1）求证：FD 2=FBFC；（2）若 G 是 BC 的
6、中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由9、 如图 13，四边形 ABCD、CDEF、EFGH 都是正方形.(1)ACF 与ACG 相似吗？说说你的理由.(2)求1+2 的度数.考点四：相似三角形的实际应用 ：例 1、 如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长 PQ 是宽 PN 的 2 倍，则边长是多少？图 1352、已知左，右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m 和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5
7、m。一个身高 1.6m 的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点 C？3两颗树的高度分别为 AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离 AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为 1.6m，当小强与树 AB 的距离小于多少时，就不能看到 树 CD 的树顶 D？4小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高 CD=1.5m，地面影长BC=10m（1）如果图中没有围墙，请你在图中画出大树在地面上的影子；（
8、2）若此时 1 米高的标杆的影长恰好为 2m请你求出这棵大树 AB 的高度5如图，有一路灯杆 AB（底部 B 不能直接到达） ，在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长 DF=3m，沿 BD 方向到达点 F 处再测得自己得影长 FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆 AB 的高度6考点五：相似三角形中的动点问题1在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，AD=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm/秒的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/秒的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示运动时间（0t6） ，那么当 t 为何值时，
9、APQ 与ABD 相似？说明理由2 （2011乌鲁木齐）如图，在 ABC 中，B=90，AB=6 米，BC=8 米，动点 P 以 2 米/秒的速度从 A 点出发，沿 AC 向点 C 移动同时，动点 Q 以 1 米/秒的速度从 C 点出发，沿CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒（1）当 t=2.5 秒时，求 CPQ 的面积；求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时，写出 t 的值；3 （ 金华）如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点
10、出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为 x（1）当 x 为何值时，PQBC；（2）当 ，求 的值；（3）APQ 能否与CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由74如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标为（6，0） ，（6，8） 动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，都以每秒 1 个单位的速度运动，其中，点M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动，过点 N 作 NPBC，交 AC 于点 P，连接 MP，已知动点运动了
11、x 秒（1）用含 x 的代数式表示 P 的坐标（直接写出答案） ；（2）设 y=S 四边形 OMPC，求 y 的最小值，并求此时 x 的值；（3）是否存在 x 的值，使以 P、A、M 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由5、如图，正方形 ABCD的边长为 4， E是 BC边的中点，点 P在射线 AD上，过 P作PFE于 （1）求证： ；（2）当点 在射线 上运动时，设 PAx，是否存在实数 x，使以 FE， ， 为顶点的三角形也与 相似？若存在，请求出 的值；若不存在，说明理由6 （2012鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA、OB 的长分别是方程 x27x+12=0 的两根（OA OB） ，动点 P从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t秒（1）求 A、B 两点的坐标（2）求当 t 为何值时，APQ 与 AOB 相似.（3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由
