1、本科毕业设计（20届）某些度量切丛上的单位球面所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月III摘要本文主要研究了二、三维的FINSLER度量的切丛上的单位球面，通过对FINSLER流行上的几个特殊的度量，如RANDERS度量、MATSUMOTO度量等的单位球面进行讨论，并对于这些FINSLER度量的单位切圆画出了具体图形，从而得到了相关定理，并证明了这些定理。第一章研究了二、三维的RANDERS度量的切丛上的单位球面，并得出了相关定理。第二、三章分别讨论了二、三维的度量2F和MATSUMOTO度量的切丛上的单位球面及其图形。关键词FINSLER度量；RANDERS度量；
2、单位切球；切丛IVABSTRACTTHISPAPERMAINLYSTUDIESTHEUNITSPHEREONTHETANGENTBUNDLEOFTWOANDTHREEDIMENSIONFINSLERMETRICSBYMEANSOFTHEDISCUSSIONOFSOMEUNITSPHERESONSEVERALSPECIALMETRICSINFINSLERMANIFOLD,SUCHASRANDERSMETRIC,SUCHASMATSUMOTOMETRICETCANDDRAWTHEGEOMETRICFIGUREOFUNITTANGENTSPHERE,THUSGETSOMERELATEDTHEOREM
3、ANDPROOFTHESETHEOREMSTHEFIRSTCHAPTERDISCUSSESTHEUNITTANGENTSPHEREONTHETWOANDTHREEDIMENSIONFINSLERMETRICSANDGETSOMERELATEDTHEOREMTHESECONDANDTHIRDCHAPTERDISCUSSESTHEUNITTANGENTSPHEREANDTHEREGEOMETRICFIGUREINTHE2FMETRICANDMATSUMOTOMETRICKEYWORDSFINSLERMETRICRANDERSMETRICUNITTANGENTSPHERETANGENTBUNDLEV
4、目录摘要ABSTRACT引言1第一章FINSLER度量切丛上的单位球面311FINSLER几何中切丛上单位球面的定义312FINSLER度量以及一些特殊的FINSLER度量3第二章RANDERS度量及单位球面621二维球面622三维球面923椭圆椭球面12第三章2F及其单位球面1431二维N21432三维N315第四章MATSUMOTO度量2F及其单位球面1741二维N21742三维N318参考文献20致谢错误未定义书签。附录241引言FINSLER几何的背景与发展FINSLER几何的历史可以追溯到黎曼的著名演讲,黎曼早在1854年的著名就职演讲中试图用空间中的模来定义更广泛的度量空间，也就是
5、后来的被称为FINSLER几何的研究，但是并没有很好的进展。1918年FINSLER在他的一篇论文中讨论了基于变分定义度量的一般原则，研究了一般的正则度量空间中的曲线和曲面的变分问题，正因如此，后来把这样的正则度量空间称之为FINSLER空间。近十几年来，FINSLER几何学家对FINSLER度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果。如关于常旗曲率FINSLER空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AKBARZADEH证明了在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的FINSLER度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的FINSLER度量一定是局部MINKOWSKI度量。进一步，莫小欢与沈忠民证明了
6、在维数大于2的FINSLER流形上，若FINSLER度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则FINSLER度量一定是RANDERS度量，这说明了研究RANDERS度量的重要性。黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一。但在FINSLER几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少。因此，FINSLER几何学家将在未来的研究工作中深入研究FINSLER流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究FINSLER流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和
7、映照的稳定性。这些内容都是十分重要和有趣的课题。本文通过研究得出了以下结论；在二维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面121212211YBXBYAXAF是椭圆。在三维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面1321213212211ZBYBXBZAYAXAF是椭球面。而且在二、三维欧氏空间上的椭圆或椭球面在切丛上一定是RANDERS度量的单位球面。在二维欧氏空间上的度量2F12222122YXYBXBYX的单位球面和YXYX,22的系数有关。当22,YX的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。当222,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维当
8、欧式空间上的度量12222321222ZYXZBYBXBZYXF的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。在二维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2F的单位球面和YXYX,22的系数有关。12122222YBXBYXYXF当22,X的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。当22,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2FZBYBXBZYXZYX32122222221的单位球面和ZYXZY
9、X,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。3第一章FINSLER度量切丛上的单位球面11FINSLER几何中切丛上单位球面的定义FINSLER几何,简单地讲,就是具有FINSLER度量的微分几何。虽然1985年就引进了FINSLER度量，并且后来也有所进展；但近几十年才真正引起数学家特别是几何家门的重视。原因很简单，80年代末人们发现了FINSLER几何生物、物理等方面有许多应用。著名数学家SSCHERN殷切期望华人尤其是中国大陆本身的数学研究在FINSLER几何方面能处于世界领
10、先的地位。目前在日本人、法国、罗马尼亚、加拿大等国家已经广泛地开展了这一领域的研究，但在中国国内的有关成果报道却很少。切丛是微分流行M上的一种特殊的向量丛，一般记为TM，它的秩就等于流行M的维数。设M是一个N维流行,HAM上的一个FINSLER结构是一个具有下列性质的映射FTM,0AF在TM0上是严格正的、光滑的；BMTYTYXTFTYXFX,0,C在M上的任何局部坐标系NNFX,）（矩阵（YYF22）对所有的0XYY都是正定的。令（11）JIJIIJYFYFFYYFYXG2221,，则对每一MX。（12）JIIJDYDYYXGDS,2是去心切空间0MTX上的黎曼度量。在MX处的单位切球MIX
11、定义为（13）1,YXFMTYMIXX12FINSLER度量以及一些特殊的FINSLER度量在FINSLER几何的几十年发展中，寻找具有特殊性质的特殊FINSLER度量一直是数学家关注的重要的问题。更多生动具体的度量对研究FINSLER几何的一些基本问题有着重要地作用。4在FINSLER度量中，度量是我们知道和了解的最多的度量，这一直是FINSLER几何学家们研究的热点。九十年代以前，日本数学家主要采用张量分析的方法研究，度量，度量这个概念是日本数学家MMATSUMOTO于1972年在已被物理学家关注的RANDERS度量F（其中表示黎曼度量，表示1阶微分形式）的基础上而提出的。但几何的本质往往
12、被张量计算所掩盖，所以这方面的进展缓慢。九十年代以后，ZSHEN引入新的运算模式并大量应用MAPLE程序运算，为，度量的研究注入了新的活力。若TM上的函数FFXYTMR，满足以下条件，则称它为M上的一个FINSLER度量1FXY，在0TM上是C函数；20FXY，0Y；3FXYFXY，R；4基本张量222IJIJFGXYYY，正定。由定义可见当IJGXY，只与X有关时，它就是一个黎曼度量；1972年，在已被物理学家广泛关注的RANDERS的度量F的基础上，日本数学家MMATSUMOTO提出了，度量这个概念设M为一个N维流形，称FINSLER度量F为M上的，度量若FXYF，为1阶正齐次函数，即FF
13、，0，其中IJIJAXYY为黎曼度量，IIBXY为1阶微分形式，即1形式下列是文献中常见的，度量RANDERS度量F；MATSUMOTO度量2/F；PARKLEE度量2/F；KROPINA度量2/F；广义KROPINA度量1/MMF，01M，523FINSLER度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面令1,1YYGTMYMT是单位切球在M上且MMT11是正投影。明显MT1是TM的全脐和一个局部的表达1JIIJYYXG在一个局部坐标JIYX,在TM上。6第二章RANDERS度量及单位球面21二维球面定理11；在维数为二的欧式空间上RANDERS度量的单位球面一定是椭圆。证明解出满足FV1的单
14、位圆的方程令YBXBYX2122,RANDERS度量FYBXBYX2122当1VF时解出方程的根；即YBXBYX21221则X的解为；Y的解为；122B22B1XB22X2B12X212B1XB22X21B22,122B22B1XB22X2B12X212B1XB22X21B22以下将求12122YBXBYXF的标准方程122B12B1B2Y2Y22B2Y1B22Y2B12Y21B12,122B12B1B2Y2Y22B2Y1B22Y2B12Y21B127解；YBXBYX21221两边平方并合并得；01222112121222221XYBBYBXBYBXB写出它的系数矩阵A1B12B1B2B1B1
15、B21B22B2B1B21计算不变量2221122211211BBIBBI42212121000422121210001111111412242212241224221223212222112121322212222121212BBBBBBBBBBIBBBBBBBBBBIBBIBBBBBBI解得13I解特征方程012222122212BBBB2221211,1BB得二次曲线的标准方程为11222221YXBB由于02I，所以此二次曲线为椭圆。8下面将画出当21,BB取不同值时此椭圆的图当21,BB05,33,33YX时1505022YXYX当21,BB01,22,22YX时1101022YXY
16、X当360,318,150303022YXYXYXF时9从以上三个例子可以看出在二维欧氏空间上RANDERS度量的单位球面一定为椭圆。22三维球面定理21；在维数为三的欧式空间上RANDERS度量的单位球面一定是椭球面三维ZBYBXBZYX321222,RANDERS度量FZBYBXBZYXF321222令1VF时，解出方程的根1321222ZBYBXBZYXFX的解为、122B1B2Y2B1B3Z2B122B2YB3ZY2Z2B22Y212B2YB32Z22B3ZB12Y2B12Z21B12122B1B2Y2B1B3Z2B1,22B2YB3ZY2Z2B22Y212B2YB32Z22B3ZB1
17、2Y2B12Z21B12Y的解为10122B22B1XB22B2B3Z2X22B1XB3ZZ2B12X212B1X2B3ZB32Z2B22X2B22Z21B22122B22B1XB22B2B3Z,2X22B1XB3ZZ2B12X212B1X2B3ZB32Z2B22X2B22Z21B22Z的解为122B1XB32B32B2YB322B1XB12X2X2Y2B22Y212B1XB2Y2B2YB32X2B32Y21B32122B1XB32B32B2YB3,22B1XB12X2X2Y2B22Y212B1XB2Y2B2YB32X2B32Y21B32以下将写出1321222ZBYBXBZYXF的标准方程解
18、ZBYBXBZYX3212221两边平方并合并得0121221222132232322213121221ZBZBYBYZBBYBXBZBBXYBBXB则它的系数矩阵为1111321323323123222211312121BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBA计算其不变量11141214121214141214121214111000100011111113111422322432122214142232243212221414212322321232232332313222213121213222122212121223222112322211BBBBBBBBBBBBBBBBAIBBB
19、IBBBIBBBBBBBBBBBBBBBIBBBBBBBBIBBBIBBBI特征方程为0113212322222122322213BBBBBBBB所以标准方程为011232221232221BBBZYX所以此二次曲面为椭球面。下面将画出321,BBB取不同值时此椭球面的图形66,50,321ZYXBBB，时22,10,321ZYXBBB，时12可以看出在三维欧氏空间上RANDERS度量的单位球面为椭球面。23椭圆椭球面下面我们将证明定理11的逆定理定理23在二维欧氏空间上的椭圆一定是RANDERS度量上的单位球面。证设椭圆的一般方程为CYBXBXYAYAXAYXF21122222112,由坐标
20、变换定理可知；存在线性变换21221211112111DYHXHYDYHXHX使得1,212221YBXBYAXAYXF即YXF,是RANDERS度量上的单位球面。例如ARIEMANN度量1222211YAXAF；当CYBXBXYAYAXAYXF21122222112,中21,BB为零时CXYAYAXAYXF122222112,可以通过线性变换21221211112111DYHXHYDYHXHX化为1222211YAXAF，即为RIEMANN度量B0,1,YXFYXF；1302221122211,022211211,212122222221212222221212222122212122222
21、221221212222212222XYBBYBXBYBXBXYBBYBXBYBXBYXYBXBYXYXFXYBBYBXBYBXBYBXBYBXBYXYBXBYXYXF即0,1,YXFYXF依然是RANDERS度量。本章得出的结论是，在二维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面121212211YBXBYAXAF是椭圆。在三维欧式空间上RANDERS度量切丛上的单位球面1321213212211ZBYBXBZAYAXAF是椭球面。而且在二、三维欧氏空间上的椭圆或椭球面在切丛上一定是RANDERS度量的单位球面。14第三章2F及其单位球面31二维N2将YBXBYX2122,代入12F中得1
22、2222122YXYBXBYXF22122222222212212222222212212122222222YBXBYXYXYBXYBBXBYXYXYBXYBBXBYBXBYXYX22122212222443321323122222132132142242144244122222221444446442222YBXBYXYBXBYXYXYXXYBBYXBBYXBBXYBBYXBBYBXBYBXBYXBYXB04444411221421444414122222122222122212122322212132121213231422222421221YXYXBXYBYXBBBBBBXYBBBBBY
23、XBBBBBYBXBYBBXBB下面画出当55,55,30,3021YXBB时以上方程的图可以看出当N2时12F的单位球面为斜椭圆。但是当22YAXAJI时情况就不同15如，66,33,1303022222YXYXXYXF时画出图形可以看出，在以上情况下12F的单位球面不是椭圆。32三维N3将ZBYBXBZYX321222,代入12F中得12222321222ZYXZBYBXBZYXF下面将画出当55,55,3350,321ZY。XBBB，时方程的图；可以看出当N3时12F的单位球面为椭球面。但当2020,2020,1010,1202030202222222ZYXZYXYXZYXF时16可以看
24、出，在以上情况下12F的单位球面不是椭球面。本章主要得出的结论是，在二维欧氏空间上的度量2F12222122YXYBXBYX的单位球面和YXYX,22的系数有关。当22,YX的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。当22,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆。在三维当欧式空间上的度量12222321222ZYXZBYBXBZYXF的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。17第四章MATSUMOTO度量2F及其单位球面MATS
25、UMOTO度量IIJIIJYBYYF,/2是FINSLER几何中一个重要的度量。41二维N2将YBXBYX2122,代入12F中得；12122222YBXBYXYXF2212222YBXBYXYX012222212222232421212222221314YBYBYXYBBXYBYXYXBXBXBX下面将画出方程的图形；当,22,2220,21YXBB，时18可以看出当N2时12F的单位球面为椭圆。但，当88,22,120203022222YXYXYXYXF时可以看出，在以上情况下12F的单位球面不是椭圆。42三维N3将ZBYBXBZYX321222,代入12F中得；13212222222ZB
26、YBXBZYXZYXF2321222222ZBYBXBZYXZYX下面画出方程的图形；当22,22,2220,321ZYXBBB，时19可以看出N3时，当321BBB、并ZYX、取相同值时12F为椭球面。当44,55,3340,40,50321ZYXBBB，时可以看出N3时，当321BBB、并ZYX、取不同值时12F的单位球面不是椭球面。本章主要得出结论；在二维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2F的单位球面和YXYX,22的系数有关。12122222YBXBYXYXF当22,X的系数取1，YX,取一定值时它的单位球面为椭圆。当22,YX的系数取小于1的数，YX,取一定值时它的单位球面不为椭圆
27、。在三维欧氏空间上的MATSUMOTO度量2FZBYBXBZYXZYX32122222221的单位球面和ZYXZYX,222的系数有关。当222,ZYX的系数取1，ZYX,取一定值时它的单位球面为椭球面。当222,ZYX的系数取小于1的数时，ZYX,取一定值时不为椭球面。20参考文献1沈忠民，詹华税几何中若干问题之研究1J集美大学学报自然科学版，1999，4376832伍鸿熙，陈维桓黎曼几何选讲M北京北京大学出版杜，19933沈一兵。整体微分几何初步M北京高等教育出版社，2009。74徐森林，薛春华，胡自胜，金亚东。近代微分几何M合肥中国科学技术大学出版社，2009。65卡尔莫。曲线和曲面的微
28、分几何学。上海上海科学技术出版社,1988。6PFILSLEROBERKURVENUNDMCHERTINPJGEMEINENRNMC,OTTINGENDION，19187ZHONGMINSHEN,TWODIMENSIONALFINSLERMETRICSWITHCONSTANTCURVATURE,TOAPPEAR。8GLUCKH,ZILLERW。ONTHEVOLUMEOFAUNITVECTORFIELDONTHETHREESPHEREJ。COMMMATHHELV,1986,611771929ZHOUJW,HUANGH。GEOMETRYONGRASSMANNMANIFOLDSG2,8ANDG3,8
29、J。MATHJOKAYAMAUNIV,2002,44171179。10MUSSOE,TRICERRIF。RIEMANIANMETRICSONTANGENTBUNDLESJ。ANN。MAT。PURAAPPL。,1988,150411911BLAIRDE。RIEMANNIANGEOMETRYOFCONTACTANDSYPLETICMANIFOLDSM。BIRKHAUSERBOSTON,INC。,BOSTON,MA,2002。12MAKOTOMATSUMOTO,FOUNDATIONSOFFINSLERGEOMETRYANDSPECIALFINSLERSPACES。KAISEISHAPRESS,198
30、6。21附录计算过程SOLVESQRTX2Y2B1XB2Y1,X122B12B1B2Y2Y22B2Y1B22Y2B12Y21B12,122B12B1B2Y2Y22B2Y1B22Y2B12Y21B12SOLVESQRTX2Y2B1XB2Y1,Y122B22B1XB22X2B12X212B1XB22X21B22,122B22B1XB22X2B12X212B1XB22X21B22EXPAND1B1XB2Y2B12X22B1XB2Y2B1XB22Y22B2Y1COLLECTX2Y2B12X22B1XB2Y2B1XB22Y22B2Y1,X,Y,DISTRIBUTED12B1X2B2Y2B1XB2Y1B1
31、2X21B22Y2AMATRIX3,3,1B12,B1B2,B1,B1B2,1B22,B2,B1,B2,1A1B12B1B2B1B1B21B22B2B1B21BDIAGEIGENVALUESAB,100,012B2212B1212B242B22B12B1440,0012B2212B1212B242B22B12B144AMATRIX3,3,1B12,B1B2,B1,B1B2,1B22,B2,B1,B2,1A1B12B1B2B1B1B21B22B2B1B21BDIAGEIGENVALUESA22B,100,012B2212B1212B242B22B12B1440,0012B2212B1212B24
32、2B22B12B144SOLVESQRTX2Y2Z2B1XB2YB3Z1,X122B1B2Y2B1B3Z2B122B2YB3ZY2Z2B22Y212B2YB32Z22B3ZB12Y2B12Z21B12122B1B2Y2B1B3Z2B1,22B2YB3ZY2Z2B22Y212B2YB32Z22B3ZB12Y2B12Z21B12SOLVESQRTX2Y2Z2B1XB2YB3Z1,Y122B22B1XB22B2B3Z2X22B1XB3ZZ2B12X212B1X2B3ZB32Z2B22X2B22Z21B22122B22B1XB22B2B3Z,2X22B1XB3ZZ2B12X212B1X2B3ZB32Z
33、2B22X2B22Z21B22SOLVESQRTX2Y2Z2B1XB2YB3Z1,Z122B1XB32B32B2YB32X2Y22B1XB12X22B1XB2Y2B2YB22Y21B32X2B32Y21B32122B1XB32B32B2YB3,2X2Y22B1XB12X22B1XB2Y2B2YB22Y21B32X2B32Y21B32AMATRIX4,4,1B12,B1B2,B1B3,B1,B1B2,1B22,B2B3,B2,B1B3,B2B3,1B32,B3,B1,B2,B3,1A1B12B1B2B3B1B1B1B21B22B3B2B2B3B1B3B21B32B3B1B2B31BDIAGEIG
34、ENVALUESA23B12B2212B3212B1212B242B22B322B22B12B342B32B12B144000,012B2212B3212B12,12B242B22B322B22B12B342B32B12B14400,0010,0001AMATRIX3,3,1B12,B1B2,B1B3,B1B2,1B22,B2B3,B1B3,B2B3,1B32A1B12B1B2B3B1B1B21B22B3B2B3B1B3B21B32BDIAGEIGENVALUESAB1B22B32B1200010001作图过程WITHPLOTSIMPLICITPLOTSQRTX2Y205X05Y1,X33,Y
35、33IMPLICITPLOTSQRTX2Y201X01Y1,X22,Y22IMPLICITPLOTSQRTX203Y203X05Y1,X183,Y603IMPLICITPLOT3DSQRTX2Y2Z205X05Y05Z1,X66,Y66,Z66WITHPLOTSIMPLICITPLOT3DSQRTX2Y2Z201X01Y01Z1,X22,Y22,Z22WITHPLOTSIMPLICITPLOTSQRTX2Y203X03Y2/SQRTX2Y21,X33,Y33WITHPLOTSIMPLICITPLOTSQRTX203Y203X2/SQRTX2Y21,X33,Y66WITHPLOTSIMPLICITPLOT3DSQRTX2Y2Z203X03Y03Z2/SQRTX2Y2Z21,X33,Y55,Z55WITHPLOTSIMPLICITPLOT3DX2Y2Z2/SQRTX2Y2Z205X04Y04Z1,X33,Y55,Z44
