1、1第一类曲线积分的计算1、定义定义 1 ：设 为平面上可求长度的曲线段， 为定义在 上的函数对曲线L)y,x(fL作分割 T，它把 分成 n 个可求长度的小曲线段 ， 的弧长)n,21ii记为 ，分割 T 的细度为 ，在 上任取一点( ,isi1smaii若存在极限).,21)(i J),(fliini0T且 的值与分割 T 及点 的取法无关， 则称此极限为 在 上的第一J),(i )y,x(fL型曲线积分，记作 （1）.ds)y,x(fL定义 2： 若 为空间可求长曲线段， 为定义在 上的函数，则可类似地定L义 在空间曲线 上的第一型曲线积分为 ，)z,yx(f Js),(flimiin10
2、T(此处 为 的弧长, , 为一常数),并且记作 isin1smaxTJL.dz,yx（2）2、物理意义 （1）设某物体的密度函数 f（P）是定义在 上的连续 函数当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题首先对 作分割,把 分成 n 个可求长度的小曲线段 （i=1，2，n)，并在每一个 上任取一点 P 由于 f（P）为 上的连续函数,故iii 当 的弧长都很小时，每一小段 的质量可近似地等于 f（P ） ,其中i iii为小曲线段 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式iin1i)P(f2当对 的分割越来越细密时,上
3、述和式的极限就应是该物体的质量。 （2）空间曲线 L 的重心坐标为, , (,)yzLxyzdlMx (,)zxLyzdlMy(,)xyLzdlM（3） 曲线 L 的绕 z 轴(x, y 轴)的转动惯量是 2()(,)zLJxyzdl3、几何意义1） 当被积函数为 1 时, 积分的值恰为曲线的长度。（2） 当 表示以 L 为准线，以平行于 z 轴的线为母线的.ds)yx(f0)y,x(fL曲柱面的面积。4、 性质第一型曲线积分具有下述一些重要性质:（1）若 存在， 为常数，则k,21idsy,xfLi k,21ic也存在，且,cik .dsy,xfdsy,xfLiiiL（2）若曲线段 由曲线
4、首尾相接而成，且k21, i(,i都存在，则 也存在，且 。)k,1 dsy,xfL dsy,xfdsy,xfk1iLLI（3）若 与 都存在，且在 上 则dsy,xfL ,g ,g,。（4）若 存在，则 也存在，且 。s,f .dsy,xfLdsy,xfdsy,xfL（5）若 存在， 的弧长为 s，则存在常数 c,使得dyxL c,这里 。,fsupc,fin35、 第一型曲线积分的计算定理 1 设有光滑曲线 ： 函数 为定义在 上的连续L,t,yxy,xfL函数，则 （3） .dtttfds,xf 2L定理 2 当曲线 由方程 给出，且 在 上有连续导函数b,ax,xb,a时， (5)1,
5、fsy,f 2ba定理 3 当曲线 由方程 给出，且 在 上有连续导函数Ld,cyyd,c时, (6)dc2.,fs,xf定理 4 设函数 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为)y,(0tytTzt则。0222, ,Tl tfxydsfxytzxtytztd定理 5 设函数 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为),(12(,)0xyz则可化为以 x 为参数的参数方程。然后化为定理 4 的形式。022,1Tl tfyzdsfxyzyxzdx定理 6 设函数 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的的方程为)(12(,)zgxy则在一定的条件下可化为以 z 为参数的参数方程，再化为定理 4 的形式。0
6、22, ,1Tl tfxyzdsfxyxzydz历年真题41、计算 ，其中 为球面 被平面 所截得的L2dsx22azyx0zyx圆周。【解析】由对称性知 L22dszydsx所以 .a32a)(31LL 2、求 ，其中 是球面 与平面ds)zxy( zyx的交线。0x【解析】Lds)zxy(Lds)zxy(212)()(21L2ds)zyx(L3asa3、已知曲线 ，则x0(:xd(2009，数一， 4 分)【解析】 613)4(18d41xds 22020L 4、已知曲线 ，则曲线积分xy:Ldsyx(1989，数一， 3 分)【解析】将积分曲线方程 即 代入被积函数，得21)0(1y LL2ds)yx(5、设 为椭圆 ，其周 长为 ，则342a L2ds)y4x32(5(1998，数一， 3 分)【解析】将积分曲线方程 即 代入被积函数，得13y4x212y4xads)3(LL2由于 关于 轴对称，函数 关于变量 为奇函数，所以x20xydsL所以 a1s)y4(
