1、自由落体与上抛的相遇问题的典型例题（8 个）8-1、 一小球被以 30m/s 的初速度竖直上抛，以后每隔 1s 抛出一球，空气阻力可以忽略不计，空中各球不会相碰。问：（1）最多能有几个小球同时在空中？（2）设在 t=0 时第一个小球被抛出，那么它应在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（ ）解： ，小球在空中运动的时间为时，将第一个小球抛出，它在第 末回到原处，同时第七个小球即将被抛出。在第六个小球抛出后第一个小球尚未返回原处时，空中只有 6 个小球，第七个小球抛出时，第一个小球已经落地，所以空中最多只有 6 个球。第一个球 时抛出，而第 个球在 后抛出，则在某一时刻 这两个球的位移分别为
2、（1）（2）两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即整理得 其中 表示第一个小球和 后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。当 时， ，这是与第二个小球相遇而过的时刻；当 时， ，这是与第三个小球相遇而过的时刻；当 时， ，这是与第四个小球相遇而过的时刻；当 时， ，这是与第五个小球相遇而过的时刻；当 时， ，这是与第六个小球相遇而过的时刻。除上述分析计算法之外，还可用图像法解决本题。根据题意，定性画出 图像，如图所示，根据各球图像的交点及相应的坐标，可以看出：每一个小球在空中能与 5 个小球相遇，时间依次是 ， ， ， ， 。当然第一问同样可以迎刀而解。8-2. 一矿井深 125m，在井口每隔一
3、段时间落下一个小球，当第 11 个小球刚从井口开始下落时，第 1 个小球恰好到达井底，则：（1）相邻两个小球下落的时间间隔是 s；（2）这时第 3 个小球与第 5 个小球相距 （g 取 10 ms2） （答案 0.5；35 m ）8-3. A 球自距地面高 h 处开始自由下落，同时 B 球以初速度 v0 正对 A 球竖直上抛，空气阻力不计。问： （1）要使两球在 B 球上升过程中相遇，则 v0 应满足什么条件？（2）要使两球在 B 球下降过程中相遇，则 v0 应满足什么条件？解析：两球相遇时位移之和等于 h。即： gt2+（v0t gt2）=h 所以：t=而 B 球上升的时间：t1= ， B
4、球在空中运动的总时间：t2=（1）欲使两球在 B 球上升过程中相遇，则有 tt1，即 ，所以 v0（2）欲使两球在 B 球下降过程中相遇，则有： t1tt2即 所以： v08-4. 如图所示，长 L=75cm 的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总质量为 4kg 现对筒施加一竖直向下，大小为 21N 的恒力，使筒竖直向下运动，经 t=0.5s 时间，小球恰好跃出筒口。求：小球的质量。 （g=10m/s2）解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移比小球的位移多一个筒的长度。设筒与小球的总质量为 M，小
5、球的质量为 m，筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动，设加速度为 a；小球做自由落体运动设在时间 t 内，筒与小球的位移分别为 h1、h2（球可视为质点） ，如图所示。由运动学公式得又有： ，代入数据解得又因为筒受到重力（Mm） g 和向下作用力 F，据牛顿第二定律得8-5. 如图所示，升降机以匀加速度 a 上升，当上升速度为 v 时，有一螺帽自升降机天花板上松落，已知天花板距升降机底面为 hm，求落至底面的时间。解：选升降机为参考系，螺帽受重力作用，相对加速度大小为 g+a，竖直向下，相对运动可视为以 g+a 为加速度的自由落体，有所以 为所求。8-6、 杂技演员把三只球
6、依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有 3 个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有一半时间内没有球。设每个球上升的高度为 1.25m，取 ，求每个球每次在手中停留的时间是多少？解：设一个球每次在手中停留的时间为 ，则手中连续抛出两球之间的时间间隔为 ，而对于同一个球，它连续两次自手中抛出的时间间隔则为 。在这段时间内，此球有 的时间停留在手中，则有 的时间停留在空中，根据竖直上抛运动的规律得：代入数值得： 球一次竖直上抛运动的时间 ，则它每次在手中停留时
7、间为 0.2S。8-7. 某升降机以 1.6m/s 的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板 6.5m 高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高（或低）了多少？解：设从放球到球与底板相碰需要时间 t，放球时，球与底板的距离为 h，升降机速度为 ，在此期间球下降距离 ，升降机上升距离为 ，如图所示，因此有代入数据得解之得 （负根舍去）这时球相对于地面的速度为而球相对于底板的速度由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球相对于底板的速度应为11.4m/s。由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍为 向上，所以碰撞后小球相对于地面向上的速度 由此可知球第一次上升的高度为 因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为8-8. 将两小石块 A、B 同时竖直上抛，A 上升的最大高度比 B 的高出 35m，返回地面的时间比 B 迟 2s。问：（1）A、B 的初速度分别为多少？（2）A、B 分别达到的高度最大值各为多少？（ ）解析：设 A、B 初速度分别为 、 ，二者上升的最大高度分别为 、 ，A、B 上升到最高点所经历的时间依次为 、 。在最高点， 有将两式代入 得 ，由题意知 所以
