1、琢玉专题1专题：数轴穿根法“数 轴 穿 根 法 ”又 称 “数 轴 标 根 法 ”第 一 步 ： 通 过 不 等 式 的 诸 多 性 质 对 不 等 式 进 行 移 项 ， 使 得 右 侧 为 0。 （ 注 意 ： 一定 要 保 证 x 前 的 系 数 为 正 数 ）例 如 ： (x-2)(x-1)(x+1)0第 二 步 ： 将 不 等 号 换 成 等 号 解 出 所 有 根 。例 如 ： (x-2)(x-1)(x+1)=0 的 根 为 ： x =2， x =1， x =-113第 三 步 ： 在 数 轴 上 从 左 到 右 依 次 标 出 各 根 。例 如 ： -1 1 2 第 三 步 ：
2、画 穿 根 线 ： 以 数 轴 为 标 准 ， 从 “最 右 根 ”的 右 上 方 穿 过 根 ， 往 左 下 画 线， 然 后 又 穿 过 “次 右 跟 ”上 去 ， 一 上 一 下 依 次 穿 过 各 根 。第 四 步 ： 观 察 不 等 号 ， 如 果 不 等 号 为 “”， 则 取 数 轴 上 方 ， 穿 根 线 以 内 的 范 围； 如 果 不 等 号 为 “0 的 解 。因 为 不 等 号 威 “”则 取 数 轴 上 方 ， 穿 根 线 以 内 的 范 围 。 即 ： -12。穿 根 法 的 奇 过 偶 不 过 定 律 ： “奇 穿 过 ， 偶 弹 回 ”。还 有 关 于 分 式
3、的 问 题 ： 当 不 等 式 移 项 后 ， 可 能 是 分 式 ， 同 样 是 可 以 用 穿 根 法 的 ，但 是 注 意 ， 解 不 能 让 原 来 分 式 下 面 的 式 子 等 于 0专项训练：1、解不等式 )3(1)2(xx解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式 、 、 的根分别是 、 、 。在数轴上把它们)()()(213标出（如图 1） 。3）从最大根 3 的右上方开始，向左依次穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。4）数轴上方曲线对应的 的取值区间，为 的解集，x
4、 0)3(1)2(xx数轴下方曲线对应的 的取值区间，为 的解集。不等式 的解集为 。0)3()12(xx ),(),2(在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为312图 1x琢玉专题2什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的 的集合是大于零不等式的x解集，数轴下方曲线对应 的集合是小于零不等式的解集。x2、解不等式 0)3(12)(解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式 、 、 的根分别为 、 、 ，在数轴上把它们)(x2)(3)(x23标出（如图 2） 。3）从最大根 3 的右上方开始向左依次穿线，次
5、数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。4）数轴上方曲线对应的 的取值区间，为 的解集，数x 0)3(12)(xx轴下方曲线对应的 的取值范围，为 的解集。1(的解集为0)3(12)(xx ),(,数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式一、数轴标根法解不等式例 1.解下列不等式1.（x-1） （x-2）(x+3)0 2. （x-1） （x-2）(x+3)a(a0) _ |x|0) _例 3:解下列不等式1. 2. 312x 0)1(x3.|x2-2x|x 2. 4. )(x巩固练习1. 解不等式 2. 解不等式 23107x 31x3.不等式 的解集是 x124 .（2012
6、 山东理）若不等式 的解集为 ，则实数 _.42kx13xk5. 解不等式（2x- 1） 2（x-2） 3 (x+1) 06. 解不等式（3- x） 2（x-2）(x+1) 7琢玉专题4不等式解法 15 种典型例题典型例题一例 1 解不等式：（1） ；（2） 01523x 0)2(5)4(3xx分析：如果多项式 可分解为 个一次式的积，则一元高次不等式 （或)(xfnf）0)(xf可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：（1）原不等式可化为 0)3(52x把方程 的三个根0)3(52x顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集,01x如下图的阴影部分原不等式解集为 325x
7、或（2）原不等式等价于 0)2(5)4(3x原不等式解集为 0)2(45x或x或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 的系数必为正；对于偶次x或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如图典型例题二例 2 解下列分式不等式：（1） ； （2）123x127342x分析：当分式不等式化为 时，要注意它的等价变形)0()或xgf ； (0)(fxgf 0)()(xgfxgf（1）解：原不等式等价于 02323x琢玉专题50)2(650)2(3xx)()(1)(16x用“穿根法”原不等式解集为 。,62,),(（2）解法一：原不等式等价于 0
8、7312x)(13(22xx 027310273122 xx或，原不等式解集为 。或或 ),(),(解法二：原不等式等价于 0)2(13x 0)2(13)(1xx用“穿根法”原不等式解集为 ,典型例题三例 3 解不等式 242x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 ；二是根据绝对值的性质： 或)0(a axaxax.,，因此本题有如下两种解法x解法一：原不等式 ，即240202 xx或12x或或或 或 ，故原不等式的解集为 3231x解法二：原不等式等价于 24)(2x即 )2(42x313x故或琢玉专题6典型例题四例 4 解不等式 0412562x
9、分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于 二次式的商，由商的符号法则，它等价x于下列两个不等式组： 或 ，所以，原不等式的解集是上0412562x0415622面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集： 或0412,562x 041,5622x或 或;0)6(2,51x;0)6(2,51x；6,6,或或或 或 原不等式解集是 , 512xx， 或， 或解法二：原不等式化为 画数轴，找因式根，分区间，定符号0)6(251x符号)6(251x原不等式解集是 6512xx， 或， 或说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，
10、再求两组的解的并集，否则会产生误解解法二中， “定符号”是关键当每个因式 的系数为正x值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用典型例题五例 5 解不等式 xx223分析：不等式左右两边都是含有 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解解：移项整理，将原不等式化为 0)1(32(x由 恒成立，知原不等式等价于 012x )1(32x解之，得原不等式的解集为 1x或琢玉专题7说明：此题易出现去分母得 的错误解法避免误解的方法是移)23(2xx项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析
11、不等式是否有解，从而使求解过程科学合理典型例题六例 6 设 ，解关于 的不等式 Rmx032mx分析：进行分类讨论求解解：当 时，因 一定成立，故原不等式的解集为 003R当 时，原不等式化为 ；0)1(3x若 时，解得 ；若 时，解得 mmmx31综上：当 时，原不等式的解集为 ；0 x3当 时，原不等式的解集为 mm1说明：解不等式时，由于 ，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为R当 时，原不等式化为 ，此时不等式的解集为 ，所以解题时应分 与003R0m两种情况来讨论在解出 的两根为 ， 后，认为 ，这也是易出现2mxmx311213的错误之处这时也应分情况来讨论：当 时， ；当
12、时， 0013典型例题七例 7 解关于 的不等式 x)(12axax分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解解：原不等式 或;)1(2,0)1(22xax.01,(2x由 ，得： 0a;01)(2,)(2axx.1,2)(xa由判别式 ，故不等式 的解是84)1(a 0)(22axa221琢玉专题8当 时， ， ，不等式组(1)的解是20a12a12a，不等式组(2)的解是 当 时，不等式组(1)无解，(2)的解是11xx2x综上可知，当 时，原不等式的解集是 ；当 时，原不等20a,21a2式的解集是 ,说明：本题分类讨论标准“ ， ”是依据“已知 及(1)中 ，20a0
13、a2ax，(2)中 ， ”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，1x2ax1也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定本题易误把原不等式等价于不等式纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法)1(2xax典型例题八例 8 解不等式 3042分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可解答：去掉绝对值号得 ，31042x原不等式等价于不等式组 06143104322 xx .321,50)2(305xx或原不等式的解集为 5或说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值
14、的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解典型例题九例 9 解关于 的不等式 x0)(322ax分析：不等式中含有字母 ，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法a完全一样：求出方程 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根)(322含有字母 ，故需比较两根的大小，从而引出讨论a解：原不等式可化为 0)(2ax琢玉专题9(1)当 （即 或 ）时，不等式的解集为： ；2a10a2ax或(2)当 （即 ）时，不等式的解集为： ；x或2(3)当 （即 或 1）时，不等式的解集为： 2a0 axR且说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以
15、分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 ， ，因此不12等式的解就是 小于小根或 大于大根但 与 两根的大小不能确定，因此需要讨论xxa2， ， 三种情况2a22a典型例题十例 10 已知不等式 的解集是 求不等式02cbx)0(x的解集02abxc分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数 的正负，然后求出方程c的两根即可解之2解：(解法 1)由题可判断出 ， 是方程 的两根，02cbxa ， 又 的解集是 ，说明 abc xx0a而 ， ， 000ca022cbabx ),1(1,acb ，即 ， 即 02cxb 0(2 xx 0)1(x又 ， ， 的解集为 01)1(1
16、x(解法 2)由题意可判断出 ， 是方程 的两根，02cbxa 又 的解集是 ，说明 ac 02cbx0a而 ， 0a琢玉专题10对方程 两边同除以 得 02abxc2x0)1()(2cxba令 ，该方程即为 ，它的两根为 ， ，t102ctb1t2t ， ， ，方程 的两根为 ， 1x21x2 02abxc1 ， 不等式 的解集是 002abxc x说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， ， 的关系也用 ， 表示出来；(3)注意解法 2 中用“变换”的
17、方法求abc方程的根典型例题十二例 12 若不等式 的解为 ，求 、 的值122xbx )1()3(， ab分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于 、 式ab子解： ， ，043)21(2xx 04)2(2xx原不等式化为 依题意 ，0)()(2baxba34210baba 235ba说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解典型例题十三例 13 不等式的解集为 ，求 与 的值21xab分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 ，不等式21x需满足条件 ， ， 的两根为 ， 02bxa0a02bxa12x解法一：设 的两根为 ， ，由韦达定理得：x1x2
