1、本科毕业设计（20届）关于循环矩阵及其推广的几个问题所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月II摘要【摘要】本文先介绍了循环矩阵的概念和实际应用，然后给出了A循环矩阵的概念，应用一些参考文献的引理和定理，得到了以A循环矩阵为系数的线性方程组BMX有解的判定条件和一种快速算法。当A循环矩阵非奇异时，这种快速算法可以求出方程组的唯一解。当A循环矩阵奇异时，这种算法给出了解的判定方法，如果存在可以求出该线性系统的通解。【关键词】A循环矩阵；线性方程组；快速算法；唯一解；通解IIIABSTRACT【ABSTRACT】INTHISPAPER,WEINTRODUCECONCEPT
2、OFCIRCULANTMATRIXANDITSPRATICALAPPLICATIONTHEN,WEDEFINEACIRCULANTMATRIX,USEDSOMELEMMAANDTHEOREMOFREFERENCES,ANDAFASTALGORITHMFORCONDITIONSOFSOLUTIONANDSOLUTIONOFAPERMUTATIONFACTORCIRCULANTMATRIXLINEREQUTIONSBMXAREPRESENTEDWHENACIRCULANTMATRIXISNONSINGULAR,WECOMPUTETHESOLITARYSOLUTIONOFLINEAREQUTIONS
3、WHENACIRCULANTMATRIXISSINGULAR,WECOMPUTETHESPECIALSOLUTIONANDGENERALOFACIRCULANTMATRIX【KEYWORDS】ACIRCULANTMATRIX；LINEAREQUTIONS；FASTALGORITHM；SOLITARYSOLUTION；THEGENERALSOLUTIONIV目录摘要IIABSTRACTIII目录IV绪论111循环矩阵的历史及研究意义12定义和引理321基本概念322引理43主要结果631非奇异循环矩阵632奇异循环矩阵74算法总结与举例1041算法总结1042算法举例105总结13致谢错误未定义
4、书签。1绪论11A循环矩阵的历史及研究意义首先，循环矩阵是TMUIR于1885年首先提出的，他对其进行了一些研究。然而，直到1950年至1955年，IJGOOD等才分别对循环矩阵的逆,行列式以及特征值进行了研究。近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向，在现代科技工程领域中被广泛的应用。例如在信号处理，图象处理，小波变换，优化设计，自回归滤波器设计等领域常常要用到这类特殊矩阵。另外，由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的许多领域。如最优化，矩阵分解，多目标决策，图论，傅氏变换等。由于循环矩阵类在应用
5、方面的广泛性及迅猛发展，自从1950年以后，对它的研究引起了人们的高度重视。它不仅受到代数学界人士的重视，而且受到了计算数学界，应用数学界等许多领域研究人员的重视。另外，关于它的理论研究方面也得到了飞速发展。通过文献1、2、3、4、5，我们学习了循环矩阵的性质,实用价值和几个性质的推广。在文献6、7中，介绍了循环矩阵求逆方法和广义循环矩阵。迄今为止，对于经典循环矩阵的所做的研究已有很多。同时，各种新的循环矩阵被相继提出。至今，已有几十种。如R循环矩阵，向后对称R循环矩阵，鳞状因子循环矩阵，置换因子循环矩阵等。求解线性方程组的问题经常出现在相当广泛的实际问题中，特别是一些高阶线性方程组的解，用克
6、莱姆法则，当N很大时，需要大的惊人的计算工作量。因此，对于实际求解一个高阶的线性方程组来来说，理论上是十分漂亮的克莱姆法则并不适用。于是，寻求适用于计算机的切实可行的方法就是应用数学的一个重要的研究方向。循环线性方程组的求解，在线性预测、误差控制码、自回归滤波器设计领域内起着重要作用。在新的循环矩阵被相继提出，以及相关研究的深入，我们也取得很多丰富的成果。在置换因子循环矩阵算法上有了成果。在文献8、9、10、11中，介绍了置换因子循环矩阵求逆和线性系统方程组的快速算法。在文献12中，介绍了求鳞状循环因子矩阵的逆阵及广义逆阵的快速算法。在文献13、14、15中，介绍了有关R循环矩阵和R分块循环矩
7、阵求逆和线性方程组的快速解法。A循环矩阵包括了许多循环矩阵的推广类。如果取121,NNAEEEE，其中121,NNEEEE是单位向量，1NAFXX，那么A循环矩阵就是循环矩阵如果取121,NNAEEEE，1NAFXX，那么A循环矩阵就是反循环矩阵如果取121,NNAREEEE，NAFXXR，那么A循环矩阵就是R循环矩阵如果A取置换矩阵P，1NPFXX，那么A循环矩阵就是置换因子循环矩阵另外FX循环2矩阵，对角因子循环矩阵等都是A循环矩阵在但在关于A循环矩阵的快速求解问题的研究上并未有人涉足过,我们认为A循环矩阵作为循环矩阵中一种特殊矩阵在一些领域内将会有重大的作用，在A循环矩阵这方面，国内也有
8、一些学者做出了出色的成果。我们认为如果能在前面学者的基础上，再结合自己的一些研究，在A循环矩阵系统快速求解的问题上是可以取得不错的成绩的。因此在了解循环矩阵的性质以及几种循环矩阵求逆和线性方程组快速求解的基础上，拟将循环线性系统的一些结果推广到A循环矩阵线性系统中，拟解决的主要问题1A循环矩阵线性方程组有解的判定2A循环矩阵线性系统求解的快速算法。如果这两个方面解决好，就解决了关于A循环矩阵的快速算法的一些基本性的问题了，我们相信这次研究成果加上其他一些学者的研究成果对于完善A循环矩阵的快速算法问题这研究领域是有帮助的。随着A循环矩阵快速算法的研究的不断深入，其丰富的研究成果对于循环矩阵的研究
9、将有极大帮助，对循环矩阵快速算法题也是有很大帮助的。32定义和引理21基本概念以下设NM为复数域上所有N阶方阵组成的集合定义1设数域NM上的NN阶方阵012211013212310NNNNNNAAAAAAAAAAAAAAAA其中NIMA，那么可以称NM为NN阶循环矩阵。定义2称一个N阶方阵M为A循环矩阵当且仅当,MMGA其中10NIMIIGXMX，称MGX为M的伴随多项式这里，A是一个N阶方阵，A可逆且A有N个各不相同的特征根I为N阶单位矩阵，规定0AI以下用NACM表示NM中的所有A循环矩阵组成的集合因此，M可以记为NNAACMAAACIRCM,110用AFX表示N阶方阵A的特征多项式如果取
10、121,NNAEEEE，其中121,NNEEEE是单位向量，1NAFXX，那么A循环矩阵就是循环矩阵如果取121,NNAEEEE，1NAFXX，那么A循环矩阵就是反循环矩阵如果取121,NNAREEEE，NAFXXR，那么A循环矩阵就是R循环矩阵如果A取置换矩阵P，1NPFXX，那么A循环矩阵就是置换因子循环矩阵另外FX循环矩阵，对角因子循环矩阵等都是A循环矩阵因此，A循环矩阵包括了许多循环矩阵的推广类定义3设,NNMNC有下列5个方程,MNMMI4,NMNNII,MNMNIII,NMNMIV,MNNMV则称满足方程I，II，III，IV的矩阵N为M的MOOREPENROSE逆，记为M称满足方
11、程I，II，V的矩阵N为M的群逆，记为1,2,5M或记为M称满足方程I，II的矩阵N为M的反射G逆，记为2,1M22引理引理18设,NMNACM，则NMNNMACM证设1010,NJJJNNIIIMANAGNAMAGM，那么KNKKJIJINJJJNIIIANMANAMMN2201010因为A的最小多项式为N次方，所以MN可以表示为10NIIIAUMN因此NACMMN则可以得到引理1的结果引理2MNMGAACM，其中10NIMIIGXMX，为M的伴随多项式，则M的特征值是10INJMJIJIGM，其中1JJN是N阶方阵A的特征多项式的N个不同的根A是一个N阶方阵，A可逆且A的特征多项式有N个各
12、不相同的根则存在N阶可逆矩阵V，使得1VAVD，这里D是对角矩阵5引理311设MNMGAACM其中10NIIIMXMXG那么存在N阶可逆矩阵V使,1DVVM,21NMMMGGGDIGGD引理4设MNMGAACM，则GX的根中有K个是AFX的根的充要条件是RANKMNK，其中MGX为M的伴随多项式证明由引理2，3知1MVMVD，这里12,MMMMNDDIAGGGG，12,N是AFX的N个不同的根所以MMVVD，由于矩阵V是非奇异的，故有MMMIRANKMRANKMVRANKVDRANKDG中不为零的个数如果MGX的根中有K个是AFX的根，即有K个0MIG，则有NK个0MIG，因此RANKMNK反
13、之，如果RANKMNK，则MD中有NK个0MIG，因此有K个0MIG，即MGX有K个根是AFX的根引理5设MNMGAACM，则M非奇异奇异的充要条件是,1,MAGXFX1，其中MGX为M的伴随多项式证明当,1MAGXFX时，有引理4可知，RANKMN所以M是非奇异的反之，如果M是非奇异的，则RANKMN，则MGX的根中有0个是AFX的根，即MGX的根都不是AFX，所以,1MAGXFX引理6813设多项式矩阵1001XFXGAM经过初等变化为0DXUXVXSXTX，则,XDXFXGAM，且满足XDXVXFXUXGAM63主要结果考虑A循环矩阵线性系统为BMX1其中TNTNNNABBBBXXXXA
14、CMMMMCIRCM,110110110若矩阵A非奇异，则有唯一解BMX1若矩阵M奇异且线性方程组BMX有解，则通解为ZPIXXN1231非奇异A循环矩阵定理1A循环矩阵线性系统BMX有唯一解的充分必要条件是M的伴随多项式XGM和特征多项式XFA互素，即,1MAGXFX。当矩阵NNAACMMMMCIRCM,110，则存在唯一的A循环矩阵,110NACCCCIRCC，使得BMX的唯一解是矩阵C的第一列。证因为非奇异矩阵NNAACMMMMCIRCM,110，有引理5得到（1）式有唯一解的充分必要条件是,1MAGXFX由TNBBBB,110构造A循环矩阵,110NABBBCRICB，于是得到可以得到
15、10110,110NJJINIIIXBXBABABABABBJN然后由引理6对多项式矩阵01001XFXBXGAM7经过一些列初等变化得到,011XCXTXSXCXVXU于是可以得到0,011XCXCXBXTXSXVXUXFXGXTXSXVXUAM，即,1XCXBXUXVXFXUXGAM在上述中，由引理3代入特征值I，令IX，则BBFMGIIAIM,0,，于是NIIMU2IICBU3因此由（2）式知IU是M的唯一逆从而由矩阵相乘的意义和A循环矩阵的特点知道A循环矩阵BMCCCCCIRCCINA1110,的第一列是,110BMCCCTN因为,1BBMM所以TNCCCBM,1101是1的解。又因为
16、A循环矩阵1M和B是唯一的，所以乘积BM1是唯一的，于是解是唯一的，即BMCCCXTN1110,32奇异A循环矩阵定理2设矩阵NNAACMMMMCIRCM,110奇异，TNBBBB,110，且BMX有解，则存在唯一的A循环矩阵,110NACCCCIRCC以及,110NAPPPCIRCP使得TNCCCX,1101是1的唯一特解，进而ZPIXXN12是1的通解。这里Z是指任意的N维向量。证明由奇异矩阵NNAACMMMMCIRCM,110，M的伴随多项式是10NIIIMXMXG，特征多项式为XFA由第二章节的引理5和6，对多项式矩阵进行一系列初等变化得到如下0XDXFXGAM，其中XD是XGM和XF
17、A不等以1的最大公因式设1,XFXGXFXDXFXGXDXGAMAAMM因为XFA无重根所以1,1,1,XFXDXFXGXFXDAAMA，所以由得81,XFXGXDXFXGAMAM同理由,1,1AMADXFXGXFX得到1,XFXGXDAM由TNBBBB,110构造A循环矩阵,110NABBBCIRCB，于是得到B的B的伴随多项式INJJXBXBI10。从而从引理6对多项式矩阵经过初等变化如下0100100111XPXCXTXSXPXCXVXUXFXGXDXBXDXDXGAMM于是得到1XVXFXUXDXGAM4XCXBXUXD5XPXGXUXDM6在4两边同乘以XGM，得到XGXVXGXFX
18、UXDXGMMAM7在5到7中，令IX，则0,IAIMIFMGBB于是得到IIICBUD8IIIPMUD9MMUMDII10在4两边同乘以IXXUXD并令,，得到IIIIIIUDUMDUD11那么由定义3和1011知道A循环矩阵IIUDL是A循环矩阵M的反射G逆。设A循环矩阵,110110NAINAIPPPCIRCLMPPCCCCIRCLBCC，然后对CLB，根据矩阵相乘的意义和A循环矩阵B的特点，那么得到A循环矩阵C的第一列是LBCCCTN,110，而且1式有解，所以BMLB，这就说明了LB是1的一个解。同时又9BMLMZMZBMPZMZBZPIMMLBZPILBMNN这就说明了ZPIXXN
19、12是1的通解，其中1LBX下面证明是LB是唯一的。由于LM,都是A循环矩阵，由定义3得LMML，假如还存在一个A循环矩阵1L,ST，,1111MLLMLMLLMMML从而111111LMLLPLELMLLPLELLMLL由此得到L是唯一的。由此得到PLMCLB,也唯一，显然LB也唯一的。所以由上面定理31与32可以得到，不论线性方程组有没有解都无需事先知道，都可以按照定理所说的方法直接求解。104算法总结与举例41算法总结应用定理31和32得到A循环矩阵线性系统BMX的一种快速算法，如下步骤（一）由A循环矩阵线性系统BMX得到多项式,XBXFXGAM（二）对多项式矩阵进行下面的初等变化001
20、XCXCXDXFXBXGAM（三）若XD1，即矩阵式非奇异的，那么A循环矩阵线性系统BMX有唯一的解。对于多项式XC来说，令IX，可以得到A循环矩阵,110NNAIACMCCCCIRCCC所以上述的唯一解就是矩阵C的第一列TNCCC,110。（四）若1XD，可以用XD去除XFA得到商式XFA，进行下面初等变化01000111XRXPXCXRXPXCXFXBXGXDXGXDXBXDXDXGAMMM（五）对于多项式XR，代入特征值I，则得到BMMRRI2,1，于是A循环矩阵R的第一列是N维向量B，则所给的A循环矩阵BMX有解否则无解所以，对于多项式,XGXCM，若X取特征值I，则有A循环矩阵,2,
21、12,1MMPPBMCCII所以A循环矩阵C的第一列是线性系统的唯一特解，将其设为1X，那么有ZPIXXN12是1的通解，其中Z是任意的N维列向量。42算法举例例1解线性方程组BMX，其中M为A循环矩阵，,AGMM其中，321XXXXGM1101010001001010000100TBA解由题意，可得到A循环矩阵M的伴随多项式为321XXXXGM，特征多项式为14XFA，所以是非奇异的。下面解出B的伴随多项式。0010000101001000,0100100000010010,320AAIA那么由定理1可以计算得到31XXB于是可以构造多项式矩阵011104332XXXXXXFXBXGAM然后
22、进行初等变化XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX245245624534242332343232214221221110111所以得到1412456XXXXXXC然后由A得到IAAAAAAAA0452345,将A代入XC200202202020020241C因此得到TBMX21,0,0,211例2解线性方程组BMX，12其中MMGA22XXXGM010001100A，TB0,1,1解显然，M的伴随多项式为22XXXGM，特征多项式为13XFA，令1XB。对多项式矩阵0XFXBXGAM进行一系列初等变化，但由于22XXXGM与13XFA有最大公因式11XXD，所以
23、说明M奇异。12XXXDXFXFAA所以构造如下矩阵01000111XRXPXCXRXPXCXFXBXGXDXGXDXBXDXDXGAMMM473443229232313300012323123234523423234322234323XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX47391443291291234523423XXXXXRXXXXXPXXXC由于25403,1AAAAAA代入AR，可以得到33663336391ARR，那么由于矩阵R的第一列为T6,3,3不等于向量B，所以根据定理知道原方程BMX无解。135总结本文先介绍了循环矩阵的概念和实际应用，然后给出了A循环矩
24、阵的概念，应用一些参考文献的引理和定理，得到了以A循环矩阵为系数的线性方程组BMX有解的判定条件和一种快速算法。通过了解置换因子循环矩阵，R循环矩阵等线性方程组的快速算法的基础上平行的推广到A循环矩阵上。当A循环矩阵非奇异时，即1,XFXGAM，则存在唯一的A循环矩阵C，使得BMX的唯一解是矩阵C的第一列，这种快速算法可以求出方程组的唯一解。当A循环矩阵奇异时，即1,XFXGAM，这种算法给出了解的判定方法，如果存在可以求出该线性系统的通解为,12ZPIXX其中1X为特解，Z为任意的N维向量。这两个方面解决好，就解决了关于A循环矩阵的快速算法的一些基本性的问题了，我们相信这次研究成果加上其他一
25、些学者的研究成果对于完善A循环矩阵的快速算法问题这研究领域是有帮助的。随着A循环矩阵快速算法的研究的不断深入，其丰富的研究成果对于循环矩阵的研究将有极大帮助，对循环矩阵快速算法题也是有很大帮助的。宁波大学理学院本科毕业设计（论文）14参考文献1ONTHEPARITYOFPERMANENTSOFCIRCULANTMATRICESGIOVANNISBURLATI,20072THENONIDEALNESSINDEXOFCIRCULANTMATRICESGABRIELARARGIROFFOSILVIAMBIANCHI3何承源,循环矩阵的一些性质,数学的实践与认识,2001,3122112164李久平,
26、循环矩阵的实用判据JJOURNALOFEASTCHINAJIAOTONGUNVERSITY，1998，15367695赵立宽,岳晓鹏,杜学知关于循环矩阵的几个性质的推广,曲阜师范大学学报6高殿伟广义循环矩阵辽宁师范大学学报1998,27117李天增，王瑜循环矩阵的性质及求逆方法四川理工学院学报8崔艳,朱灵,孔翔置换因子循环线性系统求解的快速算法宁波大学学报，2008，129江兆林,徐宗本高淑萍求置换因子循环矩阵的极小多项式及逆的快速算法10张秋生置换因子循环矩阵求逆的快速付氏变换法J新乡教育学院学报，2004，17410210311江兆林,刘三阳张圣贵求置换因子循环矩阵的逆阵及广义逆阵的快速算法高等学校计算数学学报2003,25322723412江兆林，刘三阳求鳞状循环因子矩阵的逆阵及广义逆阵的快速算法工程教学学报2003,20341542013曾泳泓R循环线性系统求解的快速算法数值计算与计算机应用14何承源R循环分块矩阵求逆和线性方程组的快速算法，系统科学与数学15薛贵章，陆智慧R循环分块矩阵的几个性质黑龙江大学自然科学学报1993,10214
