1、- 1 -解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考一、航空问题例 1（2008 年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的 P 点，测得 A 村的俯角为 ，B 村的俯角为 （如图30601）求 A、B 两个村庄间的距离（结果精确到米，参考数据 ）21.43.72，QB CPA4506030图 1分析:要求 A、B 两个村
2、庄间的距离,由题意知 AB=PB，在 RtPBC 中,可求得，又因为 PC=450，所以可通过解直角三角形求得 PB.60PC解：根据题意得： ， ，所以 ，所以3060PBC603APB，所以 AB=PB.在 中， ，PC =450，所以RtB9,PB = .45030sin6所以 (米)52ABP答：A、B 两个村庄间的距离为 520 米 二、测量问题- 2 -例 2.（2008 年湛江市）如图 2 所示，课外活动中，小明在离旗杆 AB 米的 C 处，10用测角仪测得旗杆顶部 A 的仰角为 ，已知测角仪器的高 CD= 米，求旗杆 AB 的高40.5(精确到 米) 0.1图 240EDC B
3、A分析:要求 AB 的高,由题意知可知 CD=BE,先在 RtADE 中求出 AE 的长,再利用AB=BE+AE 求出 AB 的长.解：在 RtADE 中， ADE= .tanDEADE= ， ADE= .1040AE=DE ADE = = .t1t0.84AB=AE+EB=AE+DC= .8.59答：旗杆 AB 的高为 米9三、建桥问题例 4.（2008 年河南）如图所示，A 、 B 两地之间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过 DC，沿折线 ADCB 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到达B 地一直 BC=11km，A=45，B=37桥 DC 和 AB 平行，则
4、现在从 A 地到达 B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到 0.1km参考数据： ，sin371.420.60，cos370.80）.分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形 ，将两条路线路程之差转化为 ，作高线 DH,将ADG 转DCBGADG化为两个直角三角形，先在在 中求 DH、GH，再在 中求 AD、AH,RtH RtADH此题即可得解- 3 -FEDCBA4537HG图 3解：如图，过点 作 于 ， 交 于 DHABDGCB， 四边形 为平行四边形CAB C ， G1两条路线路程之差为 在 中，Rt，sin3710.6.DH co8 在 中，
5、tA2.49.3 60 (1)(608.)4.9(km)G即现在从 地到 地可比原来少走约 4.9kmB四、图案设计问题例 4.（2008 年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图 4 所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆 的半径 所在的直线为对称轴的轴对称图形， 是 与圆OCAOD的交点由于图纸中圆 的半径 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中Or是坡面 的坡度），求 的值1:0.75iE图 4分析:要求圆 的半径 的值，需在直角三角形 ODH 中来解决,而已知的条件太少，Or需要先在直角三角形 CEH 中，根据
6、条件 、坡面 的坡度 求出 、5CE1:0.75iEH，然后在直角三角形 ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出 的值CH - 4 -解：由已知 ，垂足为点 ，则 OCDEH90CE， 1:0.75i43在 中， 设 ， ，RtH 224k3(0)Hk又 ，得 ，解得 ， CE()45k1E4C ， ， 7D7ODArOr在 中， ， RtO 2222(4)(7)r解得 83r航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例 1 （深圳市）如图 1，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 处运往A正东方向的
7、 处，在点 处测得某岛 在北偏东 的方向上该货船航行 分钟后MAC60 30到达 处，此时再测得该岛在北偏东 的方向上，已知在 岛周围 海里的区域内有暗B3C9礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点 C 作CDAB 于 D，然后通过解直角三角形求出 CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得 AB=24 =12，CAB=90-60=30，CBD=90-30=60，21所以C=30，所以C=CAB，所以 CB=AB=12.图 1北60 30ABCMD- 5 -在 RtCBD 中，sinCBD= ，所以 CD=CBsi
8、nCBD=12 .CBD362所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险936例 2 如图 2，一艘渔船在 A 处观测到东北方向有一小岛 C，已知小岛 C 周围 4.8 海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东 30方向航行 10 海里到达 B 处，在 B 处测得小岛C 在北偏东 60方向上，这时渔船改变航线向正东（即 BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？F F FA A AB B BD D DC C CM NK E图 2 图 3 图 4分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解.解法一：如图 3，过点 B 作 BMAH 于 M，则 BM/AF.所以ABM=BAF=30
9、.在 RtBAM 中，AM= AB=5，BM= .2135过点 C 作 CNAH 于点 N，交 BD 于 K.在 RtBCK 中，CBK=90-60=30.设 CK=x，则 BK= x. 3在 RtCAN 中，因为CAN=90-45=45，所以 AN=NC.所以 AM+MN=CK+KN.又 NM=BK，BM=KN，所以 x+ =5+ x.解得 x=5.53因为 54.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图 4，过点 C 作 CEBD 于 E.所以 CE/GB/FA.所以BCE=GBC=60，BCA=FAC=45.所以BCA=BCE-ACE=60-45=15.又BAC=FAC-FAB=4
10、5-30=15，- 6 -所以BCA=BAC.所以 BC=AB=10.在 RtBCE 中，CE=BCcosBCE=BCcos60=10 =5.21也 54.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.在测量山的高度时，要用“化曲为直
11、”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例 1 (成都) 如图 2，甲、乙两栋高楼的水平距离 BD 为 90 米，从甲楼顶部 C 点测得乙楼顶部 A 点的仰角 为 30，测得乙楼底部 B 点的俯角 为 60，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点 C 作 CEAB 于点 E, 在 RtBCE 和 RtACE 中, BE 和 AE 可用含 CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作 CEAB 于点 E,CEDB,CDAB,且CDB= ,四边形
12、BECD 是矩形.09视线视线水平线俯角仰角铅垂线图 1E图 - 7 -CD=BE,CE=BD.在 RtBCE 中, = ,CE=BD=90 米.06 BE=CE (米).,tanCEB 3906tan9taCD=BE= (米).390在 RtACE 中, = ,CE=90 米.0 tanCEAAE=CE (米).30930tan9t AB=AE+BE= (米).12答:甲楼高为 米,乙楼高为 米.39030反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法 .例 2 （乐山） 如图 3，小山上有一棵树现有测角仪和
13、皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端 到水平地面的距离 AAB要求：画出测量示意图；写出测量步骤（测量数据用字母表示）；根据（2）中的数据计算 AB分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图 2,计算的关键是求 AE,可设 AE=x,则在 RtAGF 和 RtAEF 中, 利用三角函数可得, ,再根据 HE-FE=CD=m 建立方程即可.tanxHEtanxF解：（1）测量图案（示意图）如图 4 所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点 安装测角仪，C测得此时树尖 的仰角 ;AHE第二步：沿 前进到点 ，用皮尺量出 之间的距C
14、BDD，AB图 3AEFHC D B图 - 8 -离 ;CDm第三步：在点 安装测角仪，测得此时树尖 的仰角 ;AFE第四步：用皮尺测出测角仪的高 .h（3）计算：令 AE=x,则 得 ,又 得 , ,tanHExtanx,tEFxtanxHE-FE=HF=CD=m, ,ttm解得 ，AB=tantmx .tanth反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效. 快乐套餐:1.(泰安)如图 5，一游人由山脚 沿坡角为A的山坡 行走 600m，到达一个景点 ，再30ABB由 沿山坡 行走 200m 到达山顶 ，若在山
15、CC顶 处观测到景点 的俯角为 ，则山高45等于 （结果用根号表示）D2.(安徽)如图 6，某幢大楼顶部有一块广告牌 CD，甲乙两人分别在相距 8 米的 A、B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为 45和 60，且A、B、E 三点在一条直线上，若 BE=15 米，求这块广告牌的高度(取 1.73，计算结果保留3整数) ABCD图 5图19图图EDCBA 450 600图 - 9 -参考答案:1. .(3012)m2. AB8，BE15，AE23，在 RtAED 中，DAE45,DEAE23.在 RtBEC 中，CBE60,CEBEtan60 ，CDCEDE 232.953.153153即这块广告牌的高度约为 3 米.
