1、【1】试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。【2】证明任何一种具有两个独立参量 的物质，其物态方程可由实验测得,Tp【3】 满足 的过程称为多方过程，其中常数 名为多方指数。试证明：npVC n【4】 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 如果是常数，该过程一定C是多方过程，【5】假设理想气体的 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中pV和 之 比的关系，T和【6】利用上题的结果证明：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率【7】试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。【8】 温度为 的 1kg 水与温度为 的恒温热源接触后，水温达到 。0C 10C 10C试分别【9】均匀
2、杆的温度一端为 另一端为 计算到均匀温度 后的熵增。1T2 12T【10】 物体的初温 ，高于热源的温度 ，有一热机在此物体与热源之间工1 T作，直到将【11】有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 。今令一制冷机i在这两个物体【12】 1mol 理想气体，在 的恒温下体积发生膨胀，其压强由 20 准静27C np态地降到 1 ，np【13】 在 下，压强在 0 至 1000 之间，测得水的体积为25C np36231(8.06.7.41)cmolV【14】使弹性体在准静态等温过程中长度由 压缩为 ，0L02【15】 在 和 1 下，空气的密度为 ,空气的定压比热容0np3.9kgm。今
3、有 的空气，-196JkgK,.4p327【18】设一物质的物态方程具有以下形式 试证明其内能与体积无关(),pfVT【19】 求证： ();HSap()0.USb【20】试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程【21】证明范氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数，与比体积无关.【22】试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率.【23】已知顺磁物质遵从居里定律： 若维物质的温度不变，().CMH居 里 定 律使磁场【24】 温度维持为 ，压强在 0 至 之间，测得水的实验数据如下：25C 1np【25】 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差
4、为【26】试将理想弹性体等温可逆地由 拉长至 时吸收的热量和内能变化.0L02【27】承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.【28】 实验测得顺磁介质的磁化率 . 如果忽略其体积变化，试求特性()T【29】证明下列平衡判据（假设 S0） ；（a）在 不变的情形下，稳定平,SV衡【30】试由 及 证明 及0VC0TppC0.【31】 求证：（a） （b）, ,;VnTV , .Tptnp【32】求证： , ,.TnU【33】试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 如果一相是1.mdULp气【34】蒸气与液相达到平衡. 以 表示在维持两相平衡的条件下，蒸气mdVT体积【35】由 导
5、出平衡稳定性0TSpV2 2.ppTCT【36】 若将 看作独立变量 的函数，试证明：U1,kn【37】证明 是 的零次齐函数1,i kTn 0.iin【38】 理想溶液中各组元的化学势为 （a）假设溶质是非,l.ii igTpRx挥发性的. 试证明，当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时，【39】 （a）试证明，在一定压强下溶剂沸点随溶质浓度的变化率为其中 L 为纯溶剂的汽化热.2,1pTRxLx【40】绝热容器中有隔板隔开，两边分别装有物质的量为 和的理想气体，1n【41】 试证明，在 分解为 和 的反应 中，平衡常3NH2231NH0量【42】 物质的量为 的气体 A1和物质的量为 的气体 A2的
6、混合物在温01nv0v度 T 和压强 下体积为 ，当发生化学变化pV341,【43】 隔板将容器分为两半，各装有 的理想气体 A 和 B. 它们的构成原mol【44】 试根据热力学第三定律证明，在 时，一级相变两相平衡曲线T的【45】 热力学第三定律要求遵从居里-外斯定律 的顺磁性固体，CMHT【46】 试根据热力学第三定律讨论（a） ， （b）两图中哪一个图是正确的？图上画出的是顺磁性固体在 和 时的 曲线.0HiS【47】中 试根据式（6.2.13）证明：在体积 V 内，在 到 的能量范围内，d+三维自由粒子的量子态数为 1323dd.Dmh【48】 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系
7、为 .cp【49】 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 和 . 粒子间的相互作用N很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一【50】同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？【51】 试根据公式 证明，对于相对论粒子llpaV, 【52】 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域122xyzcpnL系统，熵函数可以表示为【54】气体以恒定速度 沿 方向作整体运动，求分子的平均平动能量.0【55】 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率 ，【56】根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度 和相对速率21r【57
8、】 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于 与 之间的d【58】 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方【59】 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为其中 是常量，求粒子的平均能量.221,xyzpaxbm,a【60】 试求双原子分子理想气体的振动熵.【61】 对于双原子分子，常温下 远大于转动的能级间距. 试求双原子分kT子理想气体的转动熵.【62】试根据麦克斯韦速度分布律证明，速率和平均能量的涨落【63】 体积为 V 的容器保持恒定的温度 T，容器内的气体通过面积为 A 的小孔缓慢地漏入周围的真空中，求容器中气体压强降到初始【64】 以 表示玻耳兹曼系
9、统中粒子的能量，试证明11,;,rrqp 【65】 已知极端相对论粒子的能量-动量关系为 122.xyzcp假设由近独立、极端相对论粒子组成的气体满足经典极限条件，【66】 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 ln.Sk【67】试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为【68】求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.【69】试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因【70】计算温度为 T 时，在体积 V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算【71】 室温下某金属中自由电子气体的数密度 283610m,n某半导体中导电电子的数密度为 28310mn，试验证这两种
10、电子气体是否为简并气体【72】 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.【73】 金属中的自由电子可以近似看作处在一个恒定势阱中的自由粒子.下图示意地表示 0K 时处在势阱中的电子. 表示势阱的深度,它等于将【1】试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。解：已知理想气体的物态方程为 （1）由此易得,pVnRT（2） （3）11,pVnRT 1,VpnRT（4）21.Tp【2】证明任何一种具有两个独立参量 的物质，其物态方程可由实验测得,Tp的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得： lnT=dp如果 ，试求物态方程。1,Tp解：以 为自变量，物质的物态方程为 其全微分为
11、,VTp全式除以 ，有.pTVdd V11.Vp根据体胀系数 和等温压缩系数 的定义，可将上式改写为T .TddpV上式是以 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有,Tp（3）若 ，式（3）可表ln.Vd1,Tp1.p选择图示的积分路线，从 积分到 ，再积分到（ ） ，相应地0(,)0, ,Tp体积由 最终变到 ，有 即0V00ln=ln,VTp（常量） ，或 （5） 式（5）就是由所给 求0pVCT.pCT 1,T得的物态方程。 确定常量 C 需要进一步的实验数据。【3】 满足 的过程称为多方过程，其中常数 名为多方指数。试证明：n n理想气体在多方过程中的热容量 为n1VC解：根据
12、式（1.6.1） ，多方过程中的热容量（1）对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函0lim.nTnnnQUVCpT数， 所以 （2）将多方过程的过程方程式,V.VCT与理想气体的物态方程联立，消去压强 可得 （常量） 。np p1nTVC（3）将上式微分，有 所以12()0,nndd（4）代入式（2） ，即得 （5）.()nVT ,(1)nVVCTn【4】 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 如果是常数，该过程一定n是多方过程，多方指数 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常npVC解：根据热力学第一定律，有 （1）对于准静态过程有.dUQW,WpdV对理想气体有 气体在过程中吸收的热量
13、为 因此式（1）可,VUT,nQCdT表为 （2）用理想气体的物态方程 除上式，并注意().nC pVvR可得 （3）将理想气体的物态方程全式求,pVvR()().npVddC微分，有 （4）式（3）与式（4）联立，消去 ，有.dT dT（5）令 ，可将式（5）表为()()0.nVnpVC npVC（6）如果 和 都是常量，将上式积分即得 （常量）0.dp,pCn npVC。 过程是多方过程。【5】假设理想气体的 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中pV和 之 比的关系，该关系式中要用到一个函数 ，其表达式为TV和 FTln()1dTF解：根据式（1.8.1） ，理想气体在准静态绝热过程中满足
14、 （1）0.VCdTp用物态方程 除上式，第一项用 除，第二项用 除，可得pnRTnR（2）利用式 可将式（2）改定为0.VCdTnR,pVC（3）将上式积分，如果 是温度的函数，定义1.（4）可得 （常量） ， （5）或 （常量） 。ln(),dTF 1ln()lFTVC()FTVC（6）式（6）给出当 是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中 T 和V 的关系。【6】利用上题的结果证明：当 为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为 解：在 是温度的函数的情形下，即仍有 （1）21.T 21ln,VQRT（2） （3）有 （4）324ln,QRV21214lnl.VWQRT23()(),
15、F（5）从这两个方程消去 和 ，得1()()F 1()F2（6）故 （7）所以在 是温度的函数的情形下，理想3214,211()l,V气体卡诺循环的效率仍为 （8）21.TQ【7】试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在 图中两条绝热线交于 点，如图所示。设想一等温线与pVC两条绝热线分别交于 点和 点（因为等温线的斜AB率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的） ，则在循环过程 中，ABC系统在等温过程 中从外界吸取热量 ，而在循环过程中对外做功 ，其数ABQW值等于三条线所围面积（正值） 。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有 。这样一来，系统在上述循
16、环过程中就从单W一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。【8】 温度为 的 1kg 水与温度为 的恒温热源接触后，水温达到 。0C 10C 10C试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从 升至 ？ 解： 的水与温度为 的恒温热源接触后水温升为 ，这一过程是不 1 10C可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温
17、度分布在 与 之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0C1升至 。在这可逆过程中,水的熵变为0C1（1）37 32773ln4.8ln104.6Jk.22ppmcdTS 水水从 升温至 所吸收的总热量 为0 Q3 5480.1J.pmcT为求热源的熵变，可令热源向温度为 的另一热源放出热量 。在这可逆C Q过程中，热源的熵变为 （2）由于热源的变化514.180.6JK.37S热 源相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为 （3）为使水温从 升至 而184JK.SS总 水 热 源 0C1参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在 与 之间的一系列
18、热源吸热。水的熵变 仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和水为（4）参与过程的整个系统的总熵变为37 1230.6J.pmcdTS热 源（5）S总 水 热 源【9】均匀杆的温度一端为 另一端为 计算到均匀温度 后的熵增。12T12T解：以 L 表示杆的长度。杆的初始状态是 端温度为 ， 端温度为 ，0l2lL1T温度梯度为 （设 ） 。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传12T12T导过程，最终达到具有均匀温度 的平衡状态。为求这一过程的熵变，12T我们将杆分为长度为 的许多小段，如图所示。位于 到 的小段，初温dl ldl为（1） 这小段由初温 T 变到终温22.TlL后的熵增加值为
19、（2）12 1212ln,TlppTddScclL其中 是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵pc增加值为（3）121220121212122221 012121221212lnll lnlnllnllLp LpppppSdTTcldLcTTllLTcLTC . 式中 是杆的定压热容量。c【10】 物体的初温 ，高于热源的温度 ，有一热机在此物体与热源之间工1T2T作，直到将物体的温度降低到 为止，若热机从物体吸取的热量为 Q，试根2T据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为 其中max21()WTS是物体的熵减少量。12S解：以 和 分别表示物体、热机和热源在过程前后
20、的熵变。由熵的,abSc相加性知，整个系统的熵变为 由于整个系统与外界是绝热.abcSS的，熵增加原理要求 （1）以 分别表示物体在开始0.abc12,和终结状态的熵，则物体的熵变为 （2）热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即 （3）以 表示热机从0.bQ物体吸取的热量， 表示热机在热源放出的热量， 表示热机对外所做的功。Q W根据热力学第一定律，有 所以热源的熵变为 （4）,2.cST将式（2）（4）代入式（1） ，即有 （5）2120.QST上式取等号时，热机输出的功最大，故 （6）max12S式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。【11】有两个相同的物体，热容
21、量为常数，初始温度同为 。今令一制冷机iT在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到 为止。假设物体维持2在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 2minipiTWC解： 制冷机在具有相同的初始温度 的两个物体之间工作，将热量从物iT体 2 送到物体 1,使物体 2 的温度降至 为止。以 表示物体 1 的终态温度，21表示物体的定压热容量，则物体 1 吸取的热量为 （1）物体 2p piQCT放出的热量为 （2）经多次循环后，制冷机接受外界的功为2piQCT（3）由此可知，对于给定的 和 ， 愈低所需外121piW i21界的功愈小。用 和 分别表示过程终了后
22、物体 1，物体 2 和制冷机的2,S熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为（4）显然1230S因此熵增加原理要求 （5）或 （6）223ln,0.piiTCS 12ln0,piTSC12,iT对于给定的 和 ，最低的 为iT21T代入（3）式即有 （7）式（7）相应于所经历的21,i2minipiWT整个过程是可逆过程。【12】 1mol 理想气体，在 的恒温下体积发生膨胀，其压强由 20 准静27C np态地降到 1 ，求气体所作的功和所吸取的热量。np解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式（1.4.2） ，在准静态等温过程中气体体积由 膨胀到 ，外界对气体所做的功为AV
23、B气体所做的功是上式的负值，lnln.BBAAV AABpdWdRTTR将题给数据代入，得 在等温过程中理想38.31027.410J.BpW气体的内能不变，即 根据热力学第一定律（式（1.5.3） ） ，气体在过程0.U中吸收的热量 为Q374J.【13】 在 下，压强在 0 至 1000 之间，测得水的体积为25C np3621(18.06.71.1)cmolVp如果保持温度不变，将 1mol 的水从 1 加压至 1000 ，求外界所作的功。np解：将题中给出的体积与压强关系记为 （1）由此易得2,Vabc（2）保持温度不变，将 1mol 的水由 1 加压至 1000 ，外().dbcpd
24、 np界所做的功为 在上述计算中我02311(2)()3.Jmol.BBAAVpWdbcdp们已将过程近拟看作准静态过程。【14】使弹性体在准静态等温过程中长度由 压缩为 ，试计算外界所作的0L02功。解：在准静态过程中弹性体长度有 dL 的改变时，外界所做的功是（1）.dWJL将物态方程代入上式，有 （2）在等温过程中 是常量，0.LdWbTd 0L所以在准静态等温过程中将弹性体长度由 压缩为 时，外界所做的功为00L（3）值得注意，不论将弹性体拉长还是压缩，0000222205.8LLLJdbTdbT外界作用力都与位移同向，外界所做的功都是正值。【15】 在 和 1 下，空气的密度为 ,空
25、气的定压比热容0Cnp31.29kgm。今有 的空气，试计算：（i）若维持体积不变，-196JkgK,.4pC327m将空气由 加热至 所需的热量。 （ii）若维持压强不变，将空气由0C20加热至 所需的热量。 （iii）若容器有裂缝，外界压强为 1 ，使空气 np由 缓慢地加热至 所需的热量。解：（a）由题给空气密度可以算 得空气的质量 为327m1m1.29734.8kgm定容比热容可由所给定压比热容算出 3310.960.76JkgK.4pVc 维持体积不变，将空气由 加热至 所需热量 为0C2VQ1235().809J.VcT（b）维持压强不变，将空气由 加热至 所需热量 为0Cp12
26、135()34.80960J.pQmcT（c）若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据理想气体的物态方程为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内,mpVRT气体的质量与温度成反比。 以 表示气体在初态的质量和温度， 表示1,mTm温度为 T 时气体的质量，有 所以在过程（c）中所需的热量 为 Q将所给数据代入，得2 21 1 211() ln.TpppdQcdc35934.870.6ln76J【18】设一物质的物态方程具有以下形式 试证明其内能与体积无关.(),pfVT解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： （1）故有,f（2）有 （3）所以 （4）().VpfT ,TVU ()0.TUfVp这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度 T 的函数 .【19】 求证： ()0;HSap()0.USb解：焓的全微分为 （1）令 ，得 （2）.dVdd0.HSVpT内能的全微分为 （3）令 ，得 （4）.UTS0.U【20】试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大
