1、第 5 讲 三角函数的图像与性质知 识 梳理 正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcos()yxR（1）定义域：都是 R（2）值域：都是-1，1对于 ，当 时， 取最大值 1；当 时，si2kZ 32xkZ取最小值1；y对于 ，当 时， 取最大值 1，当 时， 取coxy y最小值1。（3）周期性： 、 的最小正周期都是 2sinyxcosx 和 的最小正周期都是()i()fxA()fA2|T（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴是直线sinyxR,0kZ；2xkZ余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直cos()yx ,2kk线 xk（5）单调性：在区间
2、 上单调递增，在siny 2,2kkZ单调递减；32,kZ在 上单调递增，在区间cosyx,kk上单调递减， 。 ,（6）正切函数 的图象和性质：tanyx（1）定义域： 。|,2kZ（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：周期是 .（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是 ，,02kZ（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。,2重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。2.难点：化简三角函数式的过程.3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不等关系相关
3、的问题(1)利用单调性处理不等关系问题 1. (08 四川)设 ，若 ，则 的取值范围是02sin3cos（A） （B） （C） （D）(,32(,)34(,)3(,)2点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间，即 ，即 ，即 ；sin3cosin3co02sin()03sin()03又由 ，得 ；综上， ，即 选 C0254（2）研究三角函数的性质问题 2. （08 安徽卷）已知函数 ()cos2)sin()si()3fxx（）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程()fx（）求函数 在区间 上的值域,12点拨:处理三
4、角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助sin()(0,)yAxkA于图象.解：（1） ()cos2)sin()si()34fxx3cos2in(icicox221isix13sin2cosxxsin(2)6x,由T周 2(),()6223kxkZxZ周函数图象的对称轴方程为 3（2） 5,2,163xx因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，()sin)f12,32所以 当 时， 取最大值 1x(fx又 ，当 时， 取最小值3()122ff12x()fx32所以 函数 在区间 上的值域为()fx,13,热 点 考 点 题 型 探 析考点
5、1 作三角函数的图象题型 1:作正弦函数的图象例 1 （2007天津改编）画出函数 在一个周期内的图像()2sin4fxx【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线） 五个特殊点的选取解析 （1）列表如下：24x0 2322838587898()fx0 0 0（2）描点、连线（如图 332）【名师指引】五点法作图的技巧：函数 的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为 ，sin()0,)yAx 4T于是五点横坐标依次为 ，这样，不仅可以快速求出12132,4Txx图 3-3-2五点坐标，也可在求得 的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像1x题型 2.借助于三角函数的图象处
6、理有关问题问题 2. （2007天津）设函数 ，则 （ ）()sin()3fxR()fxA、在区间 上是增函数 B、在区间 上是减函数2736， 2，C、在区间 上是增函数 D、在区间 上是减函数84， 536，【解题思路】作出图象,一目了然解析函数 的图象如下图()sin()3fxxROyx选 A【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用.【新题导练】1.画出函数 在区间 上的图像3sin(2)4yx,0解析 （1）列表如下： x0 83587y210 1 0 2（2）描点、连线（如图 333）43 53632356762.( 广东省北江中学 2009 届高三上学期
7、12 月月考)已知函数 对任()2sin()fx意 都有 则 等于（ ）x()(),6fxf(6fA. 或 B. 或 C. D. 或202020解析: 由 ，函数图象关于 ， 是最大值或最小值选 B()()ff x()6f考点 2 值域与最值问题题型 1.化为 的形式sin()(0,)yAxkA例 1. (2009 年广东省广州市高三年级调研测试)已知 R .si3cosfxx()（1）求函数 的最小正周期;)(（2）求函数 的最大值，并指出此时 的值xf x【解题思路】利用 对解析式进行化简,再进一步处理. 2sincossin()abab解：（1） xxf3icos2sin 3sincos
8、inx3si2x . T(2) 当 时, 取得最大值, 其值为 2 . 13six)(xf此时 ，即 Z . 2k6k)【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为的形式,再研究函数的性质. 利用整体代换的思想求sin()(0,)yAxA出函数的最大值和最小值是解题的关键题型 2.通过换元用二次函数的知识研究值域或最值.例 2求函数 的最大值和最小值2cosin (|)4yx【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理.解析设 ，则sint2,所以 22151isin()4yxt2,t故当 即 时， ，当 即 时， t6maxyt4xmin12y【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一
9、般都要利用二次函数的思想【新题导练】3.设 求 的最大值及最小正周期.2()6cos3infxx()f解： 1s23cosin23x32cosinx6故 的最大值为 ；最小正周期 ()f232T4. 已知向量 , ，且(cos,in)xa(cos,in)xb 23,x（1）求 的取值范围；|b（2）若 ，试求 的取小值，并求此时 的值。()|fa()f解： xbxa cos2cs,2cos, （1） 013x2即 6 分,0b（2） ()|fab23)1(cos2cso2cs2o xxxx时当 1cs 时或即 34的最小值为 ()|fxab32考点 3 周期性与奇偶性问题题型 .研究三角函数的
10、奇偶性和求周期1，3，5例 1(潮南区 0809 学年度第一学期期末高三级质检第(1)(3)问)已知函数 （1）求 f(x)的定义域；（2）判断 f(x)的奇偶性。cos(inlg)21xxf【解题思路】用奇偶性的定义和性质进行判断解析：（1）要使 f(x)有意义，必须 ，即sic0x5244kxk得 f(x)的定义域为 5(2,),4kZ（2）因 f(x)的定义域为 ，关于原点不对称，所以 f(x)为k非奇非偶函数. 【名师指引】讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称若函数 f（ x）为奇函数 的图像关于原点对称()()fxfyfx若函数 f（ x）为偶函数 的图像关于
11、y 轴对称例 2 （08 江苏卷） 的最小正周期为 ，其中 ，则 = cos6fx50【解题思路】代公式 2T解析: ,105【名师指引】先将解析式化为 的形式,再用公式sin()(0,)yAxkA进行处理.2T【新题导练】5 （2007广东）若函数 ，则 是（D ）21()sin()fxxR()fxA最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数2C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数剖析 , ,且为偶函数.21cos21()sincos2xfx xT答案D6. （A0，0）在 x1 处取最大值，则 （ ）)ifA、 一定是奇函数 B、 一定是偶函数)1(x )(fC、 一定是
12、奇函数 D、 一定是偶函数f 解析:D （A0，0）在 x1 处取最大值 在)sin()(xxf )1(xfx0 处取最大值， 即 y 轴是函数 的对称轴 函数 是偶函数 )1(xf )1(xf考点 4 单调性与对称性问题题型 1.求单调区间和研究对称性例 1(广东省六校 2009 届高三第二次联考试卷)已知向量 ，)1,(sina， )cos,b（1）若 , 且 求 ；ab 2 2（2）求函数 | |的单调增区间和函数图像的对称轴方程y【解题思路】先进行向量运算,再化简三角函数式解析(1). ,ab0Asinco0 2 2 4(2).(si1,)(i1)(cos)y2sincos2sn32i
13、()34由 得求函数 | |的单调增区间是：2,()kkZyab24，由 。得对称轴方程是：,xk ,.4xkZ【名师指引】函数 的图像有无穷多条对称轴，可由方程sin()yAxR解出；它还有无穷多个对称中心，对称中心为()2xkZ,0题型 2.借助于单调性处理不等关系和最值问题例 2(广雅中学 08-09 学年高三上学期期中考试)设向量 ，(sin,co)xa， ，函数 .sin,3i)xbxR()2)fxAab(1) 求函数 的最大值与单调递增区间；f(2) 求使不等式 成立的 的取值集合.(2【解题思路】处理三角不等关系要借助于图象分析和周期性解：(1) )fxAAaba222sinco
14、(sin3sico)xxx311cos23in2(sincos2)xxx. (ico)i(666当 时， 取得最大值 . s)1x(fx4由 ，得 ， 22kk3kxk()Z 的单调递增区间为 . ()fx,63()(2) 由 ，得 . sin()x)4cos26fx由 ，得 ，则 ， ()2fx1co23kxk即 . 14kk()Z使不等式 成立的 的取值集合为 .()fxx ,124xkxkZ【名师指引】三角函数与导数的整合是近两年高考的一种趋势【新题导练】7. （汕头市金山中学 2009 届高三上学期 11 月月考）设 , 都是第二象限的角，且 sin sin ，则（）A.tan tan
15、 B.cos cos C.tan tan D.cos cos22解析：取 排除 A，C，再取 排除 D，选 B150,2150,488. 已知函数 2()sin()sico3sin3fxxxR(1)求函数 的最小正周期；(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 m 的取值范围.05,12x0()fx解析：(1) 2()sincosinsico3sin3f x22coxxsi2si()3 函数 f(x)的最小正周期 2T(2)当 时，50,12x7,36x 当 ，即 时，f(x)取最小值1 7236x52x所以使题设成立的充要条件是 ，()fm故 m 的取值范围是(1,)抢 分 频 道 基础巩固训
16、练1. (东莞高级中学 2009 届高三上学期 11 月教学监控测试)若函数 的最小正周期为 1，则它的图像的一个对称中心为sinco0fxax（ ）A （ ，0） B （0，0） C （ ，0） D （ ，0）8881解析: 将 代入22sin(),1,()2sin()4 4fxaxafxx得函数值为 0，故选 C2. （华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试） 是（ ）co()y上的增函数 A B C D,03,4,25,4解析： 选 Bcos()cs()044yxx令3. (深圳市外语学校 2009 届高三上学期第三次质量检测)已知向量 (1ina周， (13o)b周，则 ab的最大值为 【解析】 scs 2in()23.4. (深圳市外语学校 2009 届高三上学期第三次质量检测)已知函数 11)(sinosico2fxxx,则 ()f的值域是 【解析】 sincos)ic)in(2xf 画图可得 ()fx的值域是 1,20070316
