1、1毕业论文开题报告数学与应用数学近五年高考数学不等式试题的研究一、选题的背景与意义不等式不仅是高中数学的重点内容，也是高等数学的基础和工具。“等”与“不等”是辩证统一的，相等关系是不等关系的某一特殊状态。不等式涉及的数学思想与方法主要有转化与化归思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程思想、数学建模思想，比较法、综合法、分析法、换元法、放缩法、反证法、数学归纳法、求导法、利用函数的单调性等。不等式已成为培养学生数学逻辑思维能力、推理论证能力、运算能力、建模能力、分析问题和解决问题的能力的重要素材，也是学生进一步学习高等数学的基础知识和重要工具。教育部2003年公布的普通高中数学课程标准
2、（实验）中关于不等式的安排是必修5中从不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式组与简单线性规划问题和基本不等式四个方面对高中生做了学习要求。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。能够解一些不等式的习题以及解决关于不等式的具体实例。选修45不等式选讲则是对高考理科生提出更高要求。纵观近年来高考试题，不等式问题一直是考查的重点和热点，在近年来的高考试题中占有相当大的比重。在每年高考试题中，直接或间接考查不等式知识约占总分的三分之一以上。不等式试题体现了“基础与能力考查并重”的原则。这些试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能和基本方法，而且能更
3、有效地测试逻辑推理能力、运算能力以及运用相关知识和方法去分析问题和解决问题的能力。不等式试题在高考试卷中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题。从近年高考试题的综合分析情况来看，不等式试题考察的问题大致有以下五类解不等式问题、比较大小问题、求取值范围问题、证明不等式问题和最优化问题。通过对比较合理地分类后的高考不等式试题进行分析研究，可以帮助读者理清高中不等式的要点，更好地掌握课程标准所要求的相关内容。2二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容分析研究近五年全国各地数学高考题中的不等式试题，主要从解不等式、比较大小、求最值范围、证明不等式、最优化问题等五个方面入手分析不等
4、式试题，并对其进行分类与归纳。拟解决的主要问题1、对近五年全国各地数学高考题中的各种不等式试题进行分类。2、归纳整理解不等式、比较大小、求最值范围、证明不等式、最优化问题等五个方面的不等式试题，并对其进行分析。三、研究的方法与技术路线收集近五年全国各地的数学高考题中的不等式试题，同时查阅相关资料与文献，分类归纳解不等式、比较大小、求最值范围、证明不等式、最优化问题等五个方面的不等式试题，并对其进行分析。四、研究的总体安排与进度201011查找有关文献资料，确定论文题目201011201012查阅文献，完成文献综述、开题报告201012201103进行毕业论文的具体制作，完成两篇外文翻译以及完成
5、毕业设计（论文）初稿201104完成毕业设计（论文）定稿201105准备论文答辩五、主要参考文献1浙江省高考命题咨询委员会浙江省高考命题解析（数学）M杭州浙江摄影出版社，2006512中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（实验）M北京人民教育出版社，20033G波利亚（涂泓，冯承天译）怎样解题M上海上海科技教育出版社，20074季素月初等数学研究教程M长春吉林科学技术出版社，200411512635王善臣5年高考3年模拟（高考理数）M北京首都师范大学出版社，科学教育出版社，20101261436黄爱民，肖颖妮高考复习中不等式题型分析及解法J中学数学月刊，2007，（4）9127曾安雄高考不
6、等式的六大热点J数理化学习高中版，2006，（1）18228王朝璇，张志峰解读2010年高考题中的不等式证明题J中学数学研究，2010，（8）15179孔凡哲，芦淑坤不等式的思想、方法及其应用J中学生数理化，2006（2）4510杜平不等式思想在解题中的应用J中学数学教学参考，1995，（7）181911蒋明斌一个条件不等式的背景、简证与推广J中学数学研究，2006，（10）131612慕泽刚点击以课本习题为背景的不等式高考题J中学生数理化高二版，2007，（Z1）303313单文海新课程高考专题复习不等式J中学数学月刊，2004，4121714何拓程创意不断常考常新2007年高考不等式试题赏
7、析J中学数学教学，2007，（4）525515赵爽高考不等式问题分类解析J数学爱好者高考版，2007，（9）222316THEOHIOSTATEUNIVERSITYGPOLYAAND“HOWTOSOLVEIT”DB/OLHTTP/WWWPHYSICSOHIOSTATEEDU/NTG/263/HANDOUTS/261POLYA05PDF，2005322/2010121517KEITHPLEDGERABAB当AB2时取等号，所以4AB。分析高考中的关于线性规划的求最值问题基本就是如以上两个例子这样的题型，只要掌握图解法的思路，这类题目没有多大难度。此外，标准还要求学生会从实际情境中抽象出一些简单的
8、二元线性规划问题，并能加以解决。近几年数学高考题很注重这方面的考查，经常运用生活实际背景出题。解线性规划中的实际问题时，需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决。例9（1）（2010四川，7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两
9、车间每天总获利最大的生产计划为（B）A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱（2）（2009广东，19）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午30餐含12个单位的盐水化合物一个单位的蛋白质和6和单位的维生素C，一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6和单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C。如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是25元和4元，那么要满足
10、上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐解（1）设甲车间加工X箱原料，乙车间加工Y箱原料，总获利为Z，则,70,106480XNYNXYXY可行域如下图所示，目标函数Z280X200Y，易知目标函数过A点时取最大值，故选B。（2）设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为X个单位和Y个单位，所花的费用为Z元，则依据题意得Z25X4Y，且X，Y满足0,012864,6642,61054,XYXYXYXY，可行域如下图，31让目标函数表示的直线Z25X4Y在可行域上平移，由此可知在B点时Z取最小值。因此，应当为儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求。分析（1
11、）（2）两题都是解线性规划的应用题，求解程序如下设出未知数，列出约束条件，确定目标函数ZAXBYC；作出可行域；作出直线LAXBY0；确定直线L的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；解相关方程组，求出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值。特别需要注意的是，在实际问题中，要注意最优解的隐含约束条件。如（1）中箱数必须是正整数，而（2）中也有类似的隐含条件。如果相关方程组解出的最优解不符合这些隐含条件，则要学会在可行域中就近找点，直至求出符合条件的最优解。另外，若目标函数所对应的直线束的斜率与约束条件中的某一个约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解有可能有无数个。36不等式的综合应用研究分析
12、历年各地的数学高考试卷，我们不难发现，解答题中关于不等式的考查除了线性规划问题，无论是解不等式、求取值范围还是不等式证明几乎都是与函数、数列、解析几何等知识综合的题目。主要考查的形式有求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性；求函数的最值；研究方程的实根分布；确定参数的取值范围；解决与不等式有关的应用题等。这类题目的知识结构比较综合，大多题目中等偏难，很多都是以压轴题的形式出现。例10（1）（2010湖北，21）已知函数0BFXAXCAX（）（）的图象在点1,F1处32的切线方程为YX1。（）用A表示出B，C；（）若LNFXX（）在1，）上恒成立，求A的取值范围；（）证明1111LN112321
13、NNNNN（）（）（）。（2）（2010四川，22）设11XXAFXA（0A且1A），GX是FX的反函数。（）设关于X的方程217ATLOGGXXX在区间26,上有实数解，求T的取值范围；（）当AE（E为自然对数的底数）时，证明22221NKNNGKNN；（）当120时，试比较1NKFKN与4的大小，并说明理由。（3）（2010江苏，17）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H单位M），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度H4M，仰角ABE，ADE。（）该小组已经测得一组、的值，TAN124，TAN120，请据此算出H的值；（）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离D（单位M），使
14、与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125M，试问D为多少时，、最大解（1）（）2BFXAX，则有01FLABCFLAB，解得12BACLA。33（）由（）知，112AFXAXAX，令1LN12LNAGXFXXAXAXX，1,X，则0GL，222211111AAXXAAXXAAGXAXXXX。当102A，11AA若11AXA，则0GX，GX是减函数，所以0GXGLLNFXX，故LNFXX在1,上恒不成立。12A时，1ALA若LNFXX，故当1X时，LNFXX综上所述，所求A的取值范围为1,2。（）证法一由（）知当12A时，有LN1FXXX。令12A，有11LN12FXXXXX，
15、当1X时，11LN2XXX。令1KXK，有111111LN112121KKKKKKKK，即111LN1LN21KKKK，1,2,3KN。将上述N个不等式一次相加得，11111LN122321NNN，整理得1111LN12321NNNN。证法二用数学归纳法证明当1N时，左边1，右边1LN214，不等式成立；34假设NK时不等式成立，即，1111LN12321KKKK。那么111111LN1231211KKKKKK2LN121KKK。由（）知当12A时，有LN1FXXX，令12A，有11LN12FXXXXX，令21KXK，得1212LNLN2LN12121KKKKKKKK，21LN1LN22122
16、KKKK，11111LN223121KKKKK。这就是说，当1NK时，不等式也成立。根据和，可知不等式对任何NN都成立。（2）（）由题意，得,011YYAN故1LOG,11,1AXGXXX。由11LOG71LOG2XXXXTAA得217,2,6TXXX，231815315TXXXX则。列表如下X2（2，5）5（5，6）6T0T5极大值2535所以32,5最大值最小值TT，所以T的取值范围为5，32。（）1115314213112NNNNNNKGNN211115342311NNNNNN222211121,0,2111100,ZUZNZNZZZZZUZZZZUZ令则。所以在上是增函数。221110
17、,1022112210,112221NNNNNNNNNNNNNNNNNGKNN又因为所以却即。（）11112,1,11131121,11242,122,1111KKKNNPFPNNNFPNPKKNFKPP设则当时。当时设时则NPCPCPC242242421。3612442124441111114441111,211114NNNNFKCCKKKKNFKNNNNNNFKFNN所以。从而所以。综上，有14NNKN。（3）（）TANTANHHADAD，同理TANHAB，TANHBD。ADABDB，故得TANTANTANHHH，解得TAN4124124TANTAN124120HH。因此，算出的电视塔的高
18、度H是124M。（）由题设知DAB，得TAN,TANHHHHHDADDBD，2TANTANTAN1TANTAN1HHHHDHDDHHHHHHDHHHDDDD2HHHDHHHD，（当且仅当125121555DHHH时，取等号）故当555D时，TAN最大。因为02，则02，所以当555D时，最大。故所求的D是555M。分析（1）题考查的知识比较综合，难度属中等偏上。当遇到与其他知识结合（如函数、数列等）的不等式证明题时，要紧紧把握住函数或者数列的性质，再联系不等式37的性质，充分运用综合法、分析法和放缩法等不等式证明方法去解题。当然，如（1）的第三小题这种形式（数列相关）的证明题，数学归纳法也不失
19、为一个很好的证明途径。（2）题是2010年四川的压轴题，考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。数学来源于生活，来源于社会实践，日常生活创造了数学，数学为日常生活服务。近些年高考试题出现了一大批“以实际问题为背景，以函数为模型，以重要不等式为解题工具”的应用题。（3）题就是从日常生活中提炼出来的数学题目，主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的综合应用。384总结解不等式题需要用到转化与化归、分类讨论的、数形结合的、函数与方程和数学建模等数学思想，以及比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、
20、求导法和利用函数的单调性等数学方法。在解决不等式题的过程中，学生可以培养和提高数学逻辑思维能力、推理论证能力、运算能力、建模能力、分析问题和解决问题的能力。因此，不等式试题不仅能够反映出学生对学科知识的掌握程度如何，还能衡量学生的思维能力。特别是一些不等式的综合应用题，能够很好地区分考生的数学思维水平，很好地发挥高考选拔评价功能。在不等式的学习中，我们需要抓住高考的风向标，理清高中不等式的要点，更好地掌握课程标准所要求的相关内容。特别是在高考复习中要注意本文章节22已经对近几年高考不等式考题的分布进行了分析，直接利用不等式的基本性质解不等式及不等式证明题是不等式试题中易得分点。此外，线性规划属
21、高考常考知识点，而且一般要求较低，也是多数考生的得分点，这类题必须把握住。当然，高考一般不会单一地考查不等式。不等式、函数、方程三者密不可分，可互相转化。以函数为背景的不等式题（如例题中2008北京，2；2009江苏，10；2010湖北，21；2010四川，22等题）往往立意新颖，抽象程度高。因此，强化函数与方程等数学思想在不等式中的应用训练十分必要。我们在复习不等式时，要注意强化含参数不等式的解法与证明的训练，同时加强以函数为载体的不等式综合题的练习。力求在高考中不仅能够拿下不等式基础题，还能突破那些要求和难度较高的不等式综合应用题。39参考文献1浙江省高考命题咨询委员会浙江省高考命题解析（
22、数学）M杭州浙江摄影出版社，2006512中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（实验）M北京人民教育出版社，20033G波利亚（涂泓，冯承天译）怎样解题M上海上海科技教育出版社，20074季素月初等数学研究教程M长春吉林科学技术出版社，20041151265王善臣5年高考3年模拟（高考理数）M北京首都师范大学出版社，科学教育出版社，20101261436黄爱民，肖颖妮高考复习中不等式题型分析及解法J中学数学月刊，2007，（4）9127曾安雄高考不等式的六大热点J数理化学习高中版，2006，（1）18228王朝璇，张志峰解读2010年高考题中的不等式证明题J中学数学研究，2010，（8）1
23、5179孔凡哲，芦淑坤不等式的思想、方法及其应用J中学生数理化，2006（2）4510杜平不等式思想在解题中的应用J中学数学教学参考，1995，（7）181911蒋明斌一个条件不等式的背景、简证与推广J中学数学研究，2006，（10）131612慕泽刚点击以课本习题为背景的不等式高考题J中学生数理化高二版，2007，（Z1）303313单文海新课程高考专题复习不等式J中学数学月刊，2004，4121714何拓程创意不断常考常新2007年高考不等式试题赏析J中学数学教学，2007，（4）525515赵爽高考不等式问题分类解析J数学爱好者高考版，2007，（9）222316THEOHIOSTATEUNIVERSITYGPOLYAAND“HOWTOSOLVEIT”DB/OL17HTTP/WWWPHYSICSOHIOSTATEEDU/NTG/263/HANDOUTS/261POLYA05PDF，2005322/2010121518KEITHPLEDGERJOHNSYLVESTEREDEXCELGCSEMATHEMATICSHIGHERCOURSEMHEINEMANN，200646446640
