1、长沙家教网 www.cs-整式及整式的加减要点梳理及经典例题一、整式的有关概念1单项式（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如： 2x可以看成 2x，所以 是单项式；而 2x表示 2 与 的商，所以 2x不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如： 21xy的系数是1； r的系数是 2.注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是 1 或 时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如： 23,xyabc等； 是数字，不是字母.（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注
2、意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为 1 的情况. 如 32xyz的次数为126，而不是 5；切勿加上系数上的指数，如 52xy的次数是 3，而不是 8；3xy的次数是 5，而不是 6.2多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；体现和的运算法则.（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如： 231xy共含有有三项，分别是2,31xy，所以 231xy是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是 ，而不是 1.（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项
3、式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式 24235xyxy中， 2的次数是 4， 3xy的次数是5， 2xy的次数是 3，故此多项式的次数是 5，而不是 431.3整式：单项式和多项式统称做整式.4降幂排列与升幂排列（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.长沙家教网 www.cs-注意：降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升）幂重新排列，
4、移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式 2423xyxy按x的升幂排列为： 4234yxyx；按 的降幂排列为：423234y.二、整式的加减1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如： 23ab与 2是同类项；而23ab与 25却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如 35ab显然不正确；不能合并的项，在每步运算
5、中不要漏掉.（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是 0.3去括号与填括号（1）去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，
6、各项都不变. 例如： ;abcabc；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号.注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如： ;.abcabc4整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.长沙家教网 w
7、ww.cs-经典例题透析类型一：用字母表示数量关系1填空题： (1)香蕉每千克售价 3 元，m 千克售价_元。(2)温度由 5上升 t后是_。(3)每台电脑售价 x 元，降价 10后每台售价为_ 元。(4)某人完成一项工程需要 a 天，此人的工作效率为_。思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。举一反三：变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册 元的图书 240 册，若每册图书的邮费为书价的 5，则共需邮费_元。类型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1) x1；(2)a 2；(3)；(4)S R 2；(5) ；(6)总结升华：判断是不
8、是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。举一反三：变式 把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。x 2y， ab， xy 25， ， 29， 2ax9b5， 600xz， axy， xyz1， 。分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。答案：单项式有：x 2y， ，29,600xz， axy长沙家教网 www.cs-多项式有： ab，xy 25,2ax9b5，xyz1整式有：x2y， ab，xy 25， ，29，2ax9b5,6
9、00xz， axy，xyz 1。类型三：同类项3若 与 是同类项，那么 a,b 的值分别是（ ）（A）a=2, b= 1。 （B ）a=2, b=1。（C）a=2, b=1。 （D）a= 2, b=1。思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b=1，故选 A。举一反三：变式 在下面的语句中，正确的有( ) a2b3 与 a3b2 是同类项； x2yz 与zx 2y 是同类项； 1 与是同类项；字母相同的项是同类项。A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、
10、4 个解析：中 a2b3 与 a3b2 所含的字母都是 a，b，但 a 的次数分别是 2,3，b 的次数分别是 3,2，所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz 与zx 2y 是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。故选 B。类型四：整式的加减4化简 mn（ m+n）的结果是（ ）（A）0。 （ B）2m。（C）2n。 （ D）2m2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。长沙家教网 www.cs-解析： 原式=mnmn=2n，故选（C）。举一反三：变式 计算：2xy+
11、3xy=_。分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现 5x2y2 的错误。答案：5xy。5（化简代入求值法）已知 x ，y ,求代数式(5x 2y2xy 23xy)(2xy5x 2y2xy 2) 思路点拨：此题直接把 x、y 的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。解析：原式5x 2y2xy 23xy2xy5x 2y2xy 25xy当 x ，y 时，原式5 。总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，
12、再代入求值。举一反三：变式 1 当 x0，x ，x-2 时，分别求代数式的 2x2x1 的值。解：当 x0 时，2x 2x120 2011；当 x 时，2x 2x12 ；当 x-2 时，2x 2x 12（-2 ） 2（-2）124+2111。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式 2 先化简，再求值。3(2x 2y3xy 2)(xy 23x 2y)，其中 x ，y1。解： 3(2x2y3xy 2)
13、(xy 23x 2y)(6x 2y9xy 2)xy 23x 2y6x 2y9xy 2xy 23x 2y9x 2y10xy 2。当 x ，y1 时，原式9 (1) 10 (1) 2。长沙家教网 www.cs-总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为 9x2y10xy 2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式 3 求下列各式的值。(1)(2x 2x 1) ，其中 x(2)2mn(3m) 3(2nmn)，其中 mn2，mn 3。解析：(1) (2x 2x1)2x 2x1x 2x 3x 23 4x 24当 x 时，原式4 4945。(2) 2mn(3
14、m)3(2n mn)2mn6m6n3mn5mn6(mn)当 mn2， mn3 时原式5( 3)6227。类型五：整体思想的应用6已知 x2x3 的值为 7，求 2x22x3 的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求 x2x 的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。解析：由题意得 x2x37，所以 x2x4，所以 2(x2x) 8，即 2x22x8，所以 2x22x3835。总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使
15、问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。举一反三：变式 1 已知 x2x10，求代数式 x32x 27 的值。分析：此题由已知条件无法求出 x 的值，故考虑整体代入。解析：x 2x10，x 21x，x 32x 27x(1x) 2(1x) 7xx 222x7-x 2-x-5（-x 2-x+1）-6 = 6。变式 2 当 x1 时，代数式 px3qx1 的值为 2003，则当 x1 时，代数式px3qx1 的值为( )A、2001 B、2002 C、2003 D、2001长沙家教网 www.cs-分析：这是一道求值的选择题，显然 p，q 的值都不知道，仔细观察题目，不难发现
16、所求的值与已知值之间的关系。解析：当 x1 时，px 3qx1pq12003，而当 x1 时，px3qx1pq1，可以把 pq 看做一个整体，由 pq12003 得 pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式20021 2001。故选 A。变式 3 已知 A3x 32x1，B 3x 22x1，C2x 21，则下列代数式中化简结果为 3x37x 22 的是( )A、AB2C B、AB2C C 、AB2C D、AB2C分析：将 A，B，C 的式子分别代入 A，B，C ，D 四个选项中检验，如：AB2C 3x 32x1(3x 22x1)2(2x 21)3x 32x13x 22x14x 223x
17、 37x 22。故选 C。答案：C变式 4 化简求值。(1)3(abc)8(ab c)7(abc)4(abc)，其中 b2(2)已知 ab2，求 2(ab) a b9 的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将 abc ，abc 分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出 a，b 的值，再代入求值，显然行不通，应视 ab 为一个“整体”。解析：(1)原式3(a bc) 7(abc)8(abc)4(abc)4(abc)4(abc)4a4b4c4a 4b4c8b。因为 b2，所以原式8216。(2)原式2(a b)(ab)9(ab) 9因为 ab2，所以原式2
18、911。类型六：综合应用7已知多项式 3(ax22x1) (9x 26x7)的值与 x 无关，试求5a22(a 23a 4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为 0 即可.解析：3(ax 22x1)(9x 26x7)3ax 26x3 9x26x7(3a 9)x 24。因为原式的值与 x 无关，故 3a90，所以 a3。又因为 5a22(a 23a4)5a 22a 26a 8 3a26a 8，所以当 a3 时，原式33 263837。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举
19、一反三：变式 1当 a(x0)为何值时，多项式 3(ax22x1) (9x 26x7) 的值恒等为 4。解析：3(ax 22x1)(9x 26x7)3ax 26x3 9x26x7(3a 9)x 24。因为(3a9)x 24 4，所以(3a9)x 20。又因为 x0，故有 3a90。即长沙家教网 www.cs-a3，所以当 a3 时，多项式 3(ax22x1)(9x 26x7)的值恒等于 4。变式 2当 a3 时，多项式 3(ax22x1)(9x 26x7)的值为多少？解析：3(ax 22x1)(9x 26x7)3ax 26x3 9x26x7(3a9)x 24，当 a3 时，原式(3 39)x 244。8已知关于 x 的多项式(a1)x 5x |b2| 2xb 是二次三项式，则a_，b_。分析：由题意可知 a10，即 a1，|b 2|2，即 b4 或 0，但当 b0 时，不符合题意，所以 b4。答案：1，4举一反三：变式 若关于 的多项式： ，化简后是四次三项式，求 m，n 的值答案：m=5 ，n=-1
