1、本科毕业设计（20届）关于环上矩阵的加权广义逆与加权T序所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月1摘要【摘要】本文讨论了环上矩阵加权的广义逆与T序的关系，结合环上解决具有某些条件的矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在的充要条件及其表达式，获得了环上矩阵的加权广义逆与T序关系的若干性质，给出一些容易判别的加权MOOREPENROSE逆存在的充要条件及表达式,并对部分结果进行推广也给出了其广义MOOREPENROSE逆的反序律成立的充要条件我们想得到一般矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在的充要条件,并给出其加权MOOREPENROSE逆的反序律成立的充要条件我们
2、讨论的加权MOOREPENROSE逆自然是MOOREPENROSE逆的推广,并且它与广义MOOREPENROSE逆有明显的关系最后研究了幂等非负偏序环上的矩阵，得到了一些结果。【关键词】加权广义逆，加权偏序；环上矩阵；MOREEPENROSE逆；T序ABSTRACT【ABSTRACT】INTHISPAPER,WEDISCUSSTHEGENERALIZEDINVERSEANDTHETORDERINGOFMATRICESOVERSEMIRINGSALSO,WEOBTAINSOMEPROPERTIESOFGENERALIZEDINVERSEANDTORDERINGCOMBINATIONOFRINGS
3、WITHCERTAINCONDITIONSTOSOLVETHEWEIGHTEDMOOREPENROSEMATRIXINVERSEOFSUFFICIENTANDNECESSARYCONDITIONSANDEXPRESSION,WEWANTTHEGENERALMATRIXOFTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFTHEEXISTENCEOFTHENECESSARYANDSUFFICIENTCONDITIONS,ANDGIVESTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFLAWSNECESSARYANDSUFFICIENTCONDITIONS,WERES
4、EARCHMATRICESOVERTHENOTNEGATIVEIDEMPOTENTPARTIALLYORDEREDSEMIRINGANDGETSOMERESULTS【KEYWORDS】SEMIRINGSPARTIALLYORDEREDSEMIRINGMATRICESMOOREPENROSEINVERSETORDERING2目录第一章绪论11环上矩阵的广义逆的背景112关于环上矩阵的加权广义逆与T序的研究目的2第二章预备知识21引言与预备知识322环上矩阵的加权广义逆与T序4第三章偏序环上矩阵的加权广义逆3偏序环上矩阵的加权广义逆10参考文献11致谢1231绪论11环上矩阵的广义逆的背景矩阵的广
5、义逆首先被EHMOORE所注意1955年,PENROSE改进并推广了BJERHAMMAR关于线性方程组的结果,并证明了给定矩阵的MOORE逆是满足下列四个方程（1）AXAA（2）XAXX（3）AXAX4XAXA（其中表示矩阵的共轭转置）的唯一的矩阵X,这一结果非常重要并富有成果,以致这个唯一的广义逆被通称为MOOREPENROSE逆从此广义逆的研究进入了一个新的时期其理论和应用得到了迅速发展,已经成为矩阵论一个重要的分支随着矩阵广义逆研究的不断深入,一般域、除环、主理想整环、NOETHER环、半单ARTIN环和带有对合反自同构的结合环上矩阵的广义逆的研究已有不同程度的进展自从文1定义了矩阵的广
6、义MOOREPENROSE逆以来,文2讨论了带有对合的范畴中具有满单分解的态射的广义MOOREPENROSE逆文3讨论了带有对合的有1的结合环上一类左（右）高矩阵的广义MOOREPENROSE逆存在的充要条件进一步,文4讨论了具有泛分解的态射的广义MOOREPENROSE逆由于泛分解概括了矩阵中的一些重要分解,如域上矩阵的极POLAR分解、奇异值分解、SCHUR分解5、左右PID环上矩阵的SMITH分解,单ARTIN环上矩阵的等价分解等因而,深入研究具有这类分解的矩阵的广义逆是很有意义的。广义逆为MOOREPENROSE逆有时也简称为MP逆。从此广义逆矩阵的研究进入了一个新的时期。其理论、应用
7、和计算方法的研究得到了迅速的发展，已成为矩阵论的一个重要分支。1958年，DRAZIN引入了DRAZIN逆，而群逆是由FRDELYI于1967年引进的。广义逆矩阵理论在数理统计、最优化理论、控制理论、系统识别和数字图像处理等许多领域都具有重要应用。随着矩阵广义逆研究的不断深入，一般域、除环、主理想整环、NOETHER环、半单ARTIN环和带有对合反自同构的结合环上矩阵的广义逆的研究在国内外已有不同程度的进展。如1983年KPSBHASKARARAO讨论了整环上矩阵的广义逆,1984年RPUYSTJENS研究了NOETHER环上矩阵的MP逆，分别得到了一些有用的结果；1988年曹重光在文献6中给
8、出了带有对合反自同构的一般环上任意矩阵均存在MOOREPENROSE广义逆的充要条件，它推广了文献7中相应的结果；1991年陈建龙在文献1中讨论了带有对合反自同构有单位元的结合环R上形如AGDH（其中D2DD，G为右高矩阵，H为左高矩阵）的矩阵的MOOREPENROSE逆，给出了这样的矩阵存在MOOREPENROSE逆的充要条件和MOOREPENROSE逆的表达式；1994年陈建龙继续文献8的工作，进一步讨论环上形如GDH（G为NR阶右高阵，H为RN阶左高阵，4D2D）的方阵的另外两个重要的广义逆群逆和DRAZIN逆，并给出了环上这一类方阵有群逆，1,5逆的充要条件及其它们的表达式，推广了体（
9、域）上关于群逆的CLINE定理。此外还首先得到了矩阵有DRAZIN逆的判别准则和它的表式；1996年杜先能；2002年刘淑丹，游宏在文献3工作的基础上，考虑了文献9中同类矩阵的广义MP逆存在的充要条件，并给出了逆存在时的表达式；2003年刘晓冀10,刘三阳,王志坚在文献9中通过纯环论的方法给出一般环上矩阵的MOOREPENROSE逆存在的充要条件，并给出了它的一个显式表达,从而推广了以往文献的相应结果；2007年岑建苗在文献4,11中讨论了带有对合反自同构有单位元的结合环R上矩阵的MOOREPENROSE逆,给出环R上矩阵的MOOREPENROSE逆存在的几个充要条件,得到了环R上矩阵A的MO
10、OREPENROSE逆存在的充要条件是A有分解AGDH,其中D2DD，GDGDID和DHDHID均可逆；刘晓冀在文献12中定义了一种新的加权广义逆正则环上矩阵的加权广义逆，利用矩阵的行空间和列空间,给出这种广义逆存在的充要条件和它的一个显式表达。特别地，给出了一般域、四元数体、除环上矩阵的MOOREPENROSE逆存在的新的充要条件，推广了以往文献的相应结果。12关于环上矩阵的加权广义逆与加权T序虽然自上个世纪50年代以来，国内外对广义逆矩阵的研究十分活跃，已有好多研究成果，但也有大量的问题有待于解决。在现有的成果中主要是对一般域、除环、主理想整环、NOETHER环、半单ARTIN环和带有对合
11、反自同构的结合环上的矩阵的广义逆的结果。但对于一般环上矩阵的广义逆的秩的结果相对较少，这是因为在环上很难引进矩阵秩的概念，处理方法比数域上的难。目前，关于这方面的研究还没有什么进展。因此，我们打算讨论环上矩阵的加权广义逆。这是一个理论意义深刻实际应用广泛的课题。52预备知识21引言与预备知识设AMNMR，TA为A的转置，若TAA，则称A为对称的，若2AA，则A是幂等的，若,XYXNYNAAXY非空，把集合中最小元记为K，称K为A的指数，若KXKXNAA非空，把集合中最小元记为D，D为A的周期2；设MM，NM，对MNAMR,若存在GMR满足（I）AGAAIIGAGGIIITAGAGIVTGAGA
12、则称G为A的MOREEPENROSE逆，简称MP逆，记作A若存在MNGMR满足上式等式中低I个则称为G为A的I逆，令AIMNGMR，G为A的I逆1,2,3,4,I记1212,KKAIIIAIAIAI为A的广义逆的集合，期中12,1,2,3,4KIII，用12,KIIIA表示12,KAIII中的元素3，MNMR中具有MP逆矩阵全体记为MNMR；设MNAMR，若对任意12,MNXXMR由12TTAAXAAX12TTXAAXAA可推出12AXAX12XAXA则称A为左右可消的，若A为即使左可消的，又是右可消的，则A为可消的3；设R是环，定义MNMR上的二元关系“T如下对于任意的,MNABMRTTTA
13、BAAAB，TTAABA；则称T为T序关系；注一般地在MNMR中，T不是偏序关系6矩阵T序关系是研究矩阵的广义逆重要工具3,4，许多数学工作者对矩阵的广义逆进行了深入研究，并取得了丰富的成果39，美国数学家KHKIM和FWROUSH3,把广义逆的概念引入到模糊矩阵中，中国学者岑建苗5给出了模糊矩阵广义逆与T序之间的关系，还有其他学者也研究了BOOLEAN代数6,7，FUZZY代数8以及坡9等代数结构上矩阵的广义逆问题，本文着重研究环上矩阵的加权广义逆与T序之间的关系的性质，最后讨论一类幂等的非负偏序环上的矩阵22环上矩阵加权广义逆与T序在本节中，R总是表示环我们将给出广义逆与T序关系的若干个性
14、质引理214设,MNABMR若A存在则下列条件等价1TAB；2AAAB，AABA；3AABABAA；引理224设,MNABMR则下列条件等价1TAB；2TTTABABAA；3AABA，AAAB；4AABABAA；定理21在MNMR中,T是偏序关系证明设,MNABCMR1TAA显然成立；2若TAB，TBA由引理213知ABAAAAB，BCBBBAA；3TAB，TBC，由引理213知ABAAAAB，BCBBBAA，则ABACBBAACBBCAA，7AAABAABBCABCAAC；综上可知T是偏序关系引理234设,MNABMR若TAB，则1BAAB，ABBA；2TTBAAB，TTBAAB；由上面三个
15、引理,得到MNMR上T序的性质定理22设,MNABMR若TAB，则1TTTAB，TAB；2,TTTBABBTTTABBB；3,TBABBTABBB；4TTAABB，TTAABB；5TAABB，TAABB；6TTBBAA；7BBBAAA；8TTTTBBBBBAAAAA；9TBBBBB且TAAAAAA；10TTTTABBAAAAA；证明1由T序的性质可知TTAAAB，TTAABA对期求转置TTAABA，TTAABA，即TTTTTTAABA，TTTTTTAAAB从而TTTAB；由引理22以及T序的定义可以直接得到TAB；2由引理23知TTTTTBABAABBATTABABTTAABTTABB8TTT
16、BABB，TTTTTBABABAABTTBBABTTTBBBA从而TTTBABB同理可得TTTABBB；3由引理23及1知TTBABAAAAATTAAATTAAABTTAABBTTABB，TTBABAAAAATTAAAATTBAAATTBBAATBBAATBBBA从而TBABB同理可得TABBB；4由引理23知TTTTTAAAAAAABTTTAABB，TTTTTAAAABAAATTBBAATTTTBBAA，从而TTTAABB同理可得TTTAABB；5由引理21及1知；TTTAAAAAAAATTAAABTAABBTAABB，TTTAAAAAAAATTABAATTBAAATTBBAATBBAA，从
17、而TAABB同理可得TAABB6由引理22知AAAABAABABTBAATA；7由引理21知AAABBBBAABBBAABAAAAA；8显然由TBBB,则TTAABATBBATBAATBAATA，TTAAABTABBTAABTAABTA；9由引理21及23知TTAAAAAAAAAABTTBAAABBBAABTBBBABBBBABBABBBAA；10由引理22知TTTTAABAABAABAAABAAA；9由引理224以及定理221可得到TTABAB；引理244设MNAMR则下列等价条件11,3A存在；2方程TXAAA有解；3A为左可消的且1TAA存在；引理254设MNAMR则下列等价条件1A存在
18、；21,3,A和1,4,A存在；3A为可消的且1TAA和1TAA存在；4方程TXAAA和TAAYA有解，期中令B,C分别为方程TXAAA和TAAYA的解，则有TTTTTTAACBCABCBA；由文献3的引理43得到；引理26设MNAMR，则有1TMNAAMR,TMNAAMR，TTAAAA，TTAAAA；2MNAAMR,MNAAMR,AAAA,AAAA证明1首先验证TAA的存在性TAATAAAATTAAAATTTAAAATTAAAAATTTAAAAAATTTAAAAAATTAAAAAA；则TAA为方程TTTXAAAA的解由引理24知1,3TTAAAA又因为TTTAAAA，所以1,4TTAAAA由
19、引理25知TAA存在TAATTTTTAAAAAATTTAAAAAA10TTAAAAAATAAAAAATAA；同理可证TTAAAA；2由AAAAAAAA知AA为方程AATXAAAA知TAAAAAAY的解，则1,31,4AAAAAA由引理25知TAA的存在性,TTAAAAAAAAAAAAAAAA同理可证AAAA；定理23设,MNABMR，则1TTTTAABBAABB；2TTTTAABBAABB；证明由定理225以及引理26知TTTTAABBBB；TTAAAATTTTTAAAABBBB；TTAAA；1TTTAAAAAAAAAAAAAATTTTTAAAABBBBTTTBBBBBBBBBBBBBB；2T
20、TTAAAAAAAAAAAAAATTTTTAAAABBBBTTTBBBBBBBBBBBBBB；定理24设MNAMR，若TAB,则对任意的234134AMNB，有TTTABN；证明由234AM知134AAM有MAMM且TA为TXMMM和TMYM11的解，因此TTTTMAMAAMA从而MMAMAMAM，MMMAMAMA即,MMAMMMMA由引理223知TA同理可证TBN又因为TAB故TTTABN；定理24说明了A是34A中最小元，也是34A中的最大元推理21设,MNABMR则下列条件等价1TAB；2TAM，期中134MB；3TB，期中234NA；证明1213可以有直接定理24得到2131取134B
21、B，234AA则TAB因此TAB；定理25设MNAMR若方程TXAAA和TAAYA有解，则1,1,3TTAAAA，1,1,4TTAAAA；证明因为11TTTTTTAAAAAXAAAAAAXAA，11TTTTTAAAAAAAA所以114TTAAAA；定理26设MNAMR则1AA和AA是幂等的；2TA为TA的加权MP逆；证明1因为AAAAAAAAAA所以AA和AA幂等的2有MP逆的定义很容易验证TA存在的，因为TTTTTAAAAAAATTTTTAAAAAAATTTTTTAAAAAAAA12TTTTTTAAAAAAAA所以TA为TA逆的加权MP逆；3偏序环上矩阵的加权广义逆文献9对坡上矩阵的广义逆进
22、行了深入研究在本节中,我们将研究一类特殊环上加权的矩阵引理31设MNAMR期中R为幂等的非负环，如果IJS，IJT，1IIS，1IIT则TTAAAA；证明设IJAA，TIJBAAAB，秩序证明对任意的IM，JN，IJIJAB；1111NNMMIJIKKUVUVRRJRVUKBATASA11111NNNNNMIKKUVUVRRJIKKUVUVRRJRVUJKIRVIUKATASAATASA11NMIKKJIJIRRJRKATASA11NMIKKJIJIRRJRKATASAIJJJIJIIIJIJIJIJATASAAAAIJA；故TAAAA；定理31设MNAMR其中R为幂等的非负环，TAA有指数和
23、周期D，则且TAAAA；证明设MNAMR，1KKDTTTTAAAAAAAA当时，对该式左乘以A和TA得211KKDTTTTAAAAAAAA这与TAA的指数为矛盾因此且11DTTTAAAAAA由A存在之A可消的从而DTAAAA由引理31知2DTTTAAAAAAAAAAA故TAAAA；13参考文献1KMANJUNATHAANDRBBAPAT,THEGENERALIZEDMOOREPENROSEINVERSELINEARALGEBRAANDITSAPPLICATION,145596919922刘晓冀态射的广义MOOREPENROSE逆J数学杂志,1831998,2672703刘淑丹,游宏环上矩阵的广
24、义MOOREPENROSE逆的存在性数学学报,22120064岑建苗,关于长方矩阵的加权群逆的存在性计算数学,1432007,37405CVETKOVICILIC正规矩阵的广义逆,塞尔维亚尼什大学20086曹重光环上矩阵的广义逆数学学报,3111998,1311327PEDROPATRICIOTHEMOOREPENROSEINVERSEOFAFACTORIZATIONLINEARALGEBRAANDITSAPPLICATIONS,37022723520038陈建龙关于环上矩阵的广义逆数学学报,3451991,6226309王淑凰,环上矩阵的广义MOOREPENROSE逆扬州教育学院学报,213
25、2003,7910刘桂香关于态射的广义MOOREPENROSE逆数学杂志,246200411岑建苗,关于环上矩阵广义MOOREPENROSE逆的存在性,数学学报,281200312刘晓冀,刘三阳,王志坚环上矩阵的MOOREPENROSE逆数学研究与评论，2342003,72873013陈军,陈建龙具有广义分解的态射的广义逆数学学报,445200114米德哈提阿热克哈,关于矩阵广义MOOREPENROSE逆,200315RBBAPAT,SKJAIN,SPATIWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFABOOLEANMATRIXELSEVIERSCIENCEINC,255267279199716LIPINGZANGACHARACTERIZATIONOFTHEDRAZININVERSELINEARALGEBRAANDITSAPPLICATION,3351831882001
