1、第 1 页（共 30 页）二次函数平行四边形存在性问题例题一解答题（共 9 小题）1如图，抛物线经过 A（ 1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M ，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧
2、）（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由第 2 页（共 30 页）3已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点 C（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三
3、点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移 3.5 个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点F 在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由4已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴
4、于点 C（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出|QAQO|的取值范围第 3 页（共 30 页）5如图，Rt OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，OAB=90，OA=4，AB=2，把 RtOAB 绕点 O 逆时针旋转 90，点 B 旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点（1）求该抛物线
5、的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点） 、C、 H、N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由6如图，直线 y= x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+ x+c经过 B、C 两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E
6、 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请第 4 页（共 30 页）求出点 E 的坐标和BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以P、Q 、 A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由7如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、 C 三点，其中 B（4，0） 、C（ 2，0） ，连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D 作DEx 轴，垂足为 E，交 AB 于
7、点 F（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称，以 G 为圆心，GD 为半径作圆，当G 与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标；（3）过 D 点作直线 DHAC 交 AB 于 H，当DHF 的面积最大时，在抛物线和直线 AB 上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、 N 两点的横坐标8已知直线 y=kx+b（k0）过点 F（0，1） ，与抛物线 y= x2 相交于 B、C 两第 5 页（共 30 页）点（1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；（2）在（1）的
8、条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（m n） （m0） ，过点 E（0 1）的直线 lx 轴，BRl于 R，CS l 于 S，连接 FR、FS 试判断RFS 的形状，并说明理由9抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，若两动点 D、E 同时从原点 O 分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点D 的速度是每秒 2 个单位长度（1）求
9、抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D 、E 在同一条直线上？第 6 页（共 30 页）2017 年 05 月 03 日 1587830199 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 9 小题）1 （2016安顺）如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C （0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物
10、线上是否存在一点 N，使以 A，C，M ，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a 0） ，A（1 ，0） ，B（5 ，0） ，C （0 ， ）三点在抛物线上， ，解得 抛物线的解析式为：y= x22x ；第 7 页（共 30 页）（2）抛物线的解析式为：y= x22x ，其对称轴为直线 x= = =2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0） ，C （0， ） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k 0） ， ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x ，当 x=2 时，y=1 = ，P
11、（2， ） ；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C （0 ， ） ，N 1（ 4， ） ；当点 N 在 x 轴上方时，第 8 页（共 30 页）如图，过点 N2 作 N2Dx 轴于点 D，在AN 2D 与M 2CO 中，AN 2DM 2CO（ASA） ，N 2D=OC= ，即 N2 点的纵坐标为 x22x = ，解得 x=2+ 或 x=2 ，N 2（ 2+ ， ） ，N 3（2 ， ） 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4， ） ， （ 2+ ， ）或（2 ， ） 2 （2016十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x3 与 x
12、轴交于点A，与 y 轴交于点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点B（点 B 在点 A 右侧） （1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以第 9 页（共 30 页）M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由【解答】解：（1）当 y=0 时，3x3=0，x=1A（1 ，0）当 x=0 时，y=3，C （0
13、，3） ， ，抛物线的解析式是：y=x 22x3当 y=0 时，x 22x3=0，解得：x 1=1，x 2=3B（3，0） （2）由（1）知 B（3，0） ，C （0，3）直线 BC 的解析式是：y=x3，设 M（ x，x3） （0x3） ，则 E（x ，x 22x3）ME=（x3）（x 22x3） =x2+3x=（x ） 2+ ；当 x= 时， ME 的最大值为 （3）答：不存在由（2）知 ME 取最大值时 ME= ，E （ ， ） ，M （ ， ）第 10 页（共 30 页）MF= ，BF=OB OF= 设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形，
14、则 BP MF，BFPMP 1（ 0， ）或 P2（3， ）当 P1（ 0， ）时，由（1 ）知 y=x22x3=3P 1 不在抛物线上当 P2（ 3， ）时，由（1 ）知 y=x22x3=0P 2 不在抛物线上综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F 、B 为顶点的四边形是平行四边形3 （2016义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移 3.5 个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点F 在点 N 的左侧）两点，交 y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由
