1、函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则ba0babxfxf 2)()(342ba31a 或 2)(1)( xfxf 或 二、 配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成g()fx()fgx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。 例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf)0()fx解： ， )()1(f22xf三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一
2、样，()fgx()fx要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(M)(,yMx3,2则 ，解得： ，32yxyx64点 在 上 ),(x)(xgy2把 代入得：64)()(2xy整理得 76)(2xxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组
3、，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 fxf)(显然 将 换成 ，得：,0x1 fxf)(21解 联立的方程组，得： xf3)(例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(f)(g,1)(xgxf )(xgf和解 为偶函数， 为奇函数，xfx)(),(gf又 ，1)(xgxf用 替换 得： 1)(xgf即 1)(xgxf解 联立的方程组，得， 1)(2xf x2)(六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、
4、y，等式 恒成立，求1)0(f )12()(yxfyxf )(xf解 对于任意实数 x、y，等式 恒成立，12)(ff不妨令 ，则有 )(0) 2yyyy再令 得函数解析式为：xy)(2xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abbfa)( )(xf解 ，f,)(，不妨令 ，得： ，1,x xfxf)1()(又 1)()1(ff故分别令式中的 得：,2xn(2)3,()1),ffnn 将上述各式相加得： ， nf32)1(32)(fNxxf,21)(
