1、小小亲清辅导班解三角形题型 5：正、余弦定理判断三角形形状1、 （2013陕西高考文科9）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若cossinbCBaA, 则 ABC 的形状为 ( )A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定2、 （2010 上海文数）18.若 BC的三个内角满足 sin:i:sin5:13，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三
2、角形 D由增加的长度决定4、在ABC 中，已知 ， ，试判断ABC 的形状。2abc2sinisnABC5、在ABC 中，已知 ,那么ABC 一定是 ( )osiA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形6、A 为 ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= , 则 ABC 是_三角形.1277、在ABC 中，若 ，则ABC 是（ ）cbaAsincsA有一内角为 30的直角三角形 B等腰直角三角形C有一内角为 30的等腰三角形 D等边三角形 8、若(a+b+c)(b+ca)=3abc, 且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是 （ ）A直角三角形 B等边三角形 C
3、等腰三角形 D等腰直角三角形9、 （2010 辽宁文数 17）在 AC中， abc、 、 分别为内角 ABC、 、 的对边，且 2sin()sin(2)sinabcB（）求 的大小；（）若 ii1，试判断 的形状.10、在 中，已知 ,判断该三角形ABC22()si()()sin()aAabAB的形状。11、在 ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：B=60,b 2=ac； b 2tanA=a2tanB；sinC= (a 2b 2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).BAcosin题型 5：正、余弦定理判断三角形形状答案小小亲清辅导班1、 【解题指南】在含有边角关系式的三角函
4、数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.【解析】选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以 sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形 ABC 是直角三角形.2、解析：由 sin:sin5:13ABC及正弦定理得 a:b:c=5:11:13由余弦定理得02co2，所以角 C 为钝角3、解析：设增加同样的长度为 x，原三边长为 a、b、c，且 c2a 2b 2，abc.新的三角形的三边长为 ax、bx
5、、 cx，知 cx 为最大边，其对应角最大而(ax )2(bx )2(cx) 2 x22( abc )x0，由余弦定理知新的三角形 的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形答案：A4、解：由正弦定理 得： ， ， 。sinsiRABCsin2aAsibBRsin2cC所以由 可得： ，即： 。2i 2()abcc又已知 ，所以 ，所以 ，即 ，abc2424()2()0b因而 。故由 得： ， 。所以 ，acABC为等边三角形。5、B 解析：2sin AcosBsin C =sin（ A B）=sinAcosB+cosAsinBsin（ A B）0， A B另解：角化边点评：本题考查了
6、三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径6、纯角9、解：（）由已知，根据正弦定理得 cbcba)2()(2即 bca22由余弦定理得 Aos2故 10,cosA（）由（）得 .sinsinisin222 CBB又 sinCB，得 1小小亲清辅导班因为 90,90CB，故 C所以 AB是等腰的钝角三角形。10、 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一： 2 2sin()si()sin()si()abAB2coconAb由正弦定理，即知 2iiicoiAsin(ss)0BB2i由 ，得 或0,A22B即 为等腰三角形或直角三角形C方法二：同上
7、可得 22cosincosinaAbA由正、余弦定理，即得：22acba2222()()abcb即 0a或 22即 为等腰三角形或直角三角形ABC【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。 （边化角）11、分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. 由余弦定理，acacbca 222160cos 0)(2. 由 a=c 及 B=60可知 ABC 为等边三角形. 由 AbBaAbcosinttn22A=B 或,sii,cosisinsicosincoi 22 BABABA+B=90，ABC 为等腰或 Rt. ，由正弦定理：Cc再由余弦定理：,)s(ba baacbac22小小亲清辅导班. 由条件变形为RtABCbacbac为,0)(2222 2)sin(baBA.90,2sinsinoi,sini 22BA或ABC 是等腰或 Rt.
