1、第八章 压杆稳定学习指导本章分 4 节内容，本章的学习目标是：（）学习掌握压杆稳定的工程概念、压杆临界力的欧拉公式、压杆稳定的工程计算及提高压杆稳定性的措施。（）了解工程中常见的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法，培养工作岗位有关受压构件设计的能力。本章重点难点为：稳定的工程概念、压杆稳定的工程计算；理解两类稳定问题的实质。在某些特殊情况下（特别是杆件受压时） ，尽管杆件满足强度及刚度设计要求，但是，由于受力状态的改变，使得杆件仍然处于不安全状态，这种情形就是稳定的范畴。8.1 压杆稳定的概念物体保持静止或匀速直线状态称平衡状态。工程中的平衡状态主要指静止的平衡状态。杆件受到压力后，
2、保持静止的平衡状态可能是稳定的，也可能是不稳定的。平衡状态的稳定性定义为：杆件在荷载作用下处于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡状态称（初始平衡状态） ，受到微小外界扰动使其偏离初始平衡位置，若外界扰动除去后仍能回到初始平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，且偏离初始平衡位置越来越远，则称杆件的初始平衡状态是不稳定的平衡状态；若外界扰动除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，则称杆件的初始平衡状态是临界平衡状态，也称随遇平衡状态。压杆稳定问题就是指受压杆件处于静止的平衡状态的稳定性问题。图 8.1工程中实际的压杆，其轴线不可避免
3、的存在初弯曲，即压杆未受力时，已呈微弯状态，这时可简化为具有微小弯曲的压杆模型，如图 8.1(a)所示，称为初弯曲压杆。杆件所受轴向压力的作用线，实际上也不可能与杆件轴线绝对重合，即存在初偏心，这时可简化为具有小偏心矩的压杆模型，如图 8.1(b)所示，称为小偏心压杆。初弯曲压杆和为小偏心压杆在轴向压力作用下除产生压缩变形外，还要产生弯曲变形。实质上是偏心受压杆件。如果小偏心压杆的偏心距极小（近似等于零）或初弯曲压杆的微小弯曲极小（近似等于零） ，则F（ a） （ b） FF（ c）压杆简化为理想轴心受压模型，如图 8.1(c)所示。为了说明压杆处于平衡状态的稳定性，我们取轴心受压的细长杆来研
4、究。图 8.2图 8.2(a)为一等截面的轴向受压杆，此杆在 F 作用下保持直线状态。现对该压杆施加一横向力（干扰力） ，使杆处于弯曲状态。当 F 值较小时，横向力去掉后，压杆在直线平衡位置左右摆动，最终仍能恢复到原来的直线形状，如图 8.2（b）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡状态是稳定的（称为稳定平衡状态） ； 当 F 值较大时，横向力去掉后，压杆不仅不能恢复原有的直线形状，而是在微弯的基础上继续弯曲，发生显著的弯曲变形(甚至折断)，如图 8.2（c）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡状态是不稳定的（称为不稳定平衡状态)；当 F 值为某一数值时，横向力去掉后，杆既不能恢复原有的直线形状，
5、也不增加其弯曲的程度，而是维持在微弯状态，如图 8.2（d）所示，此时称杆的原有直线状态的平衡是随遇的（称为随遇平衡状态） 。随遇平衡是介于稳定平衡和不稳定平衡之间的一种临界状态。 随着荷载的逐渐增大，压杆原始平衡状态由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，这时杆件原始平衡状态丧失其稳定性，简称失稳。受压杆件处于直线状态的平衡是否稳定，决定于压力 F 的大小。当 F 小于某一值时，直线状态的平衡是稳定的，当 F 大于该值时，直线状态的平衡是不稳的，其界限值称为临界力。临界力是判别压杆是否失稳的界限。建筑结构中的受压杆件绝不允许处于不稳定的平衡状态，所以压杆件承受的压力必须小于临界力（一般用 表
6、示） 。 cr稳定的概念不同于强度的概念。强度问题是，对轴向受压杆来说，只要横截面上的正应力不超过材料的许用应力即可。稳定问题是，对轴向受压杆来说，杆件承受的压力超过临界力 Fcr，杆件一但受到微小干扰，表现为弯曲变形不断加大，是一种动态。轴向受压杆特别是较细长的受压杆远不能承受按强度计算的荷载（ ） 。即临界力 远小AFcrF于 F。 压杆失稳现象常是突然发生的，所以，结构中受压杆件的失稳常造成严重的后果，甚至导致整个结构物的倒塌。钢结构工程上出现的较大的工程事故中，有相当一部分是受压构件失稳所致。8.2 细长压杆的临界力（ d） crF=F cr（ c）（ b） crFF（ a）干 扰 力
7、在建筑工程中，常用压杆临界力的计算都可以采用欧拉公式，不同力学模型的压杆，其临界力的计算公式需要局部调整。8.2.1 两端铰支细长压杆的临界力压杆失稳变形时，材料处于弹性阶段，这类问题称为弹性稳定问题。下面推导两端为铰支的细长杆的临界力计算公式。如图 8.3(a)。图 8.3细长的受压杆当 F 达到 时，既可保持直线形式的平衡，又可保持微弯状态的平衡。cr杆内任一截面上的弯矩为，如图 8.3(b)所示。（8-1yFxMcp)(） 弯曲后挠曲线近似微分方程式为：（8-2）EIxdy)(2将式(8-1) 代入式 (8-2)，得：（8-3 ）yIFdxcp2令： （8-2kEIcp4）则式(8-3)
8、 变为：（8-5 ）02ykdxyx（ a）Fcrl （ b） yxcrFM(x)y该式即为杆微弯后弹性曲线的微分方程式，其通解为：（8-6 ）kxCycossin21式中 、 为待定常数，与杆的边界条件有关。此杆的边界条件为：1C2； （8-0xylx0y7）将边界条件(8-7)代入式(8-6) 得： 2C于是式(8-6) 变为： （8-8）kxysin1将边界条件(8-7)代入式(8-8) 得： 0il因 (已知 ，如 再为零，杆则为直杆，与微弯之前提相矛盾 )，所以：01C02C1sinkl由此得： (n=0，1，2，3，n) nl所以：（8-9 ）2lnk带入式（8-4）： (n=0，
9、1，2，3，n) 2lEInFcr式中 n=0，则 ，此与讨论前提不符，这里 n 应取不为零的最小值，即取 n=1，所以：0cr（8-10 ）2lIFcr式(8-10) 即为两端铰支细长压杆的临界力计算公式，该式又称为欧拉公式。该式表明，临界力 与杆件抗弯刚度 EI 成正比，与杆长 l 的平方成反比。crF将 带入式（8-8）可得杆微弯时的弹性曲线的方程式： ，此式为lk lxCysin1一半波正弦曲线，见图 8.4(a)。当 n=2 时，由 可知，弹性曲线将为两个半波的正弦曲线，如图 8.4(b)所lxCy2sin1示；取 n=3 时，弹性曲线 将为三个半波的正弦曲线，如图 8.4(c)所示
10、。只有3在曲线拐点处施加支承的情况下只能出现图 8.4（a）示的形式。yx（ a）Fcrl/2n=1l/2fC1 n=2crF（ b） xyoooyx（ c）Fcrn=3 图 8.48.2.2 其它杆端约束下细长压杆的临界力细长压杆的两端为其它支承形式时，由于杆端的支承对杆的变形起到约束作用，不同的支承形式对杆件变形的约束作用也不同，因此，同一受压杆当两端的支承情况不同时，其临界力值也就必然不同。细长压杆的两端为其它支承形式时的临界力公式，推导过程与两端铰支细长压杆的临界力公式推导过程相似，这里不一一推导，结果见表 8.1。表 8.1从表中可看到，各临界力公式中，只是分母中 l 前边的系数不同
11、，所以临界力公式可以写成统一形式如下：(8-11)2)(lEIFcr式中， 称为计算长度， 称为长度系数。l由各支承情况下压杆的失稳时挠曲线形状可看到，计算长度都相当于一个半波正弦曲线的弦长。例如，一端嵌固一端自由的压杆，挠曲线为半个半波正弦曲线，其两倍相当于一个半波正弦曲线，故计算长度为 2l；一端嵌固另一端可上下移动但不能转动的情况，其挠曲线存在两个反弯点(反弯点处弯矩为零 )，反弯点位于距端点 1/4 处，中间 0.5l 部分即为一个半波正弦曲线，故计算长度为 0.5l；一端嵌固一端铰支的情况，其反弯点位于距铰支端 0.7l 处( 由计算所得)，0.7l 范围内的挠曲线弹相当于一个半波正
12、弦曲线，故计算长度为0.7l。8.2.3 压杆稳定的计算压杆临界力计算主要介绍的内容包括：临界应力、欧拉公式的适用范围及抛物线公式，这些内容对于压杆的稳定力学分析是非常重要的。1、临界应力临界力除以压杆的横截面面积，所得的应力称为临界应力，用 表示，即：cr（8-12）AlEIFcr2)(式中令： 2iI称截面的惯性半径。 i式（8-12）可写成： 2)(ilEcr式中令： il则有：（8-13）2Ecr式（10-13）是欧拉公式（8-11）的另一种表达形式。 称为长细比，又称为柔度。由式 (8-3)可知，长细比 与 、 、 有关。 决定于压杆的截面形状与尺寸， 取决于压杆的支lii 承情况。
13、从物理意义上看， 综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响。从式（10-13）可看到，当 E 值一定时， 与 成反比，说明对于由cr2一种材制成的压杆，临界应力 仅决定于长细比 ， 值越大 越小，压杆就越容易失crr稳。2、欧拉公式的适用范围此近似微分方程推导时在推导该公式时，应用了挠曲线的近似微分方程： EIxMdy)(2此近似微分方程推导时是以下式为基础的EIx)()(1而上式是建立在胡克定律 的基础上，因此，欧拉公式成立的条件应该是：当压杆所受的压力达到临界力 时，材料仍服从胡克定律。也就是临界应力 不能超过材crFcr料的比例极限。也就是： ， 将式子 带入
14、可得：cr pE2P令 上式为：PE(8-14)PE上式就是欧拉公式的适用范围的数学表达式。只有满足该式时，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力， 是判别欧拉公式能否应用的柔度，称为判别柔度。 大于p 的压杆称为大柔度杆，由此可知，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。p每种材料都有自己 E 值和 值，所以，不同材料制成的压杆 值也不同。例如，ppQ235 钢的 E 和 ，分别为 E=2.06105MPa， =200 MPa，其 则为：p p1026.5P可见，对于用 Q235 钢制成的压杆，只有在 =100 时，才能用欧拉公式。p8.3 压杆稳定的计算工程中压杆稳定的计算常见的方法有抛物线公
15、式法、折减系数法、安全因素法，本节选取折减系数这一方法为例介绍压杆稳定的计算。8.3.1 折减系数法工程中常用安全系数 来保证结构的安全，前面所采用的安全系数是基本安全系数WKK。现在考虑压杆稳定的安全系数处了因该考虑 K 外还必须考虑压杆可能存在的初弯矩、材质不均匀、荷载的初始偏心等因素的影响，常采用将压杆的临界应力的许用值表示为用材料的许用压应力（ ）乘以一个 来表示，即： 。)(cr称为折减因数。因为临界应力的许用值总小于材料的许用压应力，所以 总是小于 1 的。压杆的临界应力与构件的长细比有关，所以临界应力的许用值也与构件的长细比有关，另外临界应力的许用值是在压杆的临界应力的基础上除以
16、一个大于 1 的稳定安全因数Kw。构件长细比不同，稳定安全因数 Kw 不同。所以当 一定时， 决定于压杆的长细比 和 。 越大， 越小。工程中，为方便计算，根据不同材料，将 与 之间的关WK 系列成表，由 直接差得 值。见表 10.2。表 10.2 Q235 钢 16 锰钢 木材Q235 钢 16 锰钢 木材0 1.000 1.000 1.000 110 0.536 0.384 0.24810 0.995 0.993 0.971 120 0.466 0.325 0.20820 0.981 0.973 0.932 130 0.401 0.279 0.17830 0.958 0.940 0.883
17、 140 0.349 0.242 0.15340 0.927 0.895 0.822 150 0.306 0.213 0.13350 0.888 0.840 0.751 160 0.272 0.188 0.11760 0.842 0.776 0.668 170 0.243 0.168 0.10470 0.789 0.705 0.575 180 0.218 0.151 0.09380 0.731 0.627 0.470 190 0.197 0.136 0.08390 0.669 0.546 0.370 200 0.180 0.124 0.075（ a）AFBC4530h dd FA（ b）F30
18、45NABNACF8.3.2 压杆的稳定条件 （8-15 ）crNAF式中： 轴向压力；NF A 杆件的横截面面积； 其他符号同前面。上式通常写成： （8-16）N例 8-1 如图 8.5(a）所示结构由两根直径相同的圆杆组成，材料为 Q235 钢，已知 h=0.4m，直径 d=20mm，材料的许用应力 =170Mpa，荷载 F=15kN，试校核二杆的稳定。图 8.5解：先求二杆所受压力，取结点 A 平衡，平衡方程为：，0XF03cos45cosNCNBF， y ininAA解得二杆所受压力分别为：FFNAB896.0C732二杆的长度分别为： mlAB56.0C8二杆的长细比分别为：100 0.604 0.462 0.300
