1、1近五年上海高考汇编立体几何一、填空题1.（2009 年高考 5）如图，若正四棱柱 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 与 所成1-ABCD1BDA角的大小是_ _.（结果用反三角函数值表示）答案： arctn52.（2009 年高考理科 8）已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ，1R23321R1S2满足的等量关系是_ _.3S答案： 123S3.（2009 年高考文科 6）若球 的面积之比 ，则它们的半径之比 _ _.12,O124S12R答案：24.（2009 年高考文科 8）若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_
2、_.答案： 35.（2010 年高考理科 12）如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 中， 与 相交于点 ，剪去ABCDBO，将剩余部分沿 折叠，使 重合，则以 为顶点的四面体的体积是AOBV,OCD,O(),_ _.答案： 8236.（2010 年高考文科 6）已知四棱锥 的底面PABCD2是边长为 6 的正方体，侧棱 底面 ，且 ，则该四棱锥的体积是_ _.PABCD8PA答案：967.（2011 年高考理科 7）若圆锥的侧面积为 ，底面面积为 ，则该圆锥的体积为_ _.2答案： 38.（2011 年高考文科 7）若一个圆锥的主视图是边长为 3，3，2 的三角形，则该圆锥的侧面积为_ _
3、.答案：9.（2012 年高考理科 6）有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为，则 _ _.12,.,.nV12lim(.)nnV答案： 8710.（2012 年高考理科 8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为_ _ .2答案： 311.（2012 年高考理科 14）如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱， ，若 ，且ADBCAD2BCADc，其中 为常数，则四面体 的体积的最大值是_ _ .2ABDCa,cB答案： 213ca12.（2012 年高考文科 5）一个高为 2 的圆柱，底面周长为 ，该圆柱的表面积为_ _ .2答案： 613.
4、（2013 年高考理科 13）在 平面上，将两个半圆弧 和 、xOy2(1)(1)xyx2(3)1(3)yx两条直线 和 围成的封闭图形记为 ，如图中阴影部分记 绕 轴旋转一周而成的几何体为1yDDy过 作 的水平截面，所得截面面积为 试利用祖暅原理、一个平放的(0,)|248圆柱和一个长方体，得出 的体积值为_ _ .3答案： 21614.（2013 年高考文科 10）已知圆柱 的母线长为 ，底面半径为 ， 是上底面圆心， 、 是下底面圆周lrOAB上两个不同的点， 是母线，如图若直线 与 所成角的大小为 ，则 _ _.BCOABC6lr答案： 3二、选择题1.（2009 年高考文科 16）
5、如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 （ ） y Oxyz443(D)(C)(B)(A) 54433444答案：B三、解答题1.（2009 年高考理科 19）如图，在直三棱柱 中， ,ABC2ABC,求二面角 的大小ABCB4答案：如图，建立空间直角坐标系则 A ，C ，A 1 ，B 1 ，C 1 ， 2,0,20,20,2设 AC 的中点为 M， BM AC，BM CC1， BM 平面 AC1C，即 = 是平面 AC1C 的一个法向量。设平面 A1B1C 的一个法向量是 = ，B1,0 n,xyz= ， =
6、 ， = =0， = ， ，1AC2B2,0n2x1201解得 。 = ， ,xyn设法向量 与 的夹角为 ，二面角11BA的 大 小 为 ， 显 然 为 锐 角11cos .23.BMnAC， 解 的二 面 角 的 大 小 为2.（2010 年高考理科 21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6米铁丝骨架将圆柱底面 8 等分再用 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面） S（1）当圆柱底面半径 取何值时， 取得最大值？并求出该最大值（精确到 0.01 平方米） ；r（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯当灯笼底面半径为
7、0.3 米时，求图中两根直线型霓虹灯 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 135,ABA1A2A3 A4A5A6A7A8B1B2 B3 B4B5B6B7B8答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0r0.6)，S3 (r0.4)20.48，5所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；（2） 当 r0.3 时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得 ， ，13(0.,.6)AB35(0.,3.6)AB设向量 与 的夹角为 ，则 ，13AB5 5132cos|所以 A1B3、A 3B5 所在异面直线所成角的大小为 arcos3.（2010 年高考文
8、科 20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6米铁丝再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面） （1） 当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米） ；（2） 若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素） 答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0r0.6)，S3 (r0.4)20.48，所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；（2） 当 r0.3 时，l0.6，作三视图略4.（
9、2011 年高考理科 21）已知 是底面边长为 1 的正四棱柱， 为 与 的交点.1ABCD1OAC1BD（1）设 与底面 所成角的大小为 ，二面角 的大小为1AB1 1ABD求证： ；tan2t（2）若点 到平面 的距离为 ，求正四棱柱 的高C1431C6答案：解：设正四棱柱的高为 h 连 ， 底面 于 ， 与底面 所成的角为 ，即1AO1ABCD11AB1CD1AB1 ， 为 中点， ，又 ，BO1 是二面角 的平面角，即111 ， .1tanhA1tan2tanhA 建立如图空间直角坐标系，有 11(0,)(,0)(,)(,)BDCh zyxA1B1 C1 D1ABCDO1，设平面 的一
10、个法向量为 ，11(,0)(0,)(1,0)hhA1ABD(,)nxyz ，取 得11nABDz,nh 点 到平面 的距离为 ，则C2|0431Cd2h5.（2011 年高考文科 20）已知 是底面边长为 1 的正四棱柱，高1ABD 1A（1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；D1（2）求四面体 的体积1C7答案： 连 ， ，11,BDA11/,BDA 异面直线 与 所成角为 ，记 ，B22110cosAB 异面直线 与 所成角为 .D11arcos0 连 ，则所求四面体的体积1,C112443ABDCBDVV6.（2012 年高考理科 19）如图，在四棱锥 中，底面
11、是矩形， 底面 ， 是PAABCDPABCDE的中点，已知 ， ， ，求：PC2AB2（1）三角形 的面积D（2）异面直线 与 所成的角的大小.E答案：（1）因为 PA底面 ABCD，所以 PACD，又 ADCD，所以 CD平面 PAD，从而 CDPD. 因为 PD= 32)(2，CD=2，DCBAD1C1B1A18所以三角形 PCD 的面积为 3221. （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系，AB CDPExy则 B(2, 0, 0)，C (2, 2 ,0)，E (1, 2, 1)， )1,2(AE， )0,2(BC. 设 AE与 的夹角为 ，则 4|cosBC， = 4.由此可知，异面
12、直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 解法二取 PB 中点 F，连接 EF、AF，AB CDzPE则 EFBC，从而 AEF（或其补角）是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在 EF中，由 EF= 2、AF= 、AE=2，知 AEF是等腰直角三角形，所以AEF= 4. 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4 7.（2012 年高考文科 19）如图，在三棱锥 中， 底面 ， 是 的中点，已知 PBCBCDPBAC， ， ， ，求：2AB23CA（1）三棱锥 的体积P（2）异面直线 与 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）D9答案：（1） ，三棱锥 P-ABC 的体积为 . 32
13、21ABCS 343131 2PASVBC（2）取 PB 的中点 E，连接 DE、AE，PAB CDE则 EDBC，所以ADE （或其补角）是异面直线 BC 与 AD 所成的角. 在三角形 ADE 中，DE=2，AE= ，AD= 2， ，所以ADE= .432cosADE43arcos因此，异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是 . 43ar8.（2013 年高考理科 19）如图，在长方体 中， ， ， . 证明直线ABC2B1A平行于平面 ，并求直线 到平面 的距离BCDAC答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为 、(1,0)A、 、 、 (1,2)B(0,1)C(,20)(,)
14、D设平面 的法向量为 ，则 ， DAnuvwnDC因为 ， ， ， ，(,)(,1)00所以 ，解得 ， 取02uwv2v，1v得平面 的一个法向量 因为 ，所以 ，所以 ,n(,)B0nBnBC10又 不在平面 内，所以直线 与平面 平行由 ，BCDABCDA(1,0)CB得点 到平面 的距离 ， 2210()3nd所以直线 到平面 的距离为BA39.（2013 高考文科 19）如图，正三棱锥 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积OBC答案：由已知条件可知，正三棱锥 的底面 是边长为 2 的正三角形，OABC经计算得底面 的面积为 所以三棱锥的体积为 3133设 是正三角形 的中心由正三棱锥的性质可知， 垂直于平面 OOABC延长 交 于 ，得 ， ABCDAD又因为 ，所以正三棱锥的斜高 123故侧面积为 所以该三棱锥的表面积为 ，236因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为 3
