1、数学二历年考研试题及答案详解（20032014）1数学二历年考研试题及答案详解（20032014）2数学二历年考研试题及答案详解（20032014）3数学二历年考研试题及答案详解（20032014）42013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分设 ，当 时， （ ）2)(,sincoxx0xx（A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小（C）与 同阶但不等价无穷小 （D）与 等价无穷小2已知 是由方程 确定，则 （ ）xfy1lncosxy12limnfn（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2设 ， 则（ ）2,)0sin)(xf x
2、dtfF0)(（） 为 的跳跃间断点 （） 为 的可去间断点 )( )(xF数学二历年考研试题及答案详解（20032014）5（） 在 连续但不可导 （） 在 可导)(xF)(xF设函数 ，且反常积分 收敛，则（ ）exf,ln1,)() df（A） （ B） （C） （D）22a02a20设函数 ，其中 可微，则 （ ）xyfzfyzx（A） （B） （C） （D）)(2f )(2yf)(f )(xyf6设 是圆域 的第 象限的部分，记 ，则（ ）kD1|,xykkdI（A） （B） （C ） （D）01I02I03I047设，均为 阶矩阵，若，且可逆，则n（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵
3、A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价8矩阵 与矩阵 相似的充分必要条件是1ab02b（A） （B） ， 为任意常数2,00ab（C） （D ） ， 为任意常数b2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 xx10)ln(2lim10设函数 ，则 的反函数 在 处的导数 dtefx1)( )(xfy)(1yf00|ydx数学二历年考研试题及答案详解（20032014）611设封闭曲线 L 的极坐标方程为 为参数，
4、则 L 所围成的平面图形的63cosrt面积为 12曲线上 对应于 处的法线方程为 21lnarctyx1t13已知 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满xxx eyeye23231 , 足 方程的解为 )0(,)(y14设 是三阶非零矩阵， 为其行列式， 为元素 的代数余子式，且满足ijaAAijija，则 = )3,21,(ijij三、解答题15 （本题满分 10 分）当 时， 与 是等价无穷小，求常数 0xxx3cos2s1nana,16 （本题满分 10 分）设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所转成的平面图形， 分别是 D 绕 轴和3y)0(yxV,x轴旋转一周所形成的立体的体积，若
5、 ，求 的值y yxV1a17 （本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 所围成，求 8,3,yxDdxy218 （本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：)(f1,1)(f（1）存在 ，使得 ；0f（2）存在 ，使得 ),()(f19 （本题满分 10 分）求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离)0,(133yxyx20 （本题满分 11）数学二历年考研试题及答案详解（20032014）7设函数 xf1ln)(求 的最小值；x设数列 满足 ，证明极限 存在，并求此极限n1lnxnxlim21 （本题满分 11）设曲线 L 的方程为 )(l24ey（1）求 L
6、 的弧长（2）设 D 是由曲线 L，直线 及 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标x,122本题满分 11 分）设 ，问当 为何值时，存在矩阵 C，使得 ，并求出所有bBaA0,1a, BA矩阵 C23（本题满分 11 分）设二次型 记 23212321321 )()(),( xbxaxxf 321321,ba（1）证明二次型 对应的矩阵为 ；f T（2）若 正交且为单位向量，证明 在正交变换下的标准形为 , f 21y2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前
7、的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线 的渐近线条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3数学二历年考研试题及答案详解（20032014）8(2) 设函数 ，其中 为正整数,则 ( )2()1)()xxnxfee n(0)f(A) (B) (C) (D) 1!n 1!1!n1!n(3) 设 ，则数列 有界是数列 收敛的 230(,23),n nnaSaa nSna( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设 则有 20sind,(12,3)kxIek( )(A) (B) (C) (D) 123I321II2
8、31II213I(5) 设函数 为可微函数，且对任意的 都有 则使不等式(,fxy） ,xy(,)(,)0,xy成立的一个充分条件是 12(,)(,)fxyf( )(A) (B) (C) (D) 122,y122,xy122,xy122,xy(6) 设区域 由曲线 围成，则 Dsin,5()dD( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向量组10c2131c4c1234,c线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) 123, 124, 134,234,(8) 设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 ，AP102PA
9、123,P则 ( )123,Q1Q数学二历年考研试题及答案详解（20032014）9(A) (B) (C) (D)102102201201二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设 是由方程 所确定的隐函数，则 .()yx21yxe20xdy(10).2221limnnn(11) 设 其中函数 可微，则 .l,zfxyfu2zxy(12) 微分方程 满足条件 的解为 .2d3d01x(13) 曲线 上曲率为 的点的坐标是 .2yx(14) 设 为3阶矩阵， ， 为 伴随矩阵，若交换 的第1行与第2行得矩阵 ， 则A=3*AAB. *B三、
10、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数 ，记 ，1sinxf0limxaf(I)求 的值;a(II)若 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfk k(16)(本题满分 10 分)求函数 的极值.2,xyfe(17)(本题满分 12 分)过 点作曲线 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线 围成,求(0,1:lnLALxBDLAB区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.Dx数学二历年考研试题及答案详解（20032014）10(18)(本题满分 10 分)计算
11、二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.dDxyD1cos0r(19)(本题满分 10 分)已知函数 满足方程 及 ,(f()2()ffxf()2xfxfe(I) 求 的表达式;x(II) 求曲线 的拐点.220dxyfft(20)(本题满分 10 分)证明 , .21lncos1x(1)x(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根；xn-1+n的 整 数 1,2(II)记(I)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.nlimnx(22)(本题满分 11 分)设 ，10aA10(I) 计算行列式 ；(II) 当实数 为何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解 .aAx(23)(本题满分 11 分)已知 ，二次型 的秩为 2，10Aa123,TfxAx(I) 求实数 的值；(II) 求正交变换 将 化为标准形.xQyf2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
