1、函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则ba0babxfxf 2)()(342ba31a 或 2)(1)( xfxf 或 二、 配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成g()fx()fgx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。 例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf)0()fx解： ， )()1(f22xf三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一
2、样，()fgx()fx要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(M)(,yMx3,2则 ，解得： ，32yxyx64点 在 上 ),(x)(xgy2把 代入得：64)()(2xy整理得 76)(2xxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组
3、，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 fxf)(显然 将 换成 ，得：,0x1 fxf)(21解 联立的方程组，得： xf3)(例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(f)(g,1)(xgxf )(xgf和解 为偶函数， 为奇函数，xfx)(),(gf又 ，1)(xgxf用 替换 得： 1)(xgf即 1)(xgxf解 联立的方程组，得， 1)(2xf x2)(利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值
4、域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例 1、 求函数 的值域12xy象这种 分子、分母的最高次为 2 次的分式函数 可以考虑用判别式法求值域。解：由 得：12xy（y-1） x2+(1-y)x+y=0 上式中显然 y1,故式是关于 x 的一元二次方程131,0)(4)1(22，xyy，的 值 域 为 又解 得令用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数 的值域
5、。321xy错解：原式变形为 （）0)13()2()1( yxxy ， ，解得 。Rx4 213y故所求函数的值域是 21,03错因：把 代入方程（）显然无解，因此 不在函数的值域内。事实上， 时，y 21y 21y方程（）的二次项系数为 0，显然不能用“ ”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为 （）0)3()12()( xyx（1）当 时，方程（）无解；2y（2）当 时， ， ，解得 。Rx0)13(24)1( yy 213y综合（1） 、 （2）知此函数的值域为 ),03二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例 2：求函数 的值域。642xy错解：将函数式化为 0)36()4()1(
6、2yx（1）当 时，代入上式得 ， ，故 属于值域；y9x1y（2）当 时， ，)5(2y综合（1） 、 （2）可得函数的值域为 。R错因：解中函数式化为方程时产生了增根（ 与 虽不在定义域内，但是方程的根） ，3x2因此最后应该去掉 与 时方程中相应的 值。所以正确答案为 ，且 。3x2y1|y52三、注意变形后函数值域的变化例 3：求函数 的值域。21xy错解：由已知得 ，两边平方得 221)(xy整理得 ，由 ，解得 。022yx 08)2(2y故函数得值域为 。,错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了 的取值范围。由函数得定义域为 易知y 1,，因此函数得最小值不可能为 。 时， ， ，故函数的值1xy 21xymin域应为 。2,四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例 4：求函数 的值域。542xy错解：令 ，则 ， ，由 及 得值域为t 12ty02yt 0412y。21,0(y错因：解法中忽视了新变元 满足条件 。设 ， ， ，t2t yttf2)(0),2t。故函数得值域为 。210)()(,0yffy或 5y50，（综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。
