1、第 1 页第四讲 全等三角形与角平分线1 【知识回顾】1、全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定二 【讲解与练习】1如图，四边形 ABCD 中，BAD=BCD=90，AB=AD，若四边形 ABCD 的面积为24cm2，则 AC 长是 cm2如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， OA=10cm，OC=6cmF 是线段 OA 上的动点，从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿 OA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 AB 上已知 A、Q 两点间的距离是O、F 两点间距离的 a 倍若用（ a，t）表示经过时间 t（s）时，OCF、FAQ、CBQ中有两个三
2、角形全等请写出（a，t ）的所有可能情况 3如图，已知ABC 三个内角的平分线交于点 O，延长 BA 到点 D，使 AD=AO，连接DO，若 BD=BC，ABC=54，则BCA 的度数为 4如图所示，AB=AC，AD=AE ，BAC=DAE ，1=24 ，2=36 ，则3= 5如图，AC=DB，1=2 ，则ABC ，ABC= 第 2 页6如图，点 D 在 BC 上，DE AB 于点 E，DFBC 交 AC 于点 F，BD=CF，BE=CD若AFD=145，则EDF= 7如图，已知五边形 ABCDE 中，ABC=AED=90 ，AB=CD=AE=BC +DE=2，则五边形 ABCDE 的面积为
3、8如图，在 55 的正方形网络，在网格中画出点 F，使得DEF 与ABC 全等，这样的格点三角最多可以画出 个9如图，O 是ABC 内一点，且 O 到三边 AB、BC、CA 的距离 OF=OD=OE，若BAC=70，BOC= 10如图，ABC 的周长是 12，OB、OC 分别平分ABC 和ACB，OD BC 于 D，且OD=3，则 ABC 的面积是 11如图，OC 平分AOB，AOC=20 ，P 为 OC 上一点，PD=PE，ODOE，OPE=110，则ODP= 12如图，ABC 中，A=60，AB AC，两内角的 平分线 CD、BE 交于点 O，OF 平分BOC 交 BC 于F， （1）BO
4、C=120；（2）连 AO，则 AO 平分BAC；（3）A、O、F 三点在同一直线上， （4）OD=OE， （5）BD+CE=BC其中正确的结论是 （填序号） 13如图 1，已知ABC 中，AB=AC ，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE、PF 分别交 AB、CA 的延长线于点 E、F（1）求证：AE=CF；第 3 页（2）求证：EPF 是等腰直角三角形；（3）求证：FEA+PFC=45；（4）求证：S PFCSPBE= SABC14如图，ACO 为等腰直角三角形（1）若 C（1 ，3） ，求 A 点坐标；（2）过 A 作 AEAC，若FEO=COE，求EOF 的
5、度数；（3）当ACO 绕点 O 旋转时，过 C 作 CNy 轴，M 为 AO 的中点，MNO 的大小是否发生变化？15如图，在ABC 中，D 是边 BC 上一点，AD 平分BAC，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，已知 DE=2cm，BD=3cm，求线段 BC 的长16如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分DAE ，DACE ，AB=CB（1）试判断 BE 与 AC 有何位置关系？并证明你的结论；（2）若DAC=25，求AEB 的度数第 4 页17如图，在ABC 中，AD 平分BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法，求证： 18如图，ABC 中，C=60，AD，BE 分别平
6、分CAB，CBA、AD、BE 交于点P求证：（1）APB=120；（2）点 P 在C 的平分线上；（3）AB=AE+BD19 （1）如图 1，在ABC 中，ABC=ACB，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交BC 的延长线于点 M，若BAC=40，求AMB 的度数；（2）如图 1，如果将（1）中的BAC 的度数改为 70，其余条件不变，再求AMB 的度数20在ABC 中，AD 是BAC 的平分线（1）如图，求证： ；第 5 页（2）如图，若 BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图，若 AB=5，AC=4，BC=6 求 BD 的长三 【作业】1 “石门福地” 小区有一块直角梯形花园，测量
7、AB=20 米， DEC=90，ECD=45，则该花园面积为 平方米2如图，在ABC 中，AB=AC ，BAC=90，AE 是过 A 点的一条直线，CEAE 于E，BDAE 于 D，DE=4cm ， CE=2cm，则 BD= 3如图，在 RtABC 中，AC=BC，C=90，AB=8，点 F 是 AB 边的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且保持 AD=CE，连接 DE、DF、EF 在此运动变化的过程中，下列结论中正确的结论是 （1）DFE 是等腰直角三角形；（2）四边形 CDFE 不可能为正方形；（3）DE 长度的最小值是 4；（4）四边形 CDFE 的面积保持不变；（5）CD
8、E 面积的最大值为 4第 6 页4在直角坐标系中，如图有ABC，现另有一点 D 满足以 A、B、D 为顶点的三角形与ABC 全等，则 D 点坐标为 5如图所示，在ABC 中，A=90，BD 平分ABC，AD=2cm，AB+BC=8 ，S ABC= 6如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB ，垂足为 F，DE=DG，ADG 和AED 的面积分别为 50 和 38，则EDF 的面积为 7如图，在ABC 中，ABC=90AB=BC，A （ 4，0） ，B（0，2）（1）如图 1，求点 C 的坐标；（2）如图 2，BC 交 x 轴于点 M，AC 交 y 轴于点 N，且 BM=CM，求证：AMB=C
9、MN ；（3）如图 3，若点 A 不动，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，分别以 OB、AB 为直角边在第一、第二象限作等腰直角BOF 与等腰直角ABE，连接 EF 交 y 轴于 P 点，问当点 B在 y 轴正半轴上移动时，BP 的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度第 7 页8如图，在ABC 中，已知B=C，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，则经过 1s，BPD 与C
10、QP 是否全等？请说明理由；（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？9如图，ADBC ，D=90（1）如图 1，若DAB 的平分线与CBA 的平分线交于点 P，试问：点 P 是线段 CD 的中点吗？为什么？（2）如图 2，如果 P 是 DC 的中点，BP 平分ABC，CPB=35 ，求PAD 的度数为多少？10观察、猜想、探究：在ABC 中，ACB=2B（1）如图，当C=90 ， AD 为BAC 的角平分线时，求证： AB=AC+CD；第 8 页（2）如图，当C90，AD 为BAC 的角平分线时，线段 AB、AC、CD
11、又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图，当 AD 为ABC 的外角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明参考答案与试题解析1 cm2 （1，4） ， （ ，5） ， （0，10） 解： 当COF 和FAQ 全等时，OC=AF，OF=AQ 或 OC=AQ，OF=AF，OC=6，OF=t，AF=10t ，AQ=at，代入得： 或 ，解得：t=4，a=1，或 t=5，a= ， （1，4） ， （ ，5） ；同理当FAQ 和CBQ 全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，10=10t，6 at=at，此时不存在；因为CBQ 最长直
12、角边 BC=10，而COF 的最长直角边不能等于 10，所以COF 和BCQ 不全等，F，Q，A 三点重合，此时COF 和CBQ 全等，此时为（0，10）故答案为：（1，4） ， （ ，5） ， （0，10） 3 42 4 60 5 DCB ， DCB 6 55 7 4 解：延长 DE 至 F，使 EF=BC，连AC，AD，AF ，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，由题中条件可得 RtABCRtAEF，ACD AFD，S ABCDE=2SADF=2 DFAE=2 22=4故答案为：4第 9 页8 4 个9 125 10 18 11 130 12 （1） （2） （4） （5）
13、 （填序号）13证明：（1）连结 AP，EF；ABC 为等腰直角三角形，且点 P 为斜边 BC 的中点，PA=PB=PC， PABC；而EPF=90，APF=BPE，PAC=PBA=45，PAF=PBE=135；APF BPE （ASA） ，AF=BE ，而 AB=AC，AE=CF（2）APFBPE，PF=PE，而EPF=90， EPF 为等腰直角三角形（3）APFBPE，PFA=PEB，FEA+ PFC=FEA+PEB=45 （4）APFBPE，S APF=SPBE，S PFCSPBE=SPFCSAPF=SAPC，而，S PFCSPBE= SABC14解：（1）作 CDy 轴，ABDC 延长
14、线于点 B，BAC+BCA=90，BCA+DCO=90，BAC=DCO，ABCCDO （AAS） ，BC=OD=3，AB=CD=1，A 点坐标（ 4，2） ；（2）EOF=45 ；（3）不变，理由如下：作 MKON 于 K 点，MFNC 于 F 点，连接MC，MFC=CNO=MKN=90，FMK=90，四边形 MKNF 为矩形，AC=CO，M 是 AO 中点， CMO=90，CM=MO ，CMO=CMK +KMO，FMK=FMC+CMK，KMO=FMC ，FMCKMO（AAS ） ，FM=MK，矩形 MKNF 为正方形，MNO=45 15解：AD 平分BACBAD=CADADEADC（SAS）
15、DE=DCBC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm） 16 （1）答：BE 垂直平分 AC，证明：AC 平分DAE ，DAC=EAC，DACE，DAC= ACE ，ACE=EAC，EA=EC，E 在 AC 的垂直平分线上，AB=CB，B 在 AC 的垂直平分线上，BE 垂直平分 AC；（2）解：AC 是DAE 的平分线， DAC=CAE=25 ，又DAEDAC=ACE=25CAE=ACE=25 AE=CE ， AEC=130，AEBCEB，AEB=CEB，AEB= （360 AEC）=11517面积法18证明：（1）C=60，AD、BE 是ABC 的角平分线，第 10 页ABP= ABC
16、，BAP= BAC，BAP +MBP= （ABC+BAC）= （180C）=60，APB=120；（2）如图 1，过 P 作 PFAB，PGAC ，PHBC，AD，BE 分别平分CAB，CBA，PF=PG ，PF=PH，PH=PG，点 P 在C 的平分线上；（3）如图 2，在 AB 上取点 M 使 AM=AE，连接 PMAD 是BAC 的平分线，PAM=PAE，AMPAEP，APM= APE=180 APB=60 ，BPM=180 （APM + APE）=60，BPD=APE=60 ，BPM=BPD，BE 是ABC 的角平分线，MBP=DBP，BOMBOD，BM=BD，AB=AM+BM=AE+
17、BD19解：ABC=ACB，BAC=40，ABC=70，AB 的垂直平分线交 AB 于点N，交 BC 的延长线于点 M，AM=BM ，BAM=ABC=70，AMB=180ABCBAM=40；（2）ABC=ACB，BAC=70，ABC=55，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 BC 的延长线于点 M，AM=BM，BAM= ABC=55，AMB=180ABC BAM=70 20解：（1）如图，证明：作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，AD 是BAC 的平分线，DE=DF ；（2）BD=CD，S ABD=SACD 由（1）的结论 ， ，AB=AC；（3）如图，过 A 作 AEBC，垂足为 E， ，
