1、第 1 页 共 20 页线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算： (定义法) 121212121()12 nnnnjn jjjnnaaDa （降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 12 ,0.ijijinjAijaAa第 2 页 共 20 页 (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 1212*0nnbAb 若
2、都是方阵（不必同阶）,则AB与=()mnOABBA1 关于副对角线：(1)21 12 2 11 1 nn nnn naaaaOO 范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx 型公式：ab 1()nababb (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. (递推公式法) 对 阶行列式 找出 与 或 , 之间的一种关系称为递推公式，其中nnDn1nD2, , 等结构相同，再由递推公式求出 的方法称为递推公式法 .nD12(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. (数学归纳法) 2. 对于 阶行列
3、式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknEASkS3. 证明 的方法：0第 3 页 共 20 页、 ；A、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.mnn121212nmmnaaA 记作： 或ijmnAa 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算a.
4、 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 .AA()ijac. 矩阵与矩阵相乘：设 , ,则 ，()ijmsa()ijsnBb)ijmnCBc其中121212(,)jijiisijijisjjbcaaba 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式 不成立.0AB或 =0第 4 页 共 20 页a. 分块对角阵相乘： ,1122,AB12AB12nAb. 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量； 左 行112111212 22212120n nmmnmmnabbabaBa c. 用对角矩阵
5、乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列121 121122 212 120n mnmmnmmmnbbababaB d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 方阵的幂的性质： ， nA()nnA 矩阵的转置：把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .ATAa. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 .T是反对称矩阵 .Ab. 分块矩阵的转置矩阵：TTBCD 伴随矩阵： ， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnAA ij, , .*E*A1分块对角阵的伴随矩阵： *B*(1)(1)mnmnAABB第 5 页 共
6、20 页2. 逆矩阵的求法 方阵 可逆 .A0伴随矩阵法 ： 1注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 初等变换法 1()()AEA 初 等 行 变 换 分块矩阵的逆矩阵： 11B11ABB1CCOB 11OOC , 1231213aaa 3211123 aaa 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义 ）ABEAB3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖0线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是 时，0称为 行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）
7、变换初等变换 初等矩阵 初等矩阵的逆 初等矩阵的行列式矩阵转置的性质： ()TA()TABTA11()TA()TTA矩阵可逆的性质： 1()11()11()kk伴随矩阵的性质： 2()nA()AB1nA1()A()kk () ()110 nrrAn若若若 k（无条件恒成立）E第 6 页 共 20 页( )ijrijc(,)Eij 1(,)(,)Eijij(,)Eij1( )iki ik 1kk( )ijrijck(,)ij ,(),()ijij,()ij矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A 对 施行一次初等 变换得到的矩阵
8、,等于用相应的初等矩阵 乘 .列 右注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩 关于 矩阵秩的描述：A、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式 (存在的话) 全部为 0；()rr1r、 ， 的 阶子式全部为 0；、 ， 中存在 阶子式不为 0；()矩阵的秩的性质： ; ; ()AOr1()0AOr()mnrAi(,) ()T rkk 其 中 0 (),() 0mns rABnABr x 若 若 0的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()ri, 若 、 可逆，则 ； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. PQ()()()rAPrQPA 若 ；()
9、()mnxBr BOAC 只 有 零 解 在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律若 ()()nsrArB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消 去 律 . 等价标准型.()r rEOEAO若 与 唯 一 的 等 价 ， 称 为 矩 阵 的第 7 页 共 20 页 , ()rAB()rmax(),rAB(,)r()ArB , OCO求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法( )：设法化成 0AAXBXAB(I) 或 (I)BE 初 等 行 变 换(I)的 解 法 ： 构 造 ()()EX 初 等 列 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTAB(I)的 解 法 ： 将 等 式 两 边
10、转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组 ，若存在一组数 使得 ，12,n 12,nk 12nkk则称 是 的线性组合，或称称 可由 的线性表示.12n ,线性表示的判别定理: 可由 的线性表示12,n由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：mn、 有解121212mnmaxaxb 第 8
11、 页 共 20 页、12112212 nmmnmaaxbAx、 （全部按列分块，其中 ）；1212nxa 12nb、 （线性表出）12nxax、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn2. 设 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsAB12,nB12,s则 msC12212 1212, ,sn snnsbbc ，iAc(,)is为 的解iix121212,s ssAc可由 线性表示.sc n即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.CB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵.BA即： 12112212nnmnmaac 12122122nmmnaac 3
12、. 线 性相关性第 9 页 共 20 页判别方法：法 1法 2法 3推论 第 10 页 共 20 页 线性相关性判别法（归纳） 线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,ni(1)n 若 线性无关，而 线性相12,n 12,n关,则 可由 线性表示,且表示法唯一12,n4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量12,n
