1、本科毕业设计（20届）非标准场论中的守恒量及相关问题所在学院专业班级理论物理学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】量子场论的建立对粒子物理和凝聚态物理的研究起了巨大的作用，本文首先回顾量子场论的建立、对称性与守恒律的关系等。运用场论的基本原理详细研究含场量高阶导数项的场论，求出了N维时空中NOTHER定理的一般表达，并求得在几种无穷小变化下的守恒流表达式。作为应用，我们在文章后面部分主要研究了DRESSELHAUS系统和二维K三次方RASHBA自旋轨道耦合系统的守恒流，给出了正确的场论表达式。【关键词】高阶导数量子场论；推广的NOETHER定理；守恒流；二维RASHBA系统。ABS
2、TRACT【ABSTRACT】QUANTUMFIELDTHEORYHASPLAYEDAGREATROLEINTHESTUDYOFPARTICLEPHYSICSANDCONDENSEDMATTERPHYSICAFTERREVIEWINGSOMEFUNDAMENTALCONCEPTSABOUTQUANTUMFIELDTHEORYINCLUDINGSYMMETRYANDCONSERVEDFLOWS,WEDEVOTETOASYSTEMATICDESCRIPTIONOFNOETHERSTHEOREMINALAGRANGIANCONTAININGTHEHIGHERORDERDERIVATIVEOFFIEL
3、DSANDSOMEEXPLICITEXPRESSIONSFORCONVENTIONALCONSERVEDFLOWSAREOBTAINEDWEALSOAPPLYTHISGENERALFORMULATOSTUDYSOMECONDENSEDMATTERPHYSICSMODELSSUCHASDRESSELHAUSAND2DCUBICRASHBASYSTEMS【KEYWORDS】HIGHERDERIVATIVEFIELDTHEORY,GENERALIZEDNOETHERSTHEOREM,CONSERVEDCURRENT,2DCUBICRASHBASYSTEM。II目录摘要IABSTRACTI目录II1引
4、言111反粒子的预言112量子场论的建立1121二次量子化1122重整化2123粒子物理的成功313量子场论中的一些约定3131自然单位制3132符号约定与介绍42高阶导数场论与NOETHER定理521运动方程的推广522对称性与守恒律723推广的守恒量表达式724能量动量张量825角动量926内对称守恒103凝聚态物理中流表达式的应用1131通常守恒流的定义1132DRESSELHAUS系统1233二维立方RASHBA自旋轨道耦合系统1434P4模型164总结17参考文献18致谢错误未定义书签。附录A二维立方RASHBA系统的守恒流推导过程191引言11反粒子的预言1928年，英国理论物理学
5、家P狄拉克在建立一个描述自旋粒子的波函数方程中，希望波函数方程具有洛伦兹协变性和薛定谔方程形式同时避免出现像KLEINGORDAN方程那样概率密度可能为负值这种缺乏物理意义的情况。基于上述考虑，他建立了狄拉克方程1。在解狄拉克方程的过程中得到了两个解，一个描述两个自旋不同的正能态，另一个描述两个自旋不同的负能态。为了解释负能泰这种情形，狄拉克大胆地提出了“狄拉克之海”的概念，认为真空是由无限多的负能态填充起来的，同时又预言了反粒子的存在。1932年美国物理学家卡尔安德森在宇宙射线中发现的正电子证实了反粒子的存在。狄拉克是一个勇敢而又充满智慧的物理学家，反粒子的预言只是他和他的同代人以及后来者建
6、立起来的量子场论的一部分成果，量子场论为粒子物理和凝聚态物理的研究建立了理论框架并发挥着巨大的作用。同时量子场论的建立是一个不断完善，不断开拓未知领域的过程。12量子场论的建立量子场论是一种描绘亚原子世界（夸克，轻子，规范玻色子，HIGGS粒子等）的语言，并形成了一系列理论来规范亚原子世界23。量子场论不仅构建了对微观精细结构研究的框架，它对当代宇宙学中关于宇宙起源及演化问题的研究提供了重要的线索。因此，它被认为是粒子物理和宇宙学的物理基础。同时，非相对论量子场论已广泛应用于凝聚态物理，尤其是描述超导性的BCS理论。另外，在量子场论场论的建立过程中，科学家们还建立了一系列理论物理研究的有效工具
7、如路径积分、重整化群。121二次量子化最早人们研究量子场论的目的是建立一个描述亚原子世界的完备物理体系。由WHEISENBERG和ESCHRDINGER建立的量子力学在原子世界取得了巨大的成功，各种当时许多无法解释的物理现象可以通过量子力学精确地计算出来。量子化是最早于1900被MPLANK提出，基于此，AEINSTEIN于1905年提出了的电磁场的量子化光子。在20世纪中期，PDIRAC、WHEISENBERG、PJORDAN等人基于量子力学语言建立了电动力学的一系列数学公理化描述。最早人们的想法是把薛定谔方程的波函数想像成一个波场，并把它量子化。DIRAC把它用于光子的模型描述，而JORD
8、AN进一步提出了电子是电子场的“量子”并指出在费米场中量子化规则需要作改正14。最早的量子化规则是NBOHR在原子中电子的周期轨道运动得到的。到了2HEISENBERG和DIRAC的手中量子化条件就变成对易关系式。这里的算符P和Q是“观测值”。同时DIRAC、JORDAN、EWINGER和HEISENBERG等人的量子场论的文章中他们提出了“产生算符”和“湮灭算符”的概念，正如它的名字一样它具有“创造”或“破坏”一个单粒子场量子的作用。对玻色场而言，这些算符满足对易关系5，。对费米场而言满足反对易关系式，。这个过程构成了“二次量子化”，但这里的“产生”与“湮灭算符”不再是“观察量”。同时二次量
9、子化的过程没有出现普朗克常数，二次量子化跟量子力学中量子化过程并不像它们字面上那样相似。最早人们对到底哪个需要量子化充满疑惑。DIRAC在他1927年的论文中提到了电磁辐射，但他没有将光量子与光波和德布罗意波联系起来。他认为这两个东西的强度是从不同角度得出的。单色光波在单位体积内的光量子数等于单位体积内的能量，而单个光量子能量为。另一方面，一个振幅为A的德布罗意波可以解释为单位体积内A2个全频率的光量子。在这个问题上至少存在两个疑点。第一点，如果将薛定谔波函数看成一个“实”的场，那到底是哪个量子导致了看得到的粒子，或者说是不是应该将它当作一个“概率”场。在1926年BOHR曾指出光波在显示为光
10、量子的路径运动的过程中是能量和动量的承载体，但场它自己是没有能量和动量的。第二个疑点就是量子化的本质问题，它到底是场能量的量子化呢，还是场的量子化。量子场论最后形成了这样的一个框架这是关于任意自旋量的场的理论，并且将场变量看作算符从而与它相应的“动量”算符形成海森堡式的对易关系式。比如说，对无自旋场我们有关系式，其中，为拉格朗日密度。粒子的质量和自旋是参考庞加莱群而定义的出来的，而它的量子限定与希尔伯特空间基矢确定的量子态相类似。正如SWEINBERG所说的量子场论是量子力学和狭义相对论相互协调的结果。122重整化量子场论存在的一个著名问题就是发散问题45。量子场论在描述原子中的自发辐射和吸收
11、以及粒子的各种产生和湮灭过程中发挥着它巨大的作用。但是在量子电动力学中，人们只能精确求解没有相互作用的自由电子场和电磁场方程，对有相互作用的方程只能用微扰的方法得到近似解。在考虑电子与它自己的场作用时，这实质上是一个发射虚光子并重新接收虚光子的过程。但是在计算电子的自能（电子与自己的场的这种作用）也即电子的质量时，发现最低阶近似下的结果是一个无穷大。这种问题被发现普遍存在于量子场论的研究中，如电子与电子的作用或电子与正电子的作用。后来FDYSON发现只要重新定义一些参数（如在量子电动力学中的电子质量、电荷量）这样就能使得到的结果在各级微扰下是个有限值，这个过程也被称为重整化。3当重整化取得巨大
12、成功的时候，高能物理领域的专家企图借用量子电动力学的成功经验来解释弱作用和强作用。在费米关于弱相互作用的理论研究中，他发现在微扰论的最低阶情况下费米的理论很成功，但高阶近似的时候他发现随着级数的升高需要重整化的参数数目也会增多，这就出现了不可重整化的情况。HYUKAWA在将重整化应用于他的强相互作用时也接连碰壁，量子场论陷入低谷，直至60年代末的规范场使它看到新的曙光。另外，量子场论为理论物理提供了一个新的助手重整化群。重正化群方法的思想和工具对解决统计物理学中长久未能解决的临界现象问题起了关键性的作用。123粒子物理的成功二十世纪量子场论在粒子物理取得了巨大的成功2，其中描述基本粒子间的弱力
13、、强力和电磁力的标准模型理论是最典型的例子。电磁相互作用是U（1）对称群规范变换守恒的结果，将U（1）群扩展到得到弱相互作用，而夸克子间的强相互作用是SU（3）群规范变换守恒的结果。标准模型最重要的特征是自发对称性破缺。标准模型理论预言基本粒子间的作用过程存在着一些粒子，而这些粒子（如W、Z玻色子）是没有质量的，但事实上这些粒子是有质量的。为了使相互作用粒子间的规范场具有质量，人们引入了HIGGS场5。当HIGGS场作非均匀变换时会发生短程性破缺，因为这是自发的，所以称为自发对称性破缺。标准模型的量子化在路径积分的方式上非常顺利，并且THOOFT给出了标准模型的重整化过程。标准模型是以实验研究
14、结果为基础建立起来的描述基本粒子的理想理论，其中费曼基于“电子质子的深度非弹性散色”的研究建立起来的夸克部分子模型对标准模型的建立具有里程碑式的意义。但是这个模型对强子结构的描述有很大的冲突，也就是夸克禁闭与部分子无相互作用之间的冲突。直到DGROSS、HPOLITZER、FWILCZEK提出的“渐近自由”理论解决了这个矛盾，并导致了量子色动力学的诞生。另外量子场论发展了我们对真空概念的理解虚粒子反粒子对。这是真空极化的结果，它描述了背景电磁场产生虚粒子反粒子对改变产生原电磁场的电荷或电流的分布的一个过程。真空极化也叫光子自能，它是对光子线的二阶修正。这样就意味着真空能量不为零，存在零点能。除
15、了引力这个相互作用外，零点能可以被忽略；但在宇宙学中它跟宇宙常数有着同样重要的作用，零点能提供了宇宙常数的排斥力。13量子场论中的一些约定131自然单位制在量子场论中我们我们采用自然单位制，把真空光速C和普朗克常数定为1，而长度的量纲和时间的量纲相同，能量的量纲和质量的量纲相同5。并且有下式长度时间能量1质量14这样一个粒子的质量（M）既等于它的能量（MC2）也等于逆康普顿波长（MC/）。比如M电子91091028G0511MEV38621011CM1132符号约定与介绍四维闵可夫斯基时空的度规张量为其中角标对0，1，2，3或者T，X，Y，Z进行轮换。时空坐标用四维矢量表示为，而协变四维矢量表
16、示为。同样动量表示为，为了简洁我们定义，。如果两个算符之间没有标出角标一般代表内积，如量子场论中一般较多用到泡利矩阵在学习DIRAC场的过程中，为了能用旋量波函数构成在洛伦兹变换下有一定的变换特性的量以便构造必须是标量的拉格朗日函数，以及能描述自旋是半整数的费米子，人们引入狄拉克矩阵，定义如下同时我们一般把和矢量的标量积记为，如。52高阶导数场论与NOETHER定理21运动方程的推广在通常的场论中，人们假定拉格朗日密度仅是场量和它的一阶导数的函数16，这是基于相对论协变性和质能关系的考虑。由此，人们可以建立起一套完整的理论以及量子化的问题。在凝聚态物理中，有一些实验现象依赖于动量的高次幂，而对
17、协变性要求有所放松。为了研究这一类问题，我们需要研究含场量高此项的场论。为了研究方便我们假定系统的拉格朗日密度包含动量三次方以上的项，因此拉格朗日密度可表示为。首先，考虑N维时空区域下的一个作用量上式中的变量有。作一个在时空区域上的无穷小空间变动，同时相应的场变化为，这时的拉格朗日密度为。定义由此可得同理可得这个过程作用量S变化为由雅克比变换得6将（22）、（25）式代入（24）式，得下面定义因此有根据式（27）式可重新写为其中根据最小作用原理，场量的变分在初始和末了时刻为零，因此（28）式第二项中时间分量的积分为7零。空间部分的积分可以运用高斯定理变换成空间边界的面积分。对无界空间而言，该面
18、积分为零；若是有限空间，只要没有“流”流出该边界，则该面积分也为零。我们在此仅考虑着两种情况。因此，（26）可表示为有作用量变化为。可以推出必须满足，即有上式即为一般体系的运动方程。如果知道了体系的拉格朗日密度，只需代入上式就可得到具体的运动方程。22对称性与守恒律对称性是现代物理中一个核心概念，包括规范对称性和整体对称性。它是指一个体系在某个变量的变化下保持不变性。牛顿力学中的伽利略变换不变性和电磁场理论中的洛伦兹不变性就是最简单的对称性的例子。在数学上我们能用群论来描述对称性，如伽利略变换对应伽利略群、洛伦兹变换对应洛伦兹群。1921年，德国数学家EMMYNOETHER建立了NOETHER
19、定理17，从而将对称性和守恒定律联系起来。NOETHER定理指出系统物理如果具有某种对称性必将对应一个守恒量，它为各种守恒律（如能量守恒定律、角动量守恒定律）提供了理论依据，下一节我们将研究高阶导数场论中的对称性与守恒量的关系，导出推广的NOETHER定理。常见的对称性及其对应的守恒量有时间平移对称对应的能量守恒，空间平移对称对应的动量守恒，空间旋转对称对应的角动量守恒以及镜像对称对应的宇称守恒。对称是美丽的，它的存在使世界充满了美妙，正是这种对称性的存在使我们的世界形成了一系列不可或缺的规律。23推广的守恒量表达式在场论中，NOETHER定理是一个十分重要的定理，它建立了物理体系的对称性与守
20、恒量之间的联系。具体而言，如果一个物理系统在对称性变化下具有不变性，这种变换将对应一种物理量的守恒。也就是说如果拉格朗日密度量在某个对称变换下保持不变性，那么相应地就存在着一种守恒量。在目前的情况下，NOETHER定理可以推广。我们将给出具体的推导，从而建立推广的NOETHER定理。假设物理体系在某种变换下，坐标的增量为、场量的增量为、拉格朗日密度的变化为一个全散度，则由已知的运动方程，式（26）就可以改写为8根据对称性，可知作用量是不变。即，由于区域选择的任意性可以得出此即高维的流守恒方程。事实上，场量的变分和坐标的增量是由体系的对称性给出，一般而言，他们对场量和坐标的依赖关系是清楚的，一旦
21、给出了具体形式，人们就可以从此式中消去不依赖于坐标的无穷小参数，从而获得有限的守恒流的表达式。在随后的几节里，我们将具体给出守恒流的表现形式。由此可以得到守恒量（积分作用于一个N1维区域V）运用N1维下的高斯定理得守恒量具体表达式为在公式（217）中值得注意的是，当并没有微分号作用于；当时，没有微分号作用于。自然界中存在着许多守恒的物理量，如能量、动量、电荷、同位旋其中能量守恒是由于场的时空平移不变性，而电荷守恒是由于电磁场的整体规范守恒性导致的。下面我们会个别地求出一些守恒量的表达式。24能量动量张量已知拉格朗日密度量在时空平移具有不变性。作无穷小变换，相应的。同时在时空平移变换下（即得）。
22、由此得出9上式中称为能量动量张量。有时候我们要求能量动量张量是关于角标对称化的，主要是考虑到相对论中爱因斯坦场方程以及后边对角动量的考虑。另外在电磁场的情况下，如求PROCA场的能量动量张量时为保持对称性一般会添加BELINFANTE修正项8。25角动量如果拉格朗日密度量是洛伦兹标量，作洛伦兹转动，相应的拉格朗日密度量有。根据可以得出拉格朗日密度的洛伦兹转动不变性。对于无穷小洛伦兹转动，有。将在0处展开，有这里与转动角度有关，它是反对称的，共有6个独立变量。其中时代表空间旋转，而时代表洛伦兹移动（RAPIDITY），如速度矢量在坐标轴上的转移。是洛伦兹转动的无穷小生成元，它是反对称的。无穷小生
23、成元满足如下关系9在无穷小洛伦兹转动下，。同时，由于是反对称的，即。有10所以将式（23）改写为将（24）式代入（21）式得无穷小洛伦兹转动下的守恒量为其中式221中，代表角动量，代表体现系统内部属性的自旋部分。通常在实标量场下，；在矢量场，；在旋量场，指代着自旋的场610。值得注意的是，这里的与上文定义的狄拉克矩阵不尽相同，狄拉克矩阵是四维时空情形下的结果，而这里是N维的结果。守恒角动量的表达式可以写为为26内对称守恒如果对场量作如下变换则。如果拉格朗日在变换下不变，得到相应的守恒量为当即代表U（1）规范不变3时，得到“荷”守恒，对于实标量场就代表核电荷守恒。11若，其中为SU2群生成元，且
24、满足。相应的守恒量为3凝聚态物理中流表达式的应用自旋电子学是凝聚态物理中新兴的一门研究领域，目标在于用电子的自旋代替传统的电荷作为信息的载体，实现新一代更高性能的电子元件和信息技术。在传统电子学中，电流是最基本的概念之一，描述了电荷的输运过程。相应的，自旋流在自旋电子学中是描述自旋输运的至关重要的概念。但是自旋流的定义并不能满足所有实验的需求，采用场论的形式求出的守恒流或许能满足自旋流的定义，并且适用于一些包含自旋耦合项的系统。另外守恒流的表达式对于量子自旋霍尔效益中输运问题的研究具有很大的指导作用。当前，自旋电子学已成为凝聚态物理中一个热门领域11，其中半导体自旋电子学是一个重要研究分支。半
25、导体自旋电子学主要利用系统中固有的自旋轨道耦合效应通过纯电学方法来产生并保持自旋的相干输运。根据自旋霍尔效应知道，对具有自旋轨道耦合作用的样品施加纵向电场，会产生横向自旋流，即自旋向上和向下的电子分别沿横向相反的方向流动，从而在横向边界产生自旋积累。但是通常定义的自旋流不能满足连续性方程，其与实验中观测到的自旋积累无法直接对应起来，所以必须重新定义自旋流。本文中从NOETHER定理出发得到的流表达式对自旋流的定义或许能提供帮助。接下来首先回顾一下通常定义的流的推导过程。31通常守恒流的定义首先考虑一个哈密顿体系的本征态，它满足薛定谔方程显然由上式的复共轭可得将式31左边乘以以及式32右边乘以并
26、将两式相加，得12利用公式，将式33改写上式中就是我们通常情况下定义的流密度11。对于大多数系统来说的定义是成立的，但是对一些势能部分包含动量项尤其是动量二次方以上的体系，表达式是不准确的。如设A体系的哈密顿量为，其中包含动量的二次方以上的项。为了满足连续性方程（定义），有由此我们分析每一个特定系统时必须将部分改写为的形式。守恒流的具体表达式应该写为32DRESSELHAUS系统已知DRESSELHAUS系统的DRESSELHAUS系统的拉格朗日密度量可表示为考虑到DRESSELHAUS系统动量最高次幂为3，我们利用式212N3的情形13我们得到运动方程为同样利用推广的NOETHER流表达式2
27、17在N3时的情形另外作U1规范变换，得到DRESSELHAUS系统的守恒流表达式为其中是LEVICIVITA符号，是泡利算符。另一方面我们也可以采用通常的守恒流表达式36来推导出守恒流。已知DRESSELHAUS系统11的哈密顿表示为，这里根据薛定谔方程我们可以确定DRESSELHAUS系统的拉格朗日密度量是正确的。利用关系式可以得到下式14所以得出守恒流表达式为比较式311和317我们会发现这两个式子是相等的。33二维立方RASHBA自旋轨道耦合系统二维立方RASHBA自旋轨道耦合系统12属于电子自旋学的范畴，我们将重复上一小节的方法求出该系统的守恒流。假定二维立方RASHBA自旋轨道耦合
28、系统是处在一个Z方向的垂直磁场B中，则机械动量算符为，同时这里我们取矢势。磁场下RASHBA体系拉格朗日量可写为拉格朗日量的变量有，及相应的复共轭。同样利用38式，我们可以得到运动方程利用310并作U1规范变换，得到守恒流15接下来我们按照通常的哈密顿方法去求守恒流。已知垂直磁场下二维立方RASHBA体系的哈密顿量为。同样通过哈密顿确定的薛定谔方程与319式比较可以得出RASHBA体系的拉格朗日表述是准确的。定义，有关系式同时利用310可以得到如下结果16经检验我们发现式上述两种方法得到的结果是相等的。34P4模型接下来考虑模型11，已知模型的哈密顿为，我们可以选择一个对称性的拉格朗日量利用2
29、12式N4的情形，模型的守恒流可通过下式给出。同样作U1规范变换，即。经过严密运算得出守恒流为采用310式的方法同样可以得到如下结果同样我们发现两种方法的结果是相等的。174总结在本论文中，我们主要研究了含有高阶动量项的拉格朗日的守恒流，并仔细推导了能量动量张量、角动量、核电荷的表达式。在应用方面，通过凝聚态物理中一些比较复杂的系统如二维RASHBA系统的守恒流分析，我们发现按照经典量子关系定义求得的守恒流与本文场论下流表达式求得的流相同。文献1也曾采用推广的NOETHER定理求得守恒流，尽管这个表达式与哈密顿推导出的守恒流相差一个全微分，似乎可以看成等价的；经过分析发现文献1对场论的描述是有
30、错误的，它所给出的结果明显无法满足守恒流为实的要求。我们导出的守恒流满足这一要求，并且与文献1哈密顿的守恒流完全一致。对于半导体自旋电子学中一些含有自旋轨道耦合项的系统而言，采用从哈密顿出发求守恒流的过程相当复杂繁琐；但是如果从量子场论的角度出发利用本文推出的守恒流表达式去求守恒流计算过程将更简单化，并且计算准确性将会得到提高。本文只是非相对论量子场论应用于凝聚态物理的一个例子，相信更多量子场论的理论会运用到凝聚态物理。18参考文献1LEWISHRYDERQUANTUMFIELDTHEORY,SECONDEDITIONCAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS,19962CAOTYCON
31、CEPTUALDEVELOPMENTSOF20THCENTURYFIELDTHEORIESCAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS19973SWEINBERG,THEQUANTUMTHEORYOFFIELDSVOLIFOUNDATIONSCAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS,19954JEANPIERREFRANCOISE,GREGORYLNABER,TSOUSHEUNGTSUNENCYCLOPEDIAOFMATHEMATICALPHYSICSFIVEVOLUMESETACADEMICPRESS1EDITION20065MICHAELEPESKINANDDANIELVSCH
32、ROEDERANINTRODUCTIONTOQUANTUMFIELDTHEORYWESTVIEWPRESS19956WGREINERANDJREINHARDTFIELDQUANTIZATIONSPRINGERVERLAG,BERLIN,19967WGREINERRELATIVISTICQUANTUMMECHANICSWAVEEQUATIONSSPRINGERVERLAG,BERLIN20008MONTESINOSMANDFLORESESYMMETRICENERGYMOMENTUMTENSORINMAXWELL,YANGMILLS,ANDPROCATHEORIESOBTAINEDUSINGONL
33、YNOETHERSTHEOREMREVMEXFIS521200629369HKLEINERTMULTIVALUEDFIELDSINCONDENSEDMATTER,ELECTROMAGNETISM,ANDGRAVITATIONWORLDSCIENTIFIC,SINGAPORE200910MARKSREDNICKIQUANTUMFIELDTHEORYCAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS1STEDITION200711YILIANDRUIBAOTAOCURRENTINASPINORBITCOUPLINGSYSTEMPHYSREVB75200707531912YLI,TMAAANDRBTA
34、OEXTRACURRENTANDINTEGERQUANTUMHALLCONDUCTANCEINTHESPINORBITCOUPLINGSYSTEMETAL2008EPL832700219附录A二维立方RASHBA系统的守恒流推导过程由正文已知在磁场中RASHBA系统的哈密顿量为，首先我们介绍传统的求守恒流的推导过程。在垂直磁场B中我们有。如果定义，则可以得到关系式为了计算简便，我们取。在接下来的推导过程中我们将会反复用到由得到的关系式。根据式，很显然可以得到将（A1）式倒数第二部分的一部分展开，得将（A1）式最后一部分展开得到20如果定义则利用（A2）（A3）的结果可以得到而满足下式利用如下关系式首先将（A5）式右边前两项展开，将不含有磁场强度B的项化简得到然后把（A5）式其它部分都展开，得到含有B的一次项的部分化简为含有B的二次项部分化简为21因此流表达式为，其中接下来我们介绍从量子场论的角度来推导守恒流的表达式。已知二维RASHBA系统的拉格朗日为这里我们引入一种新的微分算法，从而使所求得的流表达式是一个对称的实的物理量。将上式应用到310并作U1规范变换，将会得到守恒流的准确表达，表达式见正文式（323）和（324）。1
