高中数学圆锥曲线重要结论.doc

1、圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 .,2 021xyab7. 椭圆 (ab0) 的左右焦点分别为

2、 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积为 .21xya 1F12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2, ( , ).1|MFex20|ex1)c2(0)0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则MF NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M

3、为 AB 的中点，则 ，21xyab),(0yxOMBbka即 。02yaxbKAB双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .0(,)Pxy21xyb0 021xyab6. 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 P

4、o 作双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 .,2 021xyab7. 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为21xyb 1F.12tFPSc8. 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 21xyb1(0)c2()当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa当 在左支上时， ,0F9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N两点，则 MF NF.10. 过双曲线

5、一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则MF NF.11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，即 。21xyb ),(0yx 02yaxbKABOM 02yaxbAB12. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)P2 002xya13. 若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .,xy21xyb 2b椭圆与双曲线的对偶性质-椭 圆1. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，

6、与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是21xy1(0)Aa2().2a2. 过椭圆 (a0, b0) 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.21xy0(,)xy 20BCbxkay3. 若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, , ，则 .2 12P21Ftnt2aco4. 设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2 中，记 , ,21xy 12P12F，则有 .12FPsincea5. 若椭圆 （a

7、b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应21xy 21准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 ,当且仅当 三21xy 211|2|aAFPaAF2,点共线时，等号成立.7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是 .2200()()xyab0xByC2220()BbxyC8. 已知椭圆 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的21 OPQ221|POQab最大值为 ;（3）

8、 的最小值是 .4S2ab9. 过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .21xy |2FeMN10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 .2 0()20ababx11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、F 2 为其焦点记 ，则(1) .(2) 21xy 12F212|cosF.12tanPFSb12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点， , , ，c、e 分别是椭圆的半焦21xy PABBP

9、A距离心率，则有(1) .(2) .(3) .2|cos|PA2tan1e2cotPABabS13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且21xyablEFCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BC14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三

10、角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-双曲线1. 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程21xyb1(0)Aa2()是 .2a2. 过双曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且21xyb0(,)xy（常数）.02BCk3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）

11、支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, , ，则21xyb 12PF21PF（或 ）.tantccotnt2co4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2 中，记 , 21xyb 12, ，则有 .12PF12Psin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF12xyb 2是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 ,当且

12、仅当 三21xyb 21|AFaPF2,AP点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成立.2,AF7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条件是 .21xb0xByC22aBbC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .2y OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是 .22|OPQ 24abQS2ba9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .1xyb |2FeMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A 、B 是双曲线上的

13、两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 , 则 或2 0()0abx.0ax11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记 ，则(1) .(2) 21xyb 12FP212|cosbPF.12cotFS12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， , , ，c 、e 分别是双2xy ABBA曲线的半焦距离心率，则有(1) .2|cos|abPA(2) .(3) .2tan1e2tBS13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点

14、在右准线2xyblEFC上，且 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.lBC14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例

15、中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3，2） ，F（2，0） ，双曲线 ，P 为双曲线上一点。xy231求 的最小值。|P1解析：如图所示，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知 即点 P 到准线距离。12|F|PAPEAM15二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线 的椭圆短轴端点的轨迹方程。l解：取如图所示的坐标系，设点 F 到准线 的距离为 p（定值） ，椭圆中心坐标为 M（t，0） （t 为参数）l，而pbc2t再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y） ，则xtybp消去 t，得轨迹方程 2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知 ，且满足方程 ，又 ，求 m 范围。xyR,xy230()yx3解析： 的几何意义为，曲线 上的点与点（3，3）连线的斜率，如图所示m32()