1、本科毕业设计（20届）循环矩阵及其计算问题所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】本文针对循环矩阵在许多实际问题具有非常广泛的应用这一实际情况，在前人对循环矩阵的研究基础上，介绍了循环矩阵的概念、性质，又根据其结构的特殊性，讨论了它的行列式的计算方法，给出了循环矩阵行列式的一般计算公式，并概括出了其可逆的充要条件以及求逆矩阵的方法等。在此基础上本文还讨论了循环矩阵的特征根，给出了其对角化的一般方法和基本步骤，并简单证明了循环矩阵一些基本性质和定理，稍微改进了一些性质的证明方法及计算方法，使大家对循环矩阵的理解更为透彻，计算起来更为简捷。最后本文还实际解决
2、了一些循环矩阵中的典型题目，真正使循环矩阵来源于生活，应用于生活。【关键词】循环矩阵；特征值；行列式；逆矩阵；对角化IIABSTRACT【ABSTRACT】ASCYCLICMATRIXISVERYEXTENSIVEAPPLICATIONININMANYPRACTICALPROBLEMS,THISPAPERINTRODUCESTHECONCEPT,NATUREOFCYCLICMATRIXPARTICULARITYBASEDONTHERESEARCHOFOURPREDECESSORSACCORDINGTOSPECIFICCHARACTERISTICOFTHECYCLICMATRIX,THISPAP
3、ERDISCUSSESTHECALCULATIONMETHODOFTHEDETERMINANTOFIT,CONCLUDINGTHECYCLICMATRIXCALCULATIONFORMULAANDGENERALIZINGTHESUFFICIENTANDNECESSARYCONDITIONSANDTHEWAYTOSEEKTHEMETHODOFITSREVERSIBLEINVERSEMATRIXETCONTHISBASIS,THISARTICLEALSODISCUSSESTHECHARACTERISTICROOTOFTHECYCLICMATRIXTHATTELLUSITSGENERALMETHOD
4、SANDBASICSTEPTOTHEDIAGONALIZATION,ANDITSIMPLYPROVESOMEBASICPROPERTIESANDTHEOREMOFTHECYCLICMATRIXITALSOSLIGHTLYIMPROVESSOMEPROOFMETHODSOFTHESEPROPERTIESANDCALCULATINGMETHODS,INORDERTOUNDERSTANDTHECYCLICMATRIXMORETHOROUGHLYOFUSANDTOCOMPUTETHEMMOREFORTHRIGHTATLAST,THISPAPERALSOACTUALLYSOLVESSOMETYPICAL
5、PROBLEMSOFCYCLICMATRIX,ANDMAKETHECYCLICMATRIXORIGINATESCOMEFROMLIFE,ANDISAPPLIEDTOLIFE【KEYWORDS】CYCLICMATRIXEIGENVALUETHEDETERMINANTINVERSEMATRIXDIAGONALIZATIONIII目录诚信承诺中文摘要英文摘要目录1引言与基本概念错误未定义书签。11引言错误未定义书签。12基本概念错误未定义书签。2循环矩阵的性质定理及其证明错误未定义书签。21循环矩阵的基本性质322循环矩阵的行列式423循环矩阵的逆矩阵5231循环矩阵之逆矩阵的基本性质错误未定义书签
6、。232循环矩阵可逆的充分必要条件624循环矩阵的特征根及其对角化6241循环矩阵的特征根7242循环矩阵的对角化82421使循环矩阵对角化的条件82422循环矩阵的对角化的算法92423循环矩阵的对角化的性质1025循环矩阵之充要条件1126循环矩阵的其他性质定理1227注解143循环矩阵的计算问题1431引理1432循环矩阵的行列式及其逆矩阵15321基本方法153211解方程组法153212伴随矩阵法16322典型例题17323小结2533循环矩阵的特征根及其对角化26331循环矩阵对角化步骤26332典型例题264结束语28参考文献29致谢3011引言与基本概念11引言循环矩阵的概念是
7、TMUIR于1885年首先提出来的，它是一类具有特殊结构的矩阵，但1950年之前，对于循环矩阵的研究还没有引起数学工作者的足够重视，直到19501955年，GOOD等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。之所以循环矩阵受到越来越多的人青睐，是因为循环矩阵能够解决许多实际问题，还可以简化运算，具有非常广泛的应用，如在编码理论，数理统计，理论物理，固态物理，结构计算，分子轨道理论，数学图象处理等方面应用很广；而循环矩阵的逆及特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。但是循环矩阵作为一类特殊的矩阵，目前由于相关理论还不是很完善，有些过于
8、繁琐复杂，晦涩难懂，在实际应用中也不是很方便。首先，由于不同的研究人员的研究视角不同，对其界定不同，结论也就不同，使得循环矩阵的理论成果比较多且杂，在应用过程中难以取舍等等；再者，在实际生活中的许多数学模型也是涉及循环矩阵的，因此数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着，循环矩阵及其计算问题是多国数学工作者研究的一个热点。目前循环矩阵还内部还出现大量的分支结构，包括广义循环矩阵及其逆的有关问题，分块矩阵，R循环矩阵，G循环矩阵等等，随着研究的深入对循环矩阵的研究也发生了一定的变化，循环矩阵中分化出越来越多的子结构，对循环矩阵的研究越来越细致，越来越透彻。本文根据前人的研究成果，经过不断斟酌推敲，介
9、绍了循环矩阵的概念、性质，并根据其结构的特殊性，讨论了它的行列式的计算方法，得出了循环矩阵行列式的一般计算公式，又概括出了其可逆的充要条件以及求逆矩阵的一般方法等。在此基础上本文还讨论了循环矩阵的特征根，给出了其对角化的一般方法和基本步骤，并简单证明了循环矩阵一些基本性质和定理，稍微改进了一些性质的证明方法及计算方法，使大家对循环矩阵的理解更为透彻，计算起来更为简捷。最后本文将其应用到具体问题中去，解决一些实际中的循环矩阵问题。12基本概念在研究循环矩阵之前，我们先给出N阶循环矩阵的定义定义121如下形状的矩阵2032121011210AAAAAAAAAAAAANNN称为循环矩阵，为方便，记为
10、110N,A,AACIRCA注1若对称循环矩阵110,NAAACIRCA中的110,NAAA只有两个不为零，则称A为二元对称循环矩阵。注2从定义可以看出，KJAA为循环矩阵的充分必要条件是KJAKJAAKJNKJKJ,定义122如果取010000011000000100000101NE则,2,100NKEEKKNK可知也是N阶循环矩阵，称为基本循环矩阵，显然，INN,132，N阶单位矩阵都是循环矩阵，则A可改写为112210NNAAAIAA1只有在（1）式成立的条件下，我们才可以顺利地研究循环矩阵。本文中均表示N阶基本循环矩阵，A表示循环矩阵，下文不再赘述。2循环矩阵的性质定理及其证明循环矩阵
11、的性质定理的研究证明是一个非常重要的问题，也是一个很麻烦的问题，如果直接将其归类到矩阵这个大的框架中去，按照矩阵的一般性质定理对其界定，将会浪费人力和物力，因此我们有必要根据循环矩阵特殊的结构进一步研究其性质定理，利用这些性质定理可以更好的解决问题。本3文所考虑的N阶循环矩阵都是复数域上的循环矩阵，以后不再重复说明了。21循环矩阵的基本性质12101210,NNBBBBCIRCBAAAACIRCA，记性质211同阶循环矩阵的和矩阵以及差矩阵为循环矩阵，即,111100NNBABABACIRCBA。证明设112210NNAAAIAA，112210NNBBBIBB，则1111100NNNBABAI
12、BABA所以,111100NNBABABACIRCBA性质212同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵，并且满足交换律，则ABBACCCCIRCBAN，,110。证明设12101210,NNBBBBCIRCBAAAACIRCA，则令032111011110032111011110032111011110CCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBAAAAAAAAAAAABACNNNNNNNNN其中4012110121011011111000,BABABACBABABACBABABACNNNNNNN令032121011210032121011210032121011210DDDDDDDDDDDDAAA
13、AAAAAAAAABBBBBBBBBBBABDNNNNNNNNN因为ID与IC比较,只是A与B的位置颠倒，值不变，所以1,1,0,NICDII即ABBA所以同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵，并且满足交换律。性质2131210,NKAKAKAKACIRCKA,其中K为任意常数。不难看出，复数域上N阶循环矩阵按以往定义的一般矩阵的加减法，数与矩阵的乘法都是封闭的。22循环矩阵的行列式不管是研究一般矩阵，还是特殊的循环矩阵，我们都要首先考虑一下它的行列式，行列式的计算是一个非常重要的问题，只有在行列式的基础上我们才可以更方便的研究它的其它性质。下面我们利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法。引理221
14、设,112210FAXAXAXAAXFNN，则且1211N，是1NX的N个不同复根，则111NFFFA。对于求行列式的值不只上述一种方法，我们都知道，循环矩阵是矩阵的一种特殊形式，因此对于一般矩阵适用的计算方法，对循环矩阵也适用，任何矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯矩阵，其行列式的值就是对角线的元素的乘积，或者可以按照某一行或某一列展开计算。下面我们还会用具体例子来阐述。523循环矩阵的逆矩阵根据上述，我们知道循环矩阵作为矩阵的一种特殊形式，有循环矩阵之间的加减运算，有与数域之间的乘法运算，按照矩阵的一般性质，也应该有循环矩阵的逆，下面我们就来讨论循环矩阵的逆矩阵问题，即寻找使得IAA1的循
15、环矩阵。对于一般矩阵的逆矩阵的性质定理的内容本文就不再赘述了。231循环矩阵之逆矩阵的基本性质性质2311可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩阵。证明设循环矩阵112210NNAAAIAA,因为A可逆，不妨设其逆矩阵为112210NNBBBIBB，其中1210NBBBB，为待定常数，满足ABI,如果存在1210NBBBB，那么说明可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩。又因为1102312011221100111221100112210112110NNNNNNNNNNNNNNBABABABABABABABAIBABABABABBBIBAAAIAAB根据ABI得00110231201122
16、1100111221100NNNNNNNNNBABABABABABABABABABABABA上述方程组以A为系数矩阵，1210NBBBB，为未知数，由于A为可逆矩阵，则0AA,所以方程组有唯一解1210NBBBB，说明可逆的N阶循环矩阵的逆矩阵仍是N阶循环矩阵。性质2312设A为N阶可逆循环矩阵，则A的伴随矩阵A也是N阶循环矩阵。6证明1AAA,由性质2311知1122101NNBBBIBA是循环矩阵，故112210NNBABABAIBAA也是循环矩阵。232循环矩阵可逆的充分必要条件定理2321N阶循环矩阵A可逆的充要条件是1,1,00NIFIA。证明因为A可逆，所以0A，根据引理221，0
17、111NFFFA，所以N阶循环矩阵A可逆的充要条件是1,1,00NIFIA。推论2322如果循环矩阵032121011210AAAAAAAAAAAAANNN可逆，那么010NIIA。证明因为A可逆所以0A，因此0111NFFFA，即0110210NIINAAAAAF定理2323设A是以110,NAAA为元素的N阶循环矩阵，则A可逆的充分与必要条件是1110NNXAXAAXF与1NX互素，即（FX,1NX）1。证明由111NFFFA，A可逆的充分与必要条件是0111NFFFA，即1110NNXAXAAXF与1NX没有公共根，从而（FX,1NX）1。24循环矩阵的特征根及其对角化对角矩阵是矩阵形式
18、中最为简单的一种，对于我们研究矩阵的行列式及其性质都有显著帮助。现在我们来考察究竟哪些循环矩阵，究竟在那些变换下可以变成对角矩阵，即对于循环矩阵A，寻找某些矩阵P和Q，使得110,NDIAGPAQ,并且寻找110,N的来源。7241循环矩阵的特征根高等代数中讲过，对角矩阵是所有矩阵中一种相对形式简单，性质良好的矩阵，我们希望通过寻找可以将循环矩阵转化成对角矩阵，这一目标是否实现，我们先按照以往研究矩阵对角化时的一般方法，先介绍特征值的概念及其性质，它们对于研究循环矩阵是否可以对角化具有无可替代的作用。引理2411设FX是一个N1次多项式函数，若是矩阵的特征根，则F是矩阵F的特征根。证明设110
19、N，是的特征根，记,112210FAXAXAXAAXFNN，则根据特征值的定义，我们有1,1,0,NIIII，其中I是的属于特征值I的一个特征向量。因此IIININIIIIININIIIIIININIIIIIININIIIIIIINNIIIIIINNIIIINNIFAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAIAAAAIAF112210112210212102121021210112210112210所以说F是矩阵F的特征根。若设,112210FAXAXAXAAXFNN，则其中FX称为A的生成多项式。的特征多项式为10000010001110000100010010100010,0,1,1N
20、CIRCE81N可见有N个互异的特征值,1,2,1,02SIN2COS1121NKNKINKKKN，其中，所以根据引理2411循环矩阵A的特征值为,1,2,1,02SIN2COS1121NKNKINKFFFFKN，其中，我们还可以进一步知道121,1NFFFF就是A的全部特征根，引理221显而易见得证。242循环矩阵的对角化在讨论了循环矩阵的行列式以及特征值的基础上，我们就要探讨能够使循环矩阵对角化的特殊矩阵，他们对循环矩阵的研究具有基本重要性。2421使循环矩阵对角化的条件通过前文的讨论，我们记N阶基本循环矩阵的属于特征值K的特征向量为K，根据特征值与特征向量的定义有KKK，所以若设110,
21、NKXXX，则0000330220110231201121003211210,00001100000010000010XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXNKKKKNKKKKNKNK即得所以，记1,2,0,11,1121112NKNNKKKKNKKKK，则KKK又因为112210NNAAAAIAFA，由引理2411得KKAKAKFFA9可以验证0,1010NKKMLNKKMKLMLML时，当将这N个两两正交的向量K单位化，可得标准正交基1101,1,1NNNN令矩阵11121121222112111011111111,1NNNNNNNNNP1则11312111232221
22、2113111111111011111111111NNNNNNNNNP1N2，（2）2422循环矩阵的对角化的算法根据高等代数P299，我们可以知道对于矩阵A，在某一变换下可以变为对角型，并且主对角线上的元素是确定的，它们就是A的特征值，它们可以用来检验计算是否正确。所以根据上述2421所定义的P和1P,我们有0001000001000010111111111111312112123222113211NNQNNNNNNPP101111312112123222113212121111122221212212111111131211212322211321112121111232221211312
23、1111131211212322211321,11111111111111111111111111000100000100001011111111111111111NNNQNNNNNNNNNNNNNNNNNQNNNNNNNNNNNNNNQNNNNNDIAGNN所以，1211,1NDIAGPP上述所讨论的P和1P的求法，以及循环矩阵对角化算法即为以后做题的依据，也是检验计算是否正确的标准。2423循环矩阵的对角化的性质将循环矩阵对角化以后，具有非常多的优良性质，下面简要介绍一下性质2423任意N阶循环矩阵AFA在复数域C上都可对角化，即1101,NAAAFFFDIAGAPP其中111211212
24、22112111011111111,1NNNNNNNNNP11113121112322212113111111111011111111111NNNNNNNNNP1N2，证明根据上述关于1PP和的定义和循环矩阵的对角化的算法,我们有1211,1NDIAGPP，所以111211113132313121222121,1,1,1NNNNNNNDIAGPPDIAGPPDIAGPP，设FAAAIAANN112210是任意一个N阶循环矩阵，则121111212111011221011,1NNNNNFFFFDIAGPPAPPAPPAIPPAPAAAIAPAPP所以N阶循环矩阵A可对角化。总之，根据A的任意性，
25、对P和1P的定义，以及根据N阶可逆循环矩阵矩阵对角化的算法，我们可以说对于所有N阶循环矩阵都可以对角化。25循环矩阵之充要条件性质251A为循环矩阵的充分必要条件是1PAP为对角矩阵,其中11121121222112111011111111,1NNNNNNNNNP12113121112322212113111111111011111111111NNNNNNNNNP1N2，性质252在复数域内，N阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A相似于某个循环矩阵。证明充分性若矩阵A相似于循环矩阵B，那么矩阵A相似于对角矩阵。由性质2423可知，循环矩阵B与某个对角矩阵C相似，有相似关系的传递性可知，A相似于
26、对角矩阵C。必要性如果N阶矩阵A可对角化，那么A相似于某个循环矩阵。设存在N阶可逆矩阵Q，使得1101,NDIAGAQQ，B的生成多项式为112210NNXBXBXBBXF。欲使B相似于AQQ1，只需1,2,1,0,NKFKK。记上述以110,NBBB为未知数的方程组的系数矩阵为P，由P可逆知,0P所以该方程组存在唯一解，不妨设为110,NAAA，根据相似关系的传递性可知A相似于循环矩阵B。性质252说明，在一类相似矩阵中，如果这些矩阵可对角化，并且对角化后的矩阵为110,NBBBDIAGB，因为我们知道矩阵P及特征根K由N阶基本循环矩阵确定,根据性质2423，只要1,1,0NJBFJJA，就
27、可以得到N个关于110,NAAA的线性方程组，又由于0A，所以多项式函数FX中的系数110,NAAA是唯一确定的，也就是说，根据克拉默法则，循环矩阵AFA是唯一确定的，所以说可对角化的相似矩阵中，一定含有一个循环矩阵，仅此一个，否则，这类相似矩阵就不可对角化。26循环矩阵的其他性质定理及证明定理2611对任何循环矩阵1210,NAAAACIRCA，均有1211,1NFFFFDIAGAPP13反之，对任何对角矩阵1210,NAAAACIRCA，1PAP必为循环矩阵。其中P如（1）所示，FX为A的本性多项式。证明（1）由于A为循环矩阵，故FA,从而11111,1,1NNFFFDIAGDIAGFPP
28、FPFPAPP（2）由P的表示式11211112111111111NNNNNNP,和1P的表示式113121111N23222121131211111111011111111111NNNNNNNNNP，直接做乘法运算即可得出1010110111113312211102112332222110113322110132101101,1,1,11NKNKNKKNKKKKNNNNNNNNNNNNANANANCIRCPAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANPAP，即1PAP为循环矩阵。性质2612若1110NNXAXAAXF与1NX互素，则1221011NNNXAXAXAAXF，1320122NNN
29、NXAXAXAAXF，1021211NNNNXAXAXAAXF14都与1NX互素。证明因为分别以XFXFXFN121,的系数为元素的循环矩阵和以FX的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由定理2323便可推出此性质。27注解注3克莱默法则如果线性方程组NNNNNNNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111,（1）的系数矩阵NNNNNNNAAAAAAAAAAAAA32122322211131211（2）的行列式0AD,那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为DDXDDXDDXNN,2211，（3）其中JD是把矩阵A中第
30、就J列换成方程组的常数项NBBB，21所成的行列式，即,2,1,1,1,1,21,221,221,11,111,111NJAABAAAABAAAABAADNNJNNJNNNJJNJJJ，（4）3循环矩阵的计算问题31引理引理311设A是N维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必15要条件是，A有N个线性无关的特征向量。推论312矩阵A与B相似的充分必要条件是他们有相同的不变因子。N阶矩阵A关于多项式函数FX生成的矩阵为FA,A的特征根有下面的结论定义313设A是数域P上一N级矩阵，是一个文字，矩阵AE的行列式NNNNNNAAAAAAAAAAE21222211121
31、1（4）称为A的特征多项式，这是数域P上的一个N次多项式。哈密顿凯莱定理设A是数域P上的一个NN矩阵，AEF是A的特征多项式，则OEAAAAAAAFNNNNN11221132循环矩阵的行列式及其逆矩阵321基本方法3211解方程组法引理32111（线性方程组有解判别定理）线性方程组NNSNSSNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA22112222212111212111（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵SNSSNNAAAAAAAAAA212222111211与增广矩阵NSNSSNNBBBAAAAAAAAAA2121222211121116有相同的秩。定理32112设A是第一行元
32、素为1210NAAAA，的循环矩阵，若A可逆，则1A是第一行为110,NBBB的循环矩阵，其中110,NBBB是方程组001110NXXXA的唯一解。证明根据EAA1知,110,NXXX是方程组001102112011223100111221100NNNNNNNNNNNNXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXA（4）的解，因为A可逆，由引理3421，所以方程组（4）有唯一一组解，此方程组的系数矩阵是A，增广矩阵为A，其中00,0,1，E，根据方程组的理论，只要将增广矩阵A进行行初等变换，使矩阵A变成单位矩阵E，如果E变为110,NBBB，那么方程组（4）的唯一解为111100,NNBX
33、BXBX上述过程即为矩阵求逆过程。推论32113设N维向量00,0,1，E，矩阵EAA，对矩阵A进行行初等变换，使矩阵A变为单位矩阵E，如果E变为110,NBBB，那么0132123101112101101,BBBBBBBBBBBBBBBBBBCIRCANNNNN除此之外，我们还可以利用1AEEA,即根据矩阵的初等变换求得，使用这种方法时要注意行列不能交叉变换，或者进行行初等变换或者进行列初等变换。3212伴随矩阵法17定理3212设矩阵A为可逆的循环矩阵，则AAAAAACIRCAN1101,，其中1210NAAAA，分别是第一列元素的代数余子式。证明根据11AAA其中A是A的伴随矩阵，定理3
34、212立即可证。322典型例题例3221求循环矩阵1432214332144321A的行列式值及其逆矩阵。解方法一A的本性多项式为324321XXXXF,令0001100001000010A的特征多项式14EFA，特征值为II321011，所以，160432124321101210IIIIFFFFA根据性质2311设A的逆矩阵为0321103221033210BBBBBBBBBBBBBBBBB其中3210BBBB，为待定常数，则IAB,即100001000010000114322143321443210321103221033210BBBBBBBBBBBBBBBBAB所以18043204320
35、43214320123301223011230BBBBBBBBBBBBBBBB根据克莱姆法则有160A3612304120341023410A4412044103340223111A410344023301221412A402340123041213413A401160440116044011160444091603633221100AABAABAABAAB所以4094014014011401140940140140140114094014014014011409B即A的逆矩阵为194094014014011401140940140140140114094014014014011409B方法二
36、160911116910011007210432161364002200721043212131070541072104321272101082013107043211432214332144321A4011100040101004010010409000140111000411100272101432110364002122002721014321413107023541027210143212721031804131701432101432021430321414321020A所以A的逆矩阵为4094014014011401140940140140140114094014014014011
37、409B或者20409401401401110004011409401401010040140114094010010401401401140900014094014014011100040114094014010100401401140940100104034023407407002140940140140111000401140940140101004023407407403021040364044044040321409401401401110004011409401401010010027210000143214094014014011100021410411100100272100001432191111400002141041110010027210000143217011036400121021220010027210000143210014131070021023541010027210000143211002721001031082000141310700001432110000100001000011432214332144321EA所以A的逆矩阵为4094014014011401140940140140140114094014014014011409B例3222求循环矩阵132213321A的行列
