第二章-预备知识.docx

1、第二章 预备知识本章给出本书所必需的预备知识。第一节介绍矩阵论的基本概念和基本知识；第二节讨论广义逆矩阵；第三节给出奇异矩阵束的概念；第四节讨论正则矩阵的基本结果。2.1 矩阵论基本概念和知识用 表示复数集合，用 表示实数集合。 上的 矩阵由 表示， 上的AAAmnmnA矩阵由 表示。除非特别说明，所有 矩阵都属于 。mnmn如果 ，我们用 表示 的共轭转置；对向量 ，通常的内* 1,()nxy积 。对向量 ，定义它的 Euclid 范数， 。对矩阵(,)*xynxA12|,，我们使用算子范数，mnA|sup|:|.x如果 是 的一个子空间， 表示 的维数。如果 ， 的值域MndimMmnA（

2、列空间）用 表示，而 的零空间 由 表示。我们知道，()RA:0x()Ni()i.NRn设 都是 的子空间，这些空间的和是子空间1, sn。11:ssiizxx MM如果 （ ） ，即子空间 是无关的，则它们的和称为直和，0ijij,记作 。我们知道，1s 11dim()dimdi,s s 而且，如果 ，则存在唯一的 使得1sxMiixM1.sxx一个投影是一个矩阵 使得 。易证， 。反之，如果nPA2P()nRNPA，存在唯一的投影 使得 和 ；我们把这个投影称为沿nNA()着 到 上的投影，并记作 。如果 是 的一个子空间， 的一个正交补是,MNnA。:(,)0,nxyM是一个子空间，并且

3、 。 简记为 。M ,MP我们经常要用到块矩阵的概念。特别地，若矩阵 是块对角的，即沿 的主对nAA角线有矩阵块 ，其余元素均为零，记 。1,sA 1diag(,)s矩阵 的特征值是多项式 的根。 的谱是 的所有特征值的net()0I集合，记作 ； 的谱半径为 。()sup|:()AA设 ，我们说 相似于 ，如果存在一个非奇异矩阵 使得 。,nABBT1AB每一个矩阵 都相似于一个 Jordon 标准型，即 1diag(,)lJ其中 0iii iJ 称为 Jordon 块。一个矩阵 是半正定的，如果 对所有 都成立，其中nA,0AxnxA表示向量 的内积。如果矩阵 是半正定的，则它有唯一的半正

4、定方根，记,ab,abR为 ，即 。1212()一个矩阵 ， 的指数，记作 ，是使得 （为了方便nAInd()A1()()vvNA起见设 ）的最小非负整数。由于0I0 2()()()nN显然， 存在，且 。若 是非奇异矩阵，则 。若 是次数IndvvnId0为 的幂零矩阵（ ） ，则 。指数也可以定义为使得10,vAId()Av成立的最小非负整数 。1()vR如下定理我们在下节中要用到。定理 1.1 如果 ，且 ，则 和 都是 的不变子空间，nAId()v()vN()vRA且 。()()nvvNA定理 1.1 的证明留给读者。定理 1.2 如果 ， ， 和nAId()vdim()vsdi()v

5、NAt则存在一个非奇异矩阵 使得()stnT* MERGEFORMAT (1.1)10CATN其中 是一个 非奇异矩阵， 是一个 次数为 的幂零矩阵。Cstv证明：设 是 的一组基， 是 的一组基，则1(,)sx ()vR1(,)ty ()vA为 的一组基。如果 ，则存在坐标 使得1(,stxy nAnxA,i。设ii11(,)stTxy 则，其中 ， 。uxv1s1tv注意到， 当且仅当 ，而 当且仅当 。如果 ，我们()vxRA0()vxNA0uyAx有，uuyTxTvv 1CDTvENv其中 是一个 矩阵， 是一个 矩阵。这样 ， 。若CsNtuu，则 。由于 ，故 。由于对所有 都有

6、，因()vxRA0()vyAxR00此 。类似可证 ，从而得到， 。ED1diag(,)TCN若 ， 。这意味着 对任意 成立，从而 。另一方面，()vxNxvvv由于 和 是一个 矩阵可得， 是非奇异矩阵。现在，由rankrank()vAsCs得， 。1()(vvRId2.2 广义逆矩阵本节介绍广义逆阵，即半逆阵、反形半逆阵、Moore-Penrose 逆阵和 Drazin 逆阵。首先，我们来讨论半逆矩阵。定义 2.1 对于矩阵 ，若存在矩阵 使得mnAnmXA* MERGEFORMAT (2.1)则称矩阵 为矩阵 的半逆矩阵。一般地，用 表示 的一个半逆矩阵。XAA一般说来，一个矩阵的不一

7、定是唯一的，但如下结果成立。定理 2.1 若 为矩阵 的一个半逆矩阵，则* MERGEFORMAT (2.2)()(),XIUVI均为矩阵 的一个半逆矩阵，其中 ， 为适当阶数的任意矩阵，且矩阵 的任何一个A半逆矩阵都可表示成(2.2)的形式。证明：我们先证明(2.2)满足(2.1)，即 ()().AIAIAUV反过来，我们证明，如果矩阵 满足(2.1)，则其可以表示成 (2.2)的形式。事实上，只X要取 即可。这时,UXVA()()()IVIAIXXA 定理 2.1 证毕。定理 2.2 如果 ，其中 ， 为非奇异矩阵，而 取遍矩阵 的所有半逆1APQ阵，则 取遍矩阵 的所有半逆阵。1X1证明

8、：如果 为矩阵 的半逆阵，设 ，则1AP111Q因而 为 的半逆阵。1A反之，如果 为 的半逆阵，则它有形式， ，其中 是1A1AP1AQP的半逆阵。事实上， 111QPA定理 2.2 证毕。定理 2.3 分块矩阵 的半逆阵为 ，其中ABSR()()IAB证明：直接验证得 ()()()ARSRSBABSAIBAB 定理 2.3 证毕。同理可证如下定理。定理 2.4 分块矩阵 的半逆阵为 ，其中ARS()(),.SBAI定理 2.3 和定理 2.4 分别给出求半逆阵的方法。例如，设 ， 是由 的前mnAiA行构成的矩阵， 是 的第 行。由定理 2.3，我们可以得到求矩阵 的半逆阵的递推ikaA公

9、式： 11(,)iiiRS其中 11()(),2.iiiiiSIAaAm下面讨论反形半逆阵。定义 2.2 设 ，若存在 阶矩阵 使得mnAX* MERGEFORMAT (2.3),A则称 为矩阵 的反形半矩阵。一般地，用 表示矩阵 的一个反形逆。反形半逆阵是XA特殊的半逆阵。定理 2.5 如下关系式成立，()()()(),AAUIIAUIAUIA其中 为适当阶数的单位矩阵， 为适当阶数的任意矩阵。I定理 2.6 当 取遍 的所有半逆阵时，矩阵 取遍矩阵 的所有反形逆阵。XYX定理 2.5 和定理 2.6 的证明由定义直接验证即得。定义 2.3 设 ，若存在 阶矩阵 使得mnAA001,23()

10、*,4A则称 为矩阵 的准逆阵（Moore-Penrose 逆阵，简称 逆阵） 。A MP显然， 逆矩阵是一种特殊的反形半逆阵。特别地，当 时，MP rankmA111(*)(*).A这表明 的 逆阵确是逆阵的一种推广。下面证明定义 2.3 的矩阵 存在而且唯一。A定理 2.7 设 ，存在唯一满足定义 2.3 的（Moore-Penrose）条件 10-40 的mn阶矩阵 。 nm证明：设 ，则由矩阵分解理论知道， 可以分解为 ，其中 和n A*QRP分别为 和 阶酉矩阵P，10mnR这里 为 阶非奇异上三角阵。记1Rr10nmRA则 满足 Moore-Penrose 条件 10-40。*AP

11、RQ下面证明唯一性。设 和 是矩阵 的任意两个 Moore-Penrose 逆，都满足 Moore-1X2Penrose 条件 10-40，则11212221222 ()*()*()()XAXAXXMoore-Penrose 逆 有许多与通常逆（正则逆）相仿的性质。A定理 2.8 设 ，则mn(1) ；()(2) 1/,0,;A其 中(3) (*);A(4) ()(*)();(5) ;A(6) *A(7) rank,rank;mIAI时 ,时 ,(8) ，这里 和 为酉矩阵。()*UVUV利用 的定义可以方便地验证上述性质，留给读者作为习题。A现在，我们讨论 Drazin 逆阵。定义 2.4

12、设 ，若矩阵 使得ndA001,23()0,Ind(),DkIkA则称 为矩阵 的 Drazin 逆阵（简称 逆阵） 。DA定理 2.9 设 ，Drazin 逆阵存在，且唯一。进一步， 若nA* MERGEFORMAT (2.4)10CTN其中 是一个 非奇异矩阵， 是一个 次数为 的幂零矩阵，则CstInd()vA。 * MERGEFORMAT (2.5)110DAT证明：设 ， 由定理 1.2，存在一个非奇异矩阵 使得(2.4)成立。定义 如nATDA(2.5)， 则 满足定义 2.4 中的条件 10-30，故 为矩阵 的 Drazin 逆阵。这就是说，任DADA意矩阵 都存在 Drazi

13、n 逆阵。n现在，我们证明 Drazin 逆阵的唯一性。设 和 是矩阵 的任意两个 Drazin 逆阵，12并设 ，则由定义 2.4 中的条件 10 和 30 得， ，且12DRR211()0.vvDvvARA由定义 2.4 中的条件 20 有 11111()()().DvDvvA类似可证 22.Dv这样，我们有 121212122()()DDDvvvAAARR定理 2.9 证毕。注 2.1 和 ，其中 。另外()()vDNA()vDAInd()A0.Dxxx由定理 2.9，可得下面结论。定理 2.10 如果 ，且 是 的一个 重特征值，则 是 的一个 重特征值。nAAt0At若 是 的一个

14、重特征值，则 是 的一个 重特征值。0m1Dm定理 2.11 设 ，则 是 的次数小于或等于 多项式。nD1n证明：在(2.4)中， 是一个 非奇异矩阵， 是一个 次数为 的幂CsNtInd()vA零矩阵，且 。由 Cayley-Hamilton 定理 ，其中 是次数小于或等于stn1()tCp的多项式。直接计算得， ，由于 。定理 2.11 证毕。1s()tDApIndtvA2.3 矩阵束本节给出矩阵束的基本概念和相应的基本知识。定义 3.1 对阶数同为 的两个矩阵 和纯量 ，称 为以 为参数的矩mn,ABAB阵束，简称矩阵束。一般地，我们将矩阵分为正则矩阵束和奇异矩阵束两类。定义 3.2

15、如果矩阵 同为两个 阶方阵，且行列式 不恒为零，则称矩阵,AB|束 为正则矩阵束，称矩阵对 为正则矩阵对。AB(,)定义 3.3 对阶数同为 的两个矩阵 如果 ，或者 且行列式mn,ABmn恒为零，则称矩阵束 为奇异矩阵束。| AB定义 3.4 对阶数同为 的两个矩阵束 和 ，如果存在两个阶数分1别为 和 的非奇异矩阵 和 ，使得mnPQ1().AB则称矩阵束 与矩阵束 严格相抵的。AB1对阶数为 的奇异矩阵束 ，设其秩为 ，则或者 ，或者 。不nrrnrm妨设 ，则 列线性相关，且线性方程组r* MERGEFORMAT (3.1)()0ABx有非零解 。x由于(3.1)的系数是 的一次式，其

16、基本的线性无关解 常可以这样选取，使得它的分量都是 的多项式。我们只考虑这样一些解 ，它是 的多项式，且在这些解中，取()x最小次数 的解i* MERGEFORMAT (3.2)201()(1)ixx其中 。将其代入(3.1)，并比较 的系数得0ix* MERGEFORMAT (3.3)0121,0,.iiAxBx 则(3.3)关于 的系数矩阵012,()ix(2)(10000iminiABMRBA 的秩 。(1)irn由于 是最小的，故矩阵 01 (1)10,0000imini AMBARB 的秩 。011,2,irnrn这样， 是在式 中使 成立的最小指标。i()k定理 3.1 如果(3.1)有最小次数 的解，且有 ，则矩阵束 与矩阵束i0iAB* MERGEFORMAT (3.4)iLAB严格相抵，其中 (1)10000i iL 而 是这样的矩阵束，类似(3.1)的方程对于它没有次数小于 的解。AB该定理的证明可分三步进行：第一步，证明矩阵束 与AB