1、初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 1 页 共 13 页线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图 1， CDAB，且 ADBD ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图 2， ACBC 点 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线
2、的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；m图 1DA BCm图 2DA BCji k图 3OB CA初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 2 页 共 13 页若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图 4， OE 是
3、AOB 的平分线，F 是 OE 上一点，且 CFOA 于点C，DFOB 于点 D， CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图 5，点 P 在AOB 的内部，且 PCOA 于 C，PDOB 于 D，且PCPD，点 P 在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三
4、条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图 6，如果 AP、BQ、CR 分别是ABC 的内角BAC、 ABC、ACB 的平分线，那么：图 5 CDO ABP图 6EFDIPR QB CA图 4 CDO ABF E初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 3 页 共 13 页 AP、BQ、CR 相交于一点 I； 若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F，则 DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点
5、一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 4 页 共 13 页【典型例题】例 1、如图 1，在ABC 中，BC8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，BCE 的周长等于 18cm，则 AC 的长等于（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm【跟踪练习】（1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，
6、如果EBC 的周长是 24cm，那么 BC=_;（2）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 BC=8cm，那么EBC 的周长是_;（3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果A=28 度，那么EBC=_.例 2、已知： AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点，求证：BE=CE.初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 5 页 共 13 页图 8B CDA【跟踪练习】已知：在ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点 O 在 BC 的垂直平分线.例 3、在ABC 中，AB=AC，AB
7、 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 50，ABC 的底角B 的大小为_。【跟踪练习】在ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40，则底角 B 的大小为_。例 4、如图 8，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，且C2B，求证：BDACCD.C初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 6 页 共 13 页APBFEC例 5、已知：如图，点 B、C 在A 的两边上，且 AB=AC，P 为A 内一点，PB=PC，PEAB，PFAC，垂足分别是 E、F。求证：PE=PF【跟踪练习】已知： PA、PC 分别是ABC 外角MAC 和NCA 平分线，它们交
8、于 P，PDBM 于 D，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线。初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 7 页 共 13 页例 6、如图 10，已知在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，E 为 BC 中点，连接 AE、DE，DE 平分ADC，求证：AE 平分BAD.【跟踪练习】如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF。初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 8 页 共 13 页例 7、如图 11，已知在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，且BAD 与BCD 互补，求证：ADCD.【课堂练习】1.如图，AC=AD，BC=BD，则（
9、 ）A. CD 垂直平分 AD B. AB 垂直平分 CD C. CD 平分ACB D. 以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 9 页 共 13 页图 7EDACB3. ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC 的周长是（ ）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm4. 如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD 之间的距离
10、等于_。5. 已知，如图，在 ABC 中， AB=AC， O 是 ABC 内一点，且 OB=OC，求证： AO BC.6. 如图 7，在ABC 中，AC23，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，ACE 的周长为50，求 BC 边的长.初中数学 竞贤老师专属讲义 n第 10 页 共 13 页7. 已知：如图所示，ACB，ADB 都是直角，且 AC=AD，P 是 AB 上任意一点，求证：CP=DP.8. 如图，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB(1)如果 BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 的中点； (2)如果 E 是 DC 的中点，求证：BE 平分ABC9. 如图，在ABC 中，AB=BC=AC，ADBC 于 D，E、F 分别为 AB、AC 中点求证：DA 平分EDFC A B D P
