1、九上第一章 锐角三角函数与解直角三角形考纲要求 命题趋势1理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30，45，60) 的三角函数值，并会进行计算2掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形3利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.知识梳理一、锐角三角函数定义在 RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.A 的正弦：sin A _；A 的余弦：cos A _； A的 对 边斜 边 A的 邻 边斜 边A 的正切：
2、tan A _.它们统称为A 的锐角三角函数 A的 对 边 A的 邻 边锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1定义：由直角三角形中除直角外的已 知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)2直角三角形的边角关系：在 RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)三边之间的关系：_；(2)锐角之间的关系：_；(3)边角之间的关系：sin A ，cos A ，tan A ，sin B ，cos B ，tan B .
3、ac bc ab bc ac ba3解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如 a，A) ，其解法为：B 90A，c ，b (或 b )；asin A atan A c2 a2(2)已知斜边和一个锐角( 如 c， A)，其解法为：B90 A，ac sin A，bccos A(或 b )；c2 a2(3)已知两直角边 a，b，其解法为：c ，a2 b2由 tan A ，得A，B90A；ab(4)已知斜边和一直角边( 如 c， a)，其解法为：b ，由 sin A ，求出A，B90A.c2 a2ac四、解直角三角形的应用1仰角与俯角：在进行观察时，从下 向上看，视线与水平线的
4、夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_与水平距离之比，常用 i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_自主测试1如图，在 RtABC 中， ACB90，BC 1，AB2，则下列结论正确的是( )Asin A Btan A Ccos B D tan B32 12 32 32如图，A，B，C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB ，则 tan B的值为( )A B C D12 13 14 243已知 是锐角，且 sin(15) ，计算 4cos ( 3.14) 0tan 1
5、的值32 8 (13)考点一、锐角三角函数的定义【例 1】如图，在ABC 中，C 90，AB13，BC5，则 sin A 的值是( )A B C D 来源:学_科_网 513 1213 512 135触类旁通 1 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，沿 CE 折叠矩形 ABCD，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，若AB 4，BC5 ，则 tanAFE 的值为( )A B C D43 35 34 45考点二、特殊角的三角函数值【例 2】如果ABC 中，sin Acos B ，则下列最确切的结论是( )22AABC 是直角三角形 B ABC 是等腰三角形CABC 是等腰直角三
6、角形 DABC 是锐角三角形触类旁通 2 计算：|2|2sin 30 ( )2(tan 45) 1 .3考点三、解直角三角形【例 3】如图，在ABC 中，C 90，点 D，E 分别在 AC，AB 上，BD 平分ABC，DE AB ，AE6，cos A .35求：(1)DE ，CD 的长；(2)tanDBC 的值触类旁通 3 如图是教学用的直角三角板，边 AC30 cm，C90，tanBAC ，则边 BC 的长为( )33A30 cm B20 cm C10 cm D5 cm3 3 3 3考点四、解直角三角形在实际中的应用【例 4】某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如图所示
7、，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 ，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 .测得 A，B 之间的距离为4 米，tan 1.6 ，tan 1.2，试求建筑物 CD 的高度1如图，在 RtABC 中， C90，AB2BC，则 sin B 的值为 ( )A B C D112 22 322如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测出 ACa米，BAC 90，ACB40，则 AB 等于( )米Aasin 40 Bacos 40 Catan 40 Datan 403如图，从热气
8、球 C 处测得地面上 A，B 两点的俯角分别为 30，45，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D ，B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是( )A200 米 B200 米 C220 米 D100( 1)米3 3 34(2012 山东济宁)在ABC 中，若A，B 满足 20，则C_ _.|cos A 12| (sin B 22)5数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部 10 米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60，则旗杆的高度是_米6如图，一段河坝的横断面为梯形 ABCD，试根据图中的数据，求出坝 底宽 AD.(iCE
9、 :ED，单位：m)7校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l 上点 D 的同侧取点 A，B，使CAD30，CBD60.(1)求 AB 的长(精确到 0.1 米，参考数据： 1.73， 1.41)；3 2(2)已知本路段对校车限速为 40 千米/时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由1如图，在 RtABC 中， ACB90，CD AB，垂足为 D.若 AC ，
10、BC2，则 sinACD 的值为( )5A B C D53 255 52 232如图，在 RtABC 中， C90，把A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cot A .则下列关系式中不成ba立的是( )A tan Acot A1 Bsin Atan Acos A Ccos Acot Asin A Dtan 2Acot 2A13如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为 ，那么滑梯长 l 为( )A B C Dhsin hsin htan hcos 4如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: ，堤高 BC5 m，则坡面 AB 的长度是( )3A10 m B10 m C15 m
11、 D5 m3 35在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东 60方向的 C 地，他先沿正东方向走了 200 m到达 B 地，再沿北偏东 30方向走，恰能到达目的地 C(如图) ，那么，由此可知，B，C 两地相距_m.7如图所示，在ABC 中，C 90，A30，BD 是 ABC 的平分线，CD5 cm，求 AB 的长8综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度如图所示是护城河的一段，两岸 AB CD，河岸 AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为 10 米小明先用测角仪在河岸 CD 的 M 处测得 36，然后沿河岸走 50 米到达 N 点，测得72.请你根据这
12、些数据帮小明他们算出河宽 FR(结果保留两位有效数字)(参考数据：sin 360.59.cos 360.81，tan 360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan 723.08)参考答案导学必备知识自主测试来源:Zxxk.Com1D 2B 3解：sin(15) ，45 ，原式 2 4 1133.32 2 22探究考点方法触类旁通 1C 由折叠过程可知，CFBC5，根据勾股定理得 DF3，所以 AFADDF2， 设 AEx ，则EF BE4x ，在 RtAEF 中，(4x) 22 2x 2，解得 x ，所以 tanAFE .32 AEAF 322 34触类旁通 2解：原式22
13、 31 1 1.12触类旁通 3C 因为 tanBAC ，所以 BCACtan BAC30 10 (cm)BCAC 33 3品鉴经典考题1C 在 RtABC 中， C90， AB2BC， sin A .BCAB BC2BC 12A30，B60，sin B ，故选 C.322C 在 RtABC 中，ACa 米， BAC90，ACB40 ，tan 40 ，ABatan 40.ABAC3D 由题意得A30，B45. AD 100 (米)，BD 100( 米)，CDtan A 3 CDtan B则 ABAD BD100 100100( 1)(米) 故选 D.3 3475 由题意得：cos A 0， s
14、in B 0， cos A ，sin B ，12 22 12 22A60，B45，C75.510 在直角三角形中， tan 60 ，所以旗杆的高度 10 (米)3旗 杆 的 高 度10 36解： 如图所示，过点 B 作 BFAD，可得矩形 BCEF.EFBC 4，BFCE4.在 RtABF 中，AB 5， BF4. 由勾股定理可得：AF 3(m)52 42又在 RtCED 中，i ， ED2CE248(m)CEED 12ADAFFEED 348 15(m)7解： (1)由题意得，在 RtADC 中，AD 21 36.33；在 RtBDC 中，BD 7 12.11， CDtan 30 2133
15、3 CDtan 60 213 3所以 ABAD BD36.3312.11 24.22 24.2(米)(2)校车从 A 到 B 用时 2 秒，所以速度为 24.2212.1(米/秒)， 因为 12.13 60043 560，所以该车速度为 43.56 千米/时，大于 40 千米/时， 所以此校车在 AB 路段超速研习预测试题来源:学*科*网1A 2D 3A 4A 5200 6127解：在 RtABC 中，C 90，A30 ，BD 是ABC 的平分线，ABD CBD30.AD DB.又RtCBD 中，CD5 cm，BD10 cm. BC5 cm，AB2BC10 cm.3 38解： 过点 F 作 FGEM 交 CD 于 G.来源:学#科#网则 MG EF20 米， FGN 36.GFN FGN723636.FGNGFN ，FNGN 502030(米)在 RtFNR 中，FRFNsin 30sin 72 300.9528.5 29(米)故河宽 FR 约为 29 米
