1、高中数学 16 个二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数 f(x)是定义在集合 D 上的奇函数,则对任意的 xD,都有 f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数 f(x)在 D 上有最值,则 f(x)max+f(x)min=0,且若 0D,则 f(0)=0.例 1 设函数 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= . 2(1)sinxf跟踪 集训 1.(1)已知函数 ,则 =( ) 2()l93)1fx1(lg2)(lffA.-1 B.0 C.1 D.2(2)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,bR,cZ),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出
2、的正确结果一定不可能是( )A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2结论二 函数周期性问题已知定义在 R 上的函数 f(x),若对任意的 xR,总存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x),则称 f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果 f(x+a)=-f(x)(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(2)如果 f(x+a)= (a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.1()fx(3)如果 f(x+a)+f(x)=c(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.(4)如果
3、 f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=6a.例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f =-f(x),且 f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)3()2x+f(2 014)+f(2 015)=( )来源:Zxxk.ComA.-2 B.-1 C.0 D.1跟踪集训 2.(1)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则 f(2 014)=(
4、)A.-1 B.0 C.1 D.22log(1),0,xff结论三 函数的对称性已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数.(1)若 f(a+x)=f(b-x)恒成立,则 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,特别地,若 f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)2ab的图象关于直线 x=a 对称.(2)若 f(a+x)+f(b-x)=c,则 y=f(x)的图象关于点 中心对称.特别地,若 f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则()2abcy=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例 3 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1-x),且在1,+)上是增函数
5、,不等式 f(ax+2)f(x-1)对任意的 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.-3,-1 B.-2,0 C.-5,-1 D.-2,112跟踪集训 3.(1)若偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)= . (2)函数 y=f(x)对任意 xR 都有 f(x+2)=f(-x)成立,且函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则 f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .结论四 反函数的图象与性质若函数 y=f(x)是定义在非空数集 D 上的单调函数,则存在反函数 y=f-1(x).特别地,y=a x与
6、y=logax(a0 且 a1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线 y=x 对称,即(x 0, f(x0)与(f(x 0),x0)分别在函数 y=f(x)与反函数 y=f-1(x)的图象上.例 4 设点 P 在曲线 y= ex上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )12A.1-ln 2 B. (1-ln 2) C.1+ln 2 D. (1+ln 2)来源:学科网 ZXXK跟踪集训 4.若 x1满足 2x+2x=5,x2满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=( )A. B.3 C. D.4527结论五 两个对数、指数经典不等式1.对数形式:
7、1- ln(x+1)x(x-1),当且仅当 x=0 时,等号成立.1x2.指数形式:e xx+1(xR),当且仅当 x=0 时,等号成立.例 5 设函数 f(x)=1-e-x.证明:当 x-1 时, f(x) .1x跟踪集训 5.(1)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为( )1ln()x(2)已知函数 f(x)=ex,xR.证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点.1结论六 三点共线的充要条件设平面上三点 O,A,B 不共线,则平面上任意一点 P 与 A,B 共线的充要条件是存在实数 与 ,使得,且 .特别地,当 P 为线段 AB 的中点时, .OPA
8、B112OPAB例 6 已知 A,B,C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在直线 l 上,则使等式 成立的实数 x 的0xC取值集合为( )A.-1 B. C.0 D.0,-1跟踪集训 6.在梯形 ABCD 中,已知 ABCD,AB=2CD,M、N 分别为 CD、BC 的中点.若 ,则 .ABMN结论七 三角形“四心”的向量形式设 O 为ABC 所在平面上一点,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则(1)O 为ABC 的外心 .|2sinaOABCA(2)O 为ABC 的重心 .0(3)O 为ABC 的垂心 .OABCOA(4)O 为ABC 的内心 .0abc例 7 已知 A,
9、B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 ,则点1()(1)(2),3OABOCRP 的轨迹一定经过( ) A.ABC 的内心 B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心 D.AB 边的中点跟踪集训 7.(1)P 是ABC 所在平面内一点,若 ,则 P 是ABC 的( )ABCA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ,则 P 点,(0)2OBCAP的轨迹一定通过ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ,则(),0)|BACP 的
10、轨迹一定通过ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心结论八 等差数列1.若 Sm,S2m,S3m分别为等差数列a n的 前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.2.若等差数列a n的项数为 2m,公差为 d,所有奇数项之和为 S 奇 ,所有偶数项之和为 S 偶 ,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S 偶 -S 奇 =md, .1mSa奇偶3.若等差数列a n的项数为 2m-1,所有奇数项之和为 S 奇 ,所有偶数项之和为 S 偶 ,则所有项之和 S2m-1=(2m-1)am,S 奇 =mam,S 偶 =(m-1)am,
11、S 奇 -S 偶 =am, .1S奇偶例 8 (1)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6(2)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则 m 等于 . 2跟踪集训 8.(1)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S10=20,S20=50,则 S30= . (2)一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227,则数列的公差 d= .结论九 等比数列已知等比数列a n,其公比为 q,前 n 项和为 Sn.
12、(1)数列 也为等比数列,其公比为 .1na1q(2)若 q=1,则 Sn=na1,且a n同时为等差数列.(3)若 q1,则 Sn= .11 1 1() ()nnnaqaaqq(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(q-1 或 q=-1 且 n 为奇数),其公比为 qn.(5)Sn, , ,仍为等比数列,公比为 .2S3n 2nq例 9 (1)已知a n是首项为 1 的等比数列,S n是a n的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 的前 5 项和为( ) 1naA. 或 5 B. 或 5 C. D. 183636158(2)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 =3,
13、则 =( )A.2 B. C. D.3396S738跟踪集训 9.在等比数列a n中,公比为 q,其前 n 项和为 Sn.已知 S5= ,a3= ,则 .14123451aa结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长 d 与共点三条棱长 a,b,c 之间的关系为 d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为 R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为 a 的正四面体内切球半径 r= ,外接球半径 R= .612a64a例 10 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时,小
14、球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面78积等于( )A. B. C. D. 7632跟踪集训 10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是 1,且其外接球的表面积是 16,则该三棱柱的侧棱长为( )A. B. C. D.3142346(2)已知正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 E 是线段AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是( )A. B.2 C. D.37494结论十一 焦点三角形的面积公式1.在椭圆 (ab0),F1,F2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则PF 1F
15、2的面积 ,其中2xyab 12tanPFSbA=F 1PF2.2.在双曲线 1(a0,b0)中,F 1,F2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则PF 1F2的面积21xyab,其中 =F 1PF2.12tnPFSA例 11 已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且F 1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的3倒数之和的最大值为( ) A. B. C.3 D.2432跟踪集训11.(1)如图 ,F1,F2是椭圆 C1: 与双曲线 C2的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2在第二、24xy四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形,则 C2的离心率是( ) A.
16、B. C. D. 236(2)已知 F1,F2是椭圆 C: (ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 一上点,且 .若PF 1F2的面积为21xyab 12PF9,则 b= .结论十二 圆锥曲线的切线问题 1.过圆 C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点 P(x0,y0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆 上一点 P(x0,y0)的切线方程为 .21xyab021xyab3.已知点 M(x0,y0),抛物线 C:y2=2px(p0)和直线 l:y0y=p(x+x0).(1)当点 M 在抛物线 C 上时,直线 l 与抛物线 C 相切,其中 M 为切点,
17、l 为切线.(2)当点 M 在抛物线 C 外时,直线 l 与抛物线 C 相交,其中两交点与点 M 的连线分别是抛物线的切线,即直线 l 为切点弦所在的直线.(3)当点 M 在抛物线 C 内时,直线 l 与抛物线 C 相离.例 12 已知抛物线 C:x2=4y,直线 l:x-y-2=0,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B为切点,当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程.跟踪集训 12.(1)过点(3,1)作圆(x-1) 2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( )A.2x+y-3=0 B
18、.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆 C: ,点 P ,则椭圆 C 在点 P 处的切线方程为 .2143xy3()2结论十三 圆锥曲线的中点弦问题 1.在椭圆 E: (ab0)中:21xyab(1)如图所示,若直线 y=kx(k0)与椭圆 E 交于 A,B 两点,过 A,B 两点作椭圆的切线 l,l,有 ll,设其斜率为 k0,则k0k= .2a(2)如图所示,若直线 y=kx 与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为椭圆上异于 A,B 的点,若直线 PA,PB 的斜率存在,且分别为k1,k2,则 k1k2= .ba(3)如图所示,若直线 y=kx+m(k0
19、 且 m0)与椭圆 E 交于 A,B 两点,P 为弦 AB 的中点,设直线 PO 的斜率为 k0,则k0k= .2ba提醒该结论常变形为:以椭圆 内任意一点(x 0,y0)为中点的弦 AB 的斜率 k= .21xyab 20xbay2.在双曲线 E: (a0,b0)中,类比上述结论有:(1)k 0k= .(2)k1k2= .(3)k0k= .21xyab 2baba2ba例 13 已知椭圆 E: (ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点2xy坐标为(1,-1),则椭圆 E 的方程为( )A. B. C. D. 214536xy21367
20、xy2178xy2189xy跟踪集训 13.(1)椭圆 C: 的左,右顶点分别为 A1,A2,点 P 在椭圆上且直线 PA2的斜率的取值范围是-24xy2,-1,那么直线 PA1的斜率的取值范围是 . (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆 于 P,A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作214xyx 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.对任意 k0,求证:PAPB.结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点 P(非顶点)与曲线上的两动点 A,B 满足直线 PA 与 PB 的
21、斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线 AB 的斜率为定值.图示 条件 结论已知椭圆 (ab0),定点 P(x0,y0)21xyab(x0y00)在椭圆上,A,B 是椭圆上的两个动点,直线 PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线 AB 的斜率 kAB为定值20bxay已知双曲线 (a,b0),定点21xyabP(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,A,B 是双曲线上的两个动点,直线 PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0直线 AB 的斜率 kAB为定值20bxay已知抛物线 y2=2px(p0),定点 P(x0,y0)(x0y00)
22、在抛物线上,A,B 是抛物线上两个动点,直线 PA,PB 的斜率分别为 kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线 AB 的斜率 kAB为定值 0py例 14 已知抛物线 C:y2=2x,定点 P(8,4)在抛物线上,设 A,B 是抛物线上的两个动点,直线 PA,PB 的斜率分别为kPA,kPB,且满足 kPA+kPB=0.证明:直线 AB 的斜率 kAB为定值,并求出该定值.跟踪集训 14.已知椭圆 C: ,A 为椭圆上的定点且坐标为 ,E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线2143xy31,2（ ）AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数.证明:直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆 (ab0)上异于右顶点的两动点 A,B,以 AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线 lAB过定21xyab点 .同理,当以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线 lAB过定点 .2(0) 2(,0)ab(2)对于双曲线 (a0,b0)上异于右顶点的两动点 A,B,以 AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线 lAB21xyab过定点 .同理,对于左顶点(-a,0),则定点为 .2(0) 2(,0)ab
