1、本科毕业设计（20届）一类随机时滞系统周期解的P阶矩指数稳定性研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】时滞系统普遍存在于神经网络的自然过程和实际工程应用中，神经网络是生物学一类重要的时滞系统。它是时滞系统的一类重要应用。时滞效应和随机影响是研究该类问题必须考虑的因素，在本文中，主要研究了神经网络周期解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性问题。利用LYAPUNOV函数，随机分析，HALANAY型不等式，HOLDER不等式，给出一些关于解P阶矩指数稳定性的充分条件。一个例子也证明了结果的正确性和有效性。【关键词】时滞神经网络；随机；P阶矩指数稳定性；周期解。A
2、BSTRACT【ABSTRACT】DELAYEDSYSTEMSAREUNIVERSALLYEXISTINPHYSICALPROCESSANDPRACTICALENGINEERINGNEURALNETWORKS,WHICHAREESSENTIALAPPLICATIONSOFDELAYEDSYSTEMINBIOLOGY,AREANIMPORTANTAPPLICATIONOFDELAYEDSYSTEMBOTHDELAYANDSTOCHASTICEFFECTSSHOULDBETAKENINTOACCOUNTINTHISPAPER,WEMAINLYINVESTIGATETHEISSUEOFPTHMOME
3、NTEXPONENTIALSTABILITYOFPERIODICSOLUTIONSFORSTOCHASTICDELAYEDNEURALNETWORKSBYUTILIZINGLYAPUNOVFUNCTION,STOCHASTICANALYSIS,HALANAYTYPEINEQUALITYANDHOLDERINEQUALITYSOMESUFFICIENTCONDITIONSONPTHMOMENTEXPONENTIALSTABILITYOFTHESOLUTIONHAVEBEENESTABLISHEDANEXAMPLEISALSOPROVIDEDTOILLUSTRATETHATTHERESULTSAR
4、ECORRECTANDEFFECTIVE【KEYWORDS】DELAYEDNEURALNETWORKS；STOCHASTIC；PTHMOMENTEXPONENTIALSTABILITYPERIODICSOLUTION。II目录摘要IABSTRACTI目录II1背景介绍12模型描述及问题准备221模型描述2211模型建立2212模型假设322问题准备43主要结果及证明731证明周期解的唯一存在性7311证明周期解的存在性7312证明周期解的唯一性1032证明周期解的P阶指数稳定性104实例115结论13参考文献14致谢错误未定义书签。11背景介绍时滞系统普遍存在于神经网络的自然过程和实际工程应用
5、中，神经网络是生物学一类重要的时滞系统。过去的几十年中，神经网络有了相当重大的发展，在优化问题、模式识别、联想记忆等实际领域都有重要的应用，见1、7。神经网络发展至今，已出现各种形式的神经网络模型。例如，当信号在神经单元间传递时需要时间，所以时滞因素在模型建立上经常被列入考虑，成为时滞神经网络，见3、4。另外一个是由于外部和内部环境引起的随机干扰因素，就像HAYKIN在20中指出的。实际上，随机时滞有时候会十分不确定，所以作为一个重要的考虑因素随机影响，见5、6。在本文中，时滞效应和随机影响都将纳入模型建立中。周期解的动态行为在一些研究领域十分重要，例如需要不断重复过程的学习理论。在这几年中，
6、关于随机时滞系统的研究主要集中在周期解的存在性和全局指数稳定性分析。一些研究已有结果，例如，在1中，利用POINCARE收敛理论得到确保变时滞随机细胞神经网络周期解存在性，利用LYAPUNOV函数和YOUNG式不等式，得出使解均方指数稳定的充分条件。但是，现有文献大部分都研究了解的均方指数稳定性，关于随机时滞神经网络系统的P阶矩指数稳定性研究结果却很少。综上所述，在本文中，研究了随机时滞神经网络周期解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性。通过LYAPUNOV函数、随机分析、HOLDER不等式等建立了一些新的确保P阶矩指数稳定的充分条件。另外，一个例子也证明了结果的正确性和有效性。22模型描述及问题准
7、备21模型描述211模型建立在本文中，我们研究了如下随机时滞神经网络1111,0210NNNMTIIIIJJJIJJJIJJJJIILIILJJJLIIDXTATXTBTFXTCTGXTTDTKTSHXSDSITDTXTXTTDTTXTTT,1,2,IN。在上述模型中，N2是神经网络单位的数目；12,NXTXTXTXT，其中IXT表示第I个单位在时间T时的状态；0IAT代表第I个单位在不与其他单位接触和不收外界影响的孤立情况下回到静止状态的速率；IJIJIJBTCTDT、表示第J个单位对第I个单位的作用强度；T表示T时刻的传递时滞，0T，是一个正的常数；JJFXT和JJHXT表示在T时第J个单
8、位的输出；JJGXTT表示在TT时第J个单位的输出；IITRR是周期函数，表示周期输入作用；JKTS是定义在0,）上的正实值的连续函数，1NTIJJJJJDTKTSHXSDS表示神经网络中的分布时滞。12,NTTTT是定义在全概率空间PF中M维的BROWNIAN运动，0TTF是由0SST产生的自然流域，我们将与概率P衡量的T产生的标准空间联系起来，在T产生的代数F上定义；IJNN是扩散系数矩阵，,IJIIXY表示随机作用的概率密度；0012,0,BNBNTTTTPCBRPCBFF，R表示实数集，NR表示N维有欧式范数的实数空间，显然T是0F可测，NR值随机变量，我们定义0PESDS。令2,1,
9、NCRR表示非负函数族。定义在,NR上的连续函数,VTX对于X二阶可导，对于T一阶可导。对于每一2,1,NVCRR，根据（21）定义一个算子LV31111,1,2INNNNTTXIIIJJJIJJJIJJJJIJJJTXXLVVTXVTXATXTBTFXTCTGXTTDTKTSHXSDSTRACEVTX其中,TVTXVTXT,IXIVTXVTXX2,XXNNIJVTXVTXXX212模型假设在本文中,有以下几条假设1A对于,IJ,IIJIJIJATBTCTDTT和IIT是定义在0,连续的,以常数0为周期的周期函数。2A对于,IJ0000JJJFGH，0,0IJ。3A0,MAXIJIJTBBT，
10、0,MAXIJIJTCCT，0,MAXIJIJTDDT，0,MAXIITAAT4A,JJFXGX和JHX满足LIPSCHITZ条件，即存在正数,FGHJJJLLL使得对于所有,XYRJFJJJFXFYLXY，GJJJGXGYLXY，HJJJHXHYLXY。5A时滞核函数0,JKRJ，是分段函数，且对于所有0,S满足,0,JKSKSKSR其中是连续可导函数且满足0,SKSEDS其中是正数6A存在非负常数,IIUV对于任意,IIIIXXYYRI满足22,TIIIIIIIIIIIIIIIIXYXYXYXYUXXVYY7A在本文中，定义模为1121,NPNPINIAAAAAAR0112,01SUP,N
11、PNBPINSISCPCBF。11,NPPIIXTXT422问题准备为方便得到本文结果，我们先给出以下定义和引理定义21如果存在正的常数和M，使得（21）的解,XT如果满足,0PPTEXTXTMET其中,XT是系统（21）的一个周期解，2P是整数，则称解,XT是P阶指数稳定的。定义22FTRR是一个连续函数，FT的DINI右导数定义为0LIMTFTTFTDFTT引理21系统（21）一定存在一个解12,NXTXTXTXT。证明显然，,0XT是系统（21）的一个解。引理22HALANAY型不等式2,0,0PAB那么11PPPPABPAB，2222PPPPABPAB。引理23若,PQR和是非负常数，
12、2,NVXPCRR且满足系统（21）的0SUP0TSTLVXTPVXTQVXSRKSVXTSDST22其中KS是假设5A中所提及的。假设0IPQRKSDS23II存在0,满足0SPQERKSEDS24那么，存在一个0M使得50TEVXTMEVE其中00SUPTVVXT证明令00TVXTETFTVXTT25现在我们需要得出00FTVT假设结论不成立，则存在一个0,T使得0FTV显然当0T时，0FTV，令0INF0,TTFTV，那么00,0FTVFTVTTDFT26由（22），（23），（24），（26），依据（25）计算DFT得|TTDFT|TTTTTDVXTEDVXTEVXTE000SUPSU
13、PSUPTTTSTTTSTTTTSTSTPVXTQVXSRKSVXTSDSEVXTEPVXTQVXSRKSVXTSDSEQEVXTEQEVXSRVXTEKSEDS0STSRKSEVXTSEDS假设SUP,TTTSTVVXTTT，那么|TTDFT0000000TTTTTSSTSSSTSQEFTQEVERVXTEKSEDSRKSEVXTSEDSQEFTQEFRFTKSEDSRKSEFTSDSQEFTQEVRFTKSEDSRVK00SSEDS这与（26）中的0FTV矛盾，所以对于所有的0,T，0FTV，即00TVXTVET，存在一个足够大的0M，成立600TVXTMVET引理24若2,0IPAI，那
14、么11PNNPPQIIIIANA证明该结论是HOLDER不等式中当1,IBI的特殊情况。HOLDER不等式若110,0,1,1,1IIABIPQPQ，则11111NNNPQPQIIIIIIIABAB证明如下若110,0,1,1,1PQPQ，则PQPQ，令1111,PQPQIINNIIAB，由（）得111111111111111111111111NPQPQIINNPQIIIIINNNNNNPQPQIIPQPQIIIIIIIIIIIIPQNNIINNPQIIIIIIABABABPQABABABPQPQAB（）（）证毕。73主要结果及证明在这个部分，主要研究了系统（21）周期解的唯一存在性和P阶矩指
15、数稳定性。定理1假设1A7A成立，若满足以8A和9A，则系统（21）存在唯一一个以为周期的周期解，该解P阶矩指数稳定。8A01111011MIN1MAXMAX1MAXMAXMAXMAXMAXMAXFNNNNFGHIIIJJJJIIJJIJJJIIIIIIIJJJJIGNNHIJJIIIJJIIJJIILPAPBLMBPCLDLKSDSUMLMCVDLKSDSM9A11101101MIN1MAXMAX1MAXMAXMAXMAXMAXMAXFNNNFGIIIJJJJIIJJIIIIJJJIGNNHIIJJJIJJIIIIIIJJINHSIJJJILPAPBLMBPCLMLDLKSDSUMCVEMD
16、LKSEDS31证明周期解的唯一存在性311证明周期解的存在性证明假设12,NXTXTXTXT是系统（21）的任意一个解，012,BNPCBF,定义,0,IIXTTI则12,NXTXTXTXT也是系统（21）的一个解，012,BNFPCB。8令1,0NPIIIIIVXTMXTXTMI，,IIIXTXTYT则由引理（22）和系统（21）得12221122,0,SGN1,IPTXIIIPPPXXNNVTXVTXPMYTYTVPPDIAGMXMXMX1011,NIIIIIIIJJJJJJNNIJJJJJIJJJJJJJJILIDYTDXTXTATXTXTBTFXTFXTCTGXTTGXTTDTKSH
17、XTSHXTSDSDTXT1,MIILIIILXTTXTXTTDT110111,12INNXIIIIJJJJJIJNNIJJJJJIJJJJJJJJTXXIILVVTXATXTXTBTFXTFXTCTGXTTGXTTDTKSHXTSHXTSDSTRACEVPM1101121SGN,12NNPIIIIIIJJJJJJNNIJJJJJIJJJJJJJJNPIIIYTYTATXTXTBTFXTFXTCTGXTTGXTTDTKSHXTSHXTSDSPPMY1111111SGN,IIIIIIIIIITIIINNNNNPPPFIIIIIJIJJIIJIJIIJIJTYTXTXTTXTXTTXTXTTXTX
18、TTPMATYTPMBTYTLYTPMCTYTL101111111111122|1|GJNNNNPPPHIIJIJJJIIIIIIIJIINNNNNPPPFGIIIIIJJIJIIJJIIJIJYTTPPPPPMDTYTLKSYTSDSMUYTMVYTTPMATYTMBTLPYTYTMCTL01111111|122PPIJNNNNPPPPHIIJJJIIIIIIIIIJIIPYTYTTPPPPMDTLKSPYTYTSDSMUYTMVYTT91111101111111|1|NNNNNPPPJFFIIIIIIJJIIJIIIIJJIINNNNNNPPPJGGHIIIJJIIJIIIIIJJJIJJ
19、IIJIMPATMYTMYTPBTLMYTBTLMMMYTPCTLMYTTCTLMYTDTLKSM0111111111|22MIN1MAXMAX1MAXMAXNNNNPPPHIJJIJJIIIIIIIJIIFNNNFGIIIJJJJIIJJIIIIJJJIIJIDSPPPPMKSYTSDSDTLMYTUMYTTVLPAPBLMBPCLMD01101111MAXMAXMAXMAXNNPHJJIIIIJIGNNNNPPHIJJIIIIIJJJJIIJJIIJILKSDSUMYTLMCVMYTTDLKSMYTSDSM111011MIN1MAXMAX1MAXMAXMAXMAXMAXSUPMAXFNNN
20、FGIIIJJJJIIJJIIIIJJJINHIJJJIIIJGNIJJIIIIJTSTJILPAPBLMBPCLMDLKSDSUVXTLMCVVXSM01NHIJJIDLKSVTSDS令01111MIN1MAXMAX1MAXMAXMAXFNNNNFGHIIIJJJJIIJJIJJJIIIIIIIJJJJILPPAPBLMBPCLDLKSDSUM11MAXMAXMAXGNIJJIIIIJINHIJJJILQMCVMRDL由8A,9A和引理23,得到00TEVXTMEVET（31）表明当,IJMMIJ时01101,SUP,SUPPPNNTIIIITIIPNPTTTIEXTXTMEXTXTEMES
21、SEMEE（32）根据可测函数积分性质得1,0PNPTIIIXTXTMEAET3310即1|,|0NPPTIIIXTXTMEAET34根据引理（24），得到11|,|,|QNNPPPIIIIIINXTXTXTXT35根据（34）、（35）得到1|,|0TNPQPIIIXTXTNMEAET36因为1,1,KIIIISXTKXTXTSXTS37所以11111LIM,LIM,1,LIMKIIIIKKSTSKPQPKSTSPQPPSXTKXTXTSXTSNMENMEE即11LIM,TSPQPPIIKSXTKXTNMEE38表明LIM,IKXTKAE存在。定义012,LIM,BIINKXTXTKPCBX
22、TXTXTXT其中F，由（38）可以看出,IXT显然是（21）一个以为周期的周期解。312证明周期解的唯一性证明假设系统（21）存在另外一个以为周期的周期解012,BNYTYTYTYTPCBF，通过对上述证明中（33）微小更改，得到11,0PPNNPTKIIIIIIXTYTXTKYTKMEAET显然，,0IIXTYTKAET表明当T时，系统（21）的周期解是唯一的。32证明周期解的P阶指数稳定性11证明令1,0NPIIIIIVTMXTYTMI代替311中的1,0NPIIIIIVXTMXTXTMI，根据（32），得到1,0NPPPTIEXTYTEXTYTMET根据定义21，显然,YT是P阶矩指数
23、稳定的。4实例在这个部分，给出一个数值例子来证明结论的有效性。例子41考虑一个二维随机神经网络22221111,041TIIIIJJJIJJJIJJJJIILIILJJJLDXTATXTBTFXTCTGXTTDTKTSHXSDSITDTXTXTTDTT其中221,2106SIN20,084COS2ITATT22105COS20412COS2,0202SIN20601SIN2IJTTBT220102SIN20104COS2,03503COS2015035SIN2IJTTCT0104COS2035095COS2,0201COS201COS2IJTTDT3SIN2,1COS2ITITT123,03,
24、0402,01,008002SIN2,03TANH,0,5004SIN,02|,1,1,050,1,08,05FGHJJJJSSJIIIIPLLLTTFXXESGXXHXXKSKSKSEUVSM由3A得1241516030505125,40407065050311IIJIJIJABCD算得222201111MIN1MAXMAX1MAXMAXMAX718FFGHIIIJJJJIIJJIJJJIIIIIJJJJIIILPAPBLMBPCLDLKSDSMU22011MAXMAXMAX193718GHIJJIIIJJIIJJIILMCVDLKSDSM符合8A；22220111122011MIN1MAX
25、MAX1MAXMAXMAXMAXMAXMAXFFGHIIIJJJJIIJJIJJJIIIIIJJJJIGHSIIJJIIIJJIIIJJIILPAPBLMBPCLDLKSDSMLUMCVEDLKSEDM5758805S符合9A。135结论本文运用LYAPUNOV函数，HALANAY型不等式和HOLDER不等式研究了随机时滞神经系统周期解的唯一存在性和P阶距指数稳定性。值得一提的是在模型建立过程中，考虑了分布时滞，另外，相对于大量文献研究解的均方稳定性，本文对保证周期解P阶距稳定性的充分条件进行了研究。同时给出一个实例来证明本文所的结果的有效性。然而，本文并未考虑脉冲影响。所以，对所考虑模型周期
26、脉冲干扰因素存在很大的研究空间，对于神经网络这个课题的研究也一直在发展当中。14参考文献1JUNXIANGLU,YICHENMAMEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONOFSTOCHASTICDELAYCELLULARNEURALNETWORKSJCHAOSSOLITONSANDFRACTALS38,2008132313312CHUANGXIAHUANG,YIGANGHE,LIHONGHUANG,WENJIZHUPTHMOMENTSTABILITYANALYSISOFSTOCHASTICRECURRENTNEURALNETWORKSWI
27、THTIMEVARINGDELAYSJINFORMATIONSCIENCE178,2008219422033XLI,JCAOEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICINTERVALHOPFIELDNEURALNETWORKSWITHTIMEVARYINGDELAYSJNEURALNETWORKWORLD161,200731404CHUALO,YANGLCELLULARNEURALNETWORKSTHEORYJ,IEEETRANSCIRCSYST3510,19881257725CHUALO,YANGLCELLULARNEURALNETWORKSAPPLICATIONSJI
28、EEETRANSCIRCSYS3510,19881273906COHENMA,GROSSBERGSABSOLUTESTABILITYANDGLOBALPATTERNFORMATIONANDPARALLELMEMORYSTORAGEBYCOMPETITIVENEURALNETWORKJIEEETRANS,SYSTEMSMANCYBERNET13,200063697WANL,SUNJMEANSQUAREEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYEDHOPFIELDNEURALNETWORKSJPHYSLETTA,20063063188QSONG,ZWANGSTABI
29、LITYANALYSISOFIMPULSIVESTOCHASTICCOHENGROSSBERGNEURALNETWORKSWITHMIXEDTIMEDELAYSJPHYSICAA387,2008331433269CHENY,WUJMINIMALINSTABILITYANDUNSTABLESETOFAPHASELOCKEDPERIODICORBITINADELAYNEURALNETWORKJDHYSICAD134,199918519910JCAO,JWANGGLOBALASYMPTOTICSTABILITYOFAGENERALCLASSOFRECURRENTNEURALNETWORKSWITHT
30、IMEVARYINGDELAYJIEEETRANSCIRCSYST1502003344411XLIGLOBALEXPONENTIALSTABILITYFORACLASSOFNEURALNETWORKSJAPPLMATHLETT22,20091235123912QZHOU,LWANEXPONENTIALSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYEDHOPFIELDNEURALNETWORKSJAPPLMATHCOMPUT199,2008848913CHUANG,JCAOALMOSRSUREEXPONENETIALSTABILITYOFSTOCHASTICCELLULARNEURALNE
31、TWORKSWITHUNBOUNDEDDISTRIBUTEDDELAYSJNEUROCOMPUTING72,20093352335614XYANGEXISTENCEANDGLOBALEXPONENTIALSTABILITYOFPERIODICCOHENGROSSBERGSHUNTINGINHIBILITYCELLULARNEURALNETWOEKSWITHDELAYSANDIMPULSESJNEUROCOMPUTING72,20092219222615ROSKAT,WUCW,CHUALOSTABILITYOFCELLULARNEURALNETWORKSWITHDOMINANTNONLINEAR
32、ANDDELAYTYPETEMPLATESIEEETRANSCIRCSYSTPTI,1994,51852816MASTSUOKAKSTABILITYCONDITIONSFORNONLINEARCONTINOUSNEURALNETWORKSWITHASYMMETRICCONNECTIONWEIGHTSNEURALNETWORKSJ,199249550017BLYTHES,MAOX,LIAOXSTABILITYOFSTOCHASTICDELAYJNEURALNETWORKSJFRANKLININST,200116518518XJCAO,NEWRESULTSCONCERNINGEXPERIENTIALSTABILITYANDPERIODICSOLUTIONSOFDELAYEDCELLULARNEURALNETWORKS,PHYSLETTJA20720031361471519HZHAO,JCAONEWCONDITIONSFORGLOBALEXPONENTIALSTABILITYOFCELLULARNEURALNETWORKSWITHDELAYSJNEURALNETWORKS18,20051332134020SHAYKINNEURALNETWORKSMPERENTICHALL,NJ,1994
