1、 高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式 过点 Po(x0,y0)，倾斜角为 的直线 l(如图)的参数方程是(t 为参数)atyxsinco0(2)一般式 过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tg= 的直线的参数方程
2、是ab(t 不参数) btyx0在一般式中，参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义，若 a2+b2=1,即为标准式，此时， t表示直线上动点 P 到定点 P0的距离；若 a2+b21，则动点 P 到定点 P0的距离是t .2ba直线参数方程的应用 设过点 P0(x0,y0),倾斜角为 的直线 l 的参数方程是（t 为参数）atyxsinco0若 P1、P 2是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t1,t2，则(1)P1、P 2两点的坐标分别是(x0+t1cos,y 0+t1sin)(x0+t2cos,y 0+t2sin)；(2)P 1P2=t 1-t2;(3)线段 P1P2的中点 P 所
3、对应的参数为 t，则t= t中点 P 到定点 P0的距离PP 0=t= 21t(4)若 P0为线段 P1P2的中点，则t1+t2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程是 ( 是参数)sincorbyax 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角，0,2(见图)(2)椭圆 椭圆 (ab0)的参数方程是12ya( 为参数)sincobyx椭圆 (ab0)的参数方程是12a( 为参数)sincoybx3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标
4、系，O 点叫做极点，射线 Ox 叫 做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点，用 表示线段 OM 的长度， 表示射线 Ox到 OM 的角度 ，那么 叫做 M 点的极径， 叫做 M 点的极角，有序数对(,)叫做 M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式sincoyx)0(22xytg三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例 1 在圆 x2+y2-4
5、x-2y-20=0 上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：（ 为参数）sin51co2yx则圆上点 P 坐标为(2+5cos ，1+5sin )，它到所给直线之距离 d=2340ic0故当 cos(-)=1，即 = 时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为(6，4)；当 cos(-)=-1,即 =- 时，d 最短，这时，点 B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例 2 极坐标方程 = 所确定的图形是（ ）co
6、sin321A.直线 B.椭圆 C.双曲 D.抛物线解： = )6sin(12)cos23(1 (三)综合例题赏析例 3 椭圆 （ ）的 两 个 焦 点 坐 标 是是 参 数 )(sin51yxA.(-3，5)，(-3，-3) B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1) D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得 125)(9)3(yxa 2=25,b2=9,得 c2,c=4.F(x-3,y+1)=F(0,4)在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选 B.例 4 参数方程 表 示)20()sin1(2coyxA.双曲线的一支，这支过点(1， ) B
7、.抛物线的一部分，这部分过(1，21)21C.双曲线的一支，这支过(-1， ) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得 x2=1+sin=2y(x0)即 y= x2(x0).1应选 B.例 5 在方程 ( 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )cosinyA.(2,-7) B.（ ， ） C.( ， ) D.(1，0)31221解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2将 x= 代入，得 y= 21应选 C.例 6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是( )A. B. C. D.tyxtyx2costytg2cos1tytg2cos
8、1解：普通方程 x2-y 中的 xR，y0，A.中 x=t0，B.中 x=cost-1,1 ，故排除 A.和 B.C.中 y= =ctg2t= =，即 x2y=1，故排除 C.tsinco21tg应选 D.例 7 曲线的极坐标方程 =sin 化 成直角坐标方程为( )A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4解：将 = ，sin= 代入 =4sin，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2yx2yx2=4.应选 B.例 8 极坐标 =cos( )表示的曲线是( )4A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解：原极坐标方程化
9、为 = (cos+sin) =cos+sin，212普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.应选 D.例 9 在极坐标系中，与圆 =4sin 相切的条直线的方程是( )A.sin=2 B.cos=2C.cos=-2 D.cos=-4 例 9 图解：如图. C 的极坐标方程为 =4sin，COOX,OA 为直径，OA=4,l 和圆相切，l 交极轴于 B(2，0)点 P(,)为 l 上任意一点，则有cos= ，得 cos=2，2OPB应选 B.例 10 4sin 2 =5 表示的曲线是( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线解：4sin 2 =5 4.5cos221cos把 = c
10、os=x，代入上式，得yx2 =2x-5.2平方整理得 y2=-5x+ .它表示抛物线.45应选 D.例 11 极坐标方程 4sin2=3 表示曲线是( )A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线解：由 4sin2=3,得 4 3,即 y2=3 x2，y= ,它表示两相交直线.2xy3应选 B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程 cos= 表示( )34A.一条平行于 x 轴的直线 B.一条垂直于 x 轴的直线C.一个圆 D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0 与圆： 的位置关系是( )(,sin2co为 参 数yxA.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3
11、.若(x，y)与(，)(R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：= 和 sin= ；= 和 tg= ， 2-9=0 和 = 3；62163tyxtyx3213和其中表示相同曲线的组数为( )A.1 B.2 C.3 D.44.设 M( 1， 1)，N( 2， 2)两点的极坐标同时满足下列关系： 1+ 2=0 ， 1+ 2=0，则 M，N 两点位置关系是( )A.重合 B.关于极点对称 C.关于直线 = D.关于极轴对称5.极坐标方程 =sin+2cos 所表示的曲线是( )A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线6.经过点 M(1，5)且倾斜角为 的直线，以定点 M
12、 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方3程是( )A B. C. D.tyx2351tyx2351tyx2351tx2157.将参数方 (m 是参数，ab0)化为普通方程是 ( )222mbyaxA. B.)(12axax )(12axbyaxC. D.)(2by )(28.已知圆的极坐标方程 =2sin(+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( )6A.(1, ),r=2 B.(1, ),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1, -3 3),r=29.参数方程 (t 为参数)所表示的曲线是( )21ytxA.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线10.双曲线 ( 为参数)的渐近线
13、方 程为( )sec21ytgxA.y-1= B.y= C.y-1= D.y+1=)(x1)2(x)2(x11.若直线 ( (t 为参数)与圆 x2+y2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为( )btya4A. B. C. 或 D. 3332或 512.已知曲线 (t 为参数)上的点 M，N 对应的参数分别为 t 1，t 2，且ptyx2t1+t2=0，那么 M，N 间的距离为( )A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22) C.2p(t 1-t2) D.2p(t1-t2)213.若点 P(x，y)在单位圆上以角速度 按逆时针方向运动，点 M(-2xy，y 2-x2)也在单位圆上运动
14、，其运动规律是( )A.角速度 ，顺时针方向 B.角速度 ，逆时针方向C.角速度 2,顺时针方向 D.角速度 2，逆时针方向14.抛物线 y=x2-10xcos+25+3sin-25sin 2 与 x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5 B.10 C.2 D.3315.直线 = 与直线 l 关于直线 = (R)对称，则 l 的方程是( )sinco234A B cos2C Dsic in3(二)填空题16.若直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，则过点(4，-1)且与 l 平行的直tyx5324线在 y 轴上的截距为 .17.参数方程 （ 为参数）化成普通方程为 .cos1inyx18.极
15、坐标方程 =tgsec 表示的曲线是 .19.直线 (t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点 P(x ，y)与点 M(-tyx321，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆 ( 为参数) 上一点 P，若点 P 在第一象限，且xOP= ，sin32co4yx 3求点 P 的坐标.21.曲线 C 的方程为 (p0，t 为参数)，当 t-1，2时 ，曲线 C 的端pyx2点为 A，B，设 F 是曲线 C 的焦点，且 SAFB =14，求 P 的值.22.已知椭圆 =1 及点 B(0，-2)，过点 B 作直线 BD，与椭圆的左 半部分交于2xC、D 两点，又过椭圆的右焦点 F2 作平行于 BD 的直线
16、，交椭圆于 G，H 两点.(1)试判断满足BCBD=3GF 2F 2H成立的直线 BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点 M 为弦 CD 的中点，S BMF2 =2，试求直线 BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 ( 为参数)的左焦点tgyx3sec48和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为 ，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.4924.A，B 为椭圆 =1，(ab0) 上的两点，且 OAOB，求AOB 的面积的最2yax大值和最小值.25.已知椭圆 =1，直线 l =1，P 是 l 上一点，射线 OP 交椭圆于点1624yx812yxR，又点 Q 在 OP 上且 满足OQOP=OR 2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y =-2(x- ),(x );18.抛 物线；19.135,|3 t|212(三)20.( )；21.54,8;3 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23. (27-3 )；24.S max= ，s max= ;5142ab225. =1(x,y)不同时为零) 2)(5)1(22yx
