1、 点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相似对角化知识点讲解和习题】 ，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块九 相似与相似对角化经典习题一相似矩阵1、下列矩阵中， A和 B相似的是（ ）（A）20120,1（B）12013,205AB（C ）30,0B（D）02,302、设 ,A均为 n阶矩阵， A可逆
2、且 ，则下列命题中 22 11正确的有（ ）个. （A） 1 （B） （C） 3 （D） 4二相似对角化的条件3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料（A）10235（B）1032（C ）03（D ）014、已知三阶矩阵 A的特征值为 ,1，则下列结论中不正确的是（ ）（A）矩阵 是不可逆的（B）矩阵 的主对角元素之和为 0（C ） 1和 所对应的特征向量正交（D） 0x的基础解系由一个向量构成5、设 ABn为、 阶方阵，且对 ,|EAB有 ，则（ ）（A） |E （B） 与 相似（C ） 与 合同 （D） 、 同时可相
3、似对角化或不可相似对角化6、设 为 n阶方阵，满足 2A，证明：（1） rAErn；（2）矩阵 A可以相似对角化.7、设 A为三阶方阵， 123,为三维线性无关列向量组，且有 123，2313,.（1） 求 的全部特征值；（2 ） A是否可对角化？8、已知三阶矩阵 的特征值为 0,12，设 32,()BArB则 （ ）（A）1 （B）2 （C ）3 （D）不能确定三相似对角化中 P与 的计算9、已知 1106,P是矩阵 A属于特征值 2的特征向量， 23,是矩阵点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料A属于特征值 6的特征向量，那么矩阵 P不能是（ ）（A）
4、123, （B） 12323,（C ） （D ）10、已知 (,)ii，其中 123(,)(,1),(2,1)TTT，求A_.11、已知矩阵201x与201By相似:（1 ）求 x与 y；（2 ）求一个满足 1PA的可逆矩阵 P12、设矩阵314Ak.问当 k为何值时,存在可逆矩阵 ,使得 1AP为对角矩阵?并求出 P和相应的对角矩阵.13、设矩阵 35xy,已知 A有三个线性无关的特征向量, 2是 A的二重特征值.试求可逆矩阵 P,使得 1为对角矩阵.14、设矩阵 A与 B相似,其中 2010,231xBy.（1）求 x和 y的值; （2）求可逆矩阵 P,使 1AB.四 nA的计算15、已知
5、 、 B为三阶矩阵，满足 0AB，10a，齐次方程组点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料0AX有非零解 1， （1）求 a的值；（2 ）求可逆矩阵 P，使 1A为对角矩阵；（3 ）求秩 (E)R；（4 ）计算行列式 AE；（5）求10(E)五对实对称矩阵性质的考查16、设 An为 阶实对称矩阵，则( )（A） 的 个特征向量两两正交（B） 的 个特征向量组成单位正交向量组（C ） k的 重特征值 00rEAnk有（D） A的 重特征值 有17、设二阶实对称矩阵 的一个特征值 1，属于 1的特征向量为 (1,)T，若|2，则 _.18、设三阶实对称矩阵 A的
6、特征值为 123,1,对应于 1的特征向量为10,求 A.六实对称矩阵的正交相似对角化19、设 是 n阶矩阵，且有 n个相互正交的特征向量，证明 A是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵 A 的特征值为 112,， 10T是 A 的属于1特征值的特征向量，记 3BE（1）验证 10T是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与其对应的特征向量；（2）求矩阵 B七综合点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料21、 3A为 阶实对称矩阵，且满足条件 20,()2Ar.（1）求 的全部特征值.（2 ）当 k为何值时，矩阵 kE为正定矩阵，其中 3E为 阶单位矩阵.点这
7、里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料参考答案一相似矩阵1、 【 答案】 （C）【解析】：（A）中， 1,2rAB，故 A和 B不相似.（B）中， 9,6tt，故 和 不相似.（D）中， 的特征值为 2,3， 的特征值为 1,3，故 和 不相似.由排除法可知：只有（C）中矩阵 A和 B可能相似.事实上，在（C）中， 和 的特征值均为 2,0，由于 A和 B均可相似对角化，也即A和 B均相似于20，故 和 相似.故选（C）2、 【 答案】 （D）【解析】：由于 AB:，可知：存在可逆矩阵 P，使得 1AB.故 112 11,TTPPAB ，可知 2:、 T、:.又
8、由于 A可逆，可知 1B，故 :.故正确的命题有 4个，选（D）二相似对角化的条件3、 【 答案】 （D）【解析】：（A）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.（B）中矩阵有三个互不相同的特征值： 1,2，可以相似对角化.（C）中矩阵特征值为 0,4，由于该矩阵秩为 ，可知其二重特征值 0有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料（D）矩阵特征值为 2,1，令该矩阵为 A，023E， 2rAE，可知其二重特征值 只有一个线性无关的特征向量，故不可以相似对角化.故选（D）.4、 【答案】：（C）【分析】 ：注意本题是找不正
9、确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A，B 正确，而 0x的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】： 根据 123|A， 1231230a，知（A ） ， （B）正确；而 10是单根，因此 (0)rErA，即 x的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D）也正确 .因此唯一可能不正确的选项是（ C）.事实上，由于没有限定 为实对称矩阵，故 不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C ）.【评注】： 特征值的重数与矩阵的秩的关系：由于矩阵的 k重特征值最多只能有 k个线性无关的特征向量，故假设 为矩阵 A的 k重特征值，则 nrAE，也即 rAEnk.有两种情况可以确定 ：
10、一是当矩阵可相似对角化时，必有 rEn；二是当 为单特征值时，由于 1r，又由于矩阵 A不满秩，故1rAEn.本题在确定 0x的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：由于 0是单特征值，故 ()32r5、 【答案】：（A）【解析】： 由 |EAB知， A、 具有相同特征值 12,n ，而 ,的特征值为 12,n ，所以 | 故（A）是正确的.对于（B） ， （C） ， （D） ，可以通过举反例予以排除 .点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料例如 1001AB， ，则 AB、 的特征多项式相同，但 AB、 不相似，否则 1 1PPE，矛盾，故可以排除（B）
11、.同时，由于矩阵 不可相似对角化，故可排除（D）.最后，由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论，可知（C）不正确.故唯一正确的选项是（A）6、 【证明】：（1）由 2A可得 EAO，故有 rErAn.又由于 ()rErr.可知 n.（2 ）由于 2A，可知矩阵 A的特征值 必满足 2，也即 A的特征值只能为 1或0.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有 n个线性无关的特征向量，故考虑 和 0的特征向量.由于 1和 的特征向量分别为 0Ex和 A的解，它们的基础解系中分别含有nrAE和 nr个解向量.也即特征值 1有 nrE个线性无关的特征向量；特征值 0有 个线性无关的特征向量.而 rAn，可知
12、 有个线性无关的特征向量.故矩阵 A可以相似对角化.7、 【解析】： 由已知得， 123123()()，2121()()A，33，又因为 123,线性无关，所以 1230，210， 10.所以-1,2 是 A的特征值. 23123,是相应的特征向量.又由 23,线性无关，得 2131,也线性无关，所以-1 是矩阵A的二重特征值，即 A的全部特征值为-1,-1，2. 由 123,线性无关可证明 213123,线性无关，即矩阵 A有三个点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料线性无关的特征向量，所以矩阵 A可相似对角化.【评注】：对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质
13、讨论其特征值与特征向量问题8、 【答案】：（A）【解析】：因为矩阵 有三个不同的特征值，所以 A必能相似对角化，则有1012P.那么 1131312()BAPAP2(00011184，即 0B:.因此 ()0rB.故应选（A）三相似对角化中 P与 的计算9、 【答案】：（D）【解析】：若1121233,(,)aAP则有 P即 112312323(,)(,)a即 12312(,)(,)Aa可见 i是矩阵 属于特征值 i的特征向量 (1,2)i，又因矩阵 P可逆，因此，123,线性无关.若 是属于特征值 的特征向量，则 仍是属于特征值 的特征向量，故（A）正确.点这里，看更多数学资料中公考研，让考
14、研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 23, 仍是属于特征值 的特征向量.本题中， 23,是属于 6的线性无关的特征向量，故 2323,仍是 6的特征向量，并且 323,线性无关，故（B）正确.关于（C） ，因为 均是 的特征向量，所以 23与 谁在前谁在后均正确.即（C ）正确.由于 12,是不同特征值的特征向量，因此 1212,不再是矩阵 A的特征向量，故（D）错误.【评注】：相似对角化中，只要有 的对角元是矩阵 A的 n个特征值， P的列向量是与中特征值对应的 n个线性无关的特征向量，所得的 与 就能满足等式 110、 【答案】：72033523【解析】：由于 iiA知， 有 3 个不同的特征值 1,2,3.所以112,P:，其中 1232()1P.故 172033523AP.【评注】：当矩阵 可相似对角化时，由于在式 1AP中，对角矩阵 的对角元均为 A的特征值，可逆矩阵 P的列向量为 特征值对应的特征向量.因此，只要知道了矩阵所有的特征值、特征向量，就可以利用等式 1求出 ，这是考点相似对角化下的一个重要的命题思路.
