1、 1第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知 的定义域，求 的定义域fx()fx()思路：设函数 的定义域为 D，即 ，所以 的作用范围为 D，又 f 对 作用，作用fgx()范围不变，所以 ，解得 ，E 为 的定义域。xg)( fg()例 1. 设函数 的定义域为（0，1 ） ，则函数 的定义域为_。fuxln解析：函数 的定义域为（0，1）即 ，所以 的作用范围为（0，1 ）()u()
2、0， f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 l解得 ，故函数 的定义域为（1，e）xe()， fx(ln)例 2. 若函数 ，则函数 的定义域为_。ff()解析：由 ，知 即 f 的作用范围为 ，又 f 对 f(x)作用所以x()1xxR|1，即 中 x 应满足fRf()且 f()f()x|2且（2） 、已知 的定义域，求 的定义域fgx()f思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对xgxE()x 作用，作用范围不变，所以 为 的定义域。E， f()例 3. 已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为_。fx()32x12， fx()解析： 的定义
3、域为 ，即 ，由此得， ， 3215，即函数 的定义域为fx()5，例 4. 已知 ，则函数 的定义域为_。fxlg2248fx()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知 的定义域为fx()lg2248x20fx()2()4， （3） 、已知 的定义域，求 的定义域fgx()fhx()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ， 的作用范围为 E，又 f 对f gxE()f作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，F 为 的定义域。hx()hxE()h例 5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 _。fx()21， fx(log)2解析： 的定义域为 ，即 ，由此得fx()， x1， 12x，的作用范
4、围为 又 f 对 作用，所以 ，解得f12，log2log2x， x24，即 的定义域为fx(log)24，（二）同步练习：1、 已知函数 (f的定义域为 1,0，求函数 )x(f2的定义域。答案： 1,2、 已知函数 )3的定义域为 3，求 的定义域。答案： 933、 已知函数 2xy的定义域为 ,，求 |)1|的定义域。答案：),()0,(三、复合函数单调性问题（ 1）引理证明已知函数 .若 在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(xgfy)(xuba,(在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 在区间 ）上是增函数.)(uf )(xgfyba,(证明：在区间 ）内任取两个
5、数 ，使ba,(21,x21因为 在区间 ）上是减函数，所以 ,记 , )xg, )(x)(1xgu即(2u),(21,21dcu且因为函数 在区间(c,d)上是减函数，所以 ,即 ，)(fy )(21ff)()(21xff故函数 在区间 ）上是增函数.)(xgfba,(（2） 复合函数单调性的判断3复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数 的单调性判断步骤：)(xgf 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：
6、 与 。)(ufy)(xg 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减)(xgfy函数），则复合后的函数 为减函数。)(xgfy（4）例题演练例 1、 求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明 奎 屯王 新 敞新 疆32lo1解：定义域 。单调减区间是 设102 xx或 ),3(则 121),3(,x且 )32(lg11y )2log12xy= )32(x)122xx012 又底数 012x1(20 即 在 上是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆
7、 同理可证： 在 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆y2y),y),(例2、讨论函数 的单调性.123(log)(xxfa解由 得函数的定义域为0132.31,|x或则当 时，若 ， 为增函数， 为增函数.ax2xu )12(log)(xfa若 ， 为减函数. 为减函数。3x2l)(2xfa当 时，若 ，则 为减函数，若 ，则10x13log)(2xfa 3为增函数.)2(log)(xfa4（5）同步练习：1函数 y （x 23 x2 ）的单调递减区间是（ ）1logA （，1） B （2，）C （， ）D （ ，）答案：B232 找出下列函数的单调区间.（1） ；（2）)1(32ayx .3
8、2xy答案：(1)在 上是增函数，在 上是减函数。,),（2）单调增区间是 ，减区间是 。33、讨论 的单调性。)0,(),1logaayx且答案： 时 为增函数， 时， 为增函数。,0(),(变式练习一、选择题1函数 f（x） 的定义域是（ ）)1(log2xA （1， ） B （2， ） C （，2） D 21(，解析：要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0，所以 解得 1x 2 答案：D)(log21 x2函数 y （x 23 x2）的单调递减区间是（ ）1lA （，1） B （2， ） C （， ） D （ ，）23解析：先求函数定义域为（o，1）（2，） ，令 t（
9、x ）x 23x 2，函数 t（x）在（，1）上单调递减，在（2 ，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y （x 23x2）在（2 ，）上单调递减答案：Blg3若 2 （x2y） x y，则 的值为（ ）llgA4 B1 或 C1 或 4 D 1错解：由 2 （x2 y） x y，得（x2y ） 2xy，解得 x4y 或 xy，则有 或ll 411答案：选 B 正解：上述解法忽略了真数大于 0 这个条件，即 x2y0 ，所以 x2y所以 xyyx5舍掉只有 x4y答案：D4若定义在区间（1 ，0）内的函数 f（x） （x 1 ）满足 f（x）0 ，则 a 的取值范围为（ a2log）
10、A （0， ） B （0， ） C （ ，） D （0，）21解析：因为 x（1，0 ） ，所以 x1（0 ，1） 当 f（x ）0 时，根据图象只有 02a l，解得0a （根据本节思维过程中第四条提到的性质） 答案：A5函数 y （ 1 ）的图象关于（ ）lgxAy 轴对称 Bx 轴对称 C原点对称 D直线 yx 对称解析：y （ 1） ，所以为奇函数形如 y 或 y 的函数都l 2xlgx1lgxl为奇函数答案：C二、填空题已知 y （2ax）在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是_alog解析：a0 且 a1 （ x）2ax 是减函数，要使 y （2ax）是减函数，则 a1，
11、又log2ax0 a （0x1） a2，所以 a（1，2 ） 答案：a （1，2）37函数 f（x）的图象与 g（x）（ ） x 的图象关于直线 y x 对称，则 f（2 xx2 ）的单调递减区3间为_解析：因为 f（x ）与 g（x ）互为反函数，所以 f（x） x31log则 f（2 xx 2） （2xx 2） ，令 （x）2 xx 20 ，解得 0x2 31lo（x）2xx 2 在（0 ，1）上单调递增，则 f （x） 在（ 0，1）上单调递减；（x）2xx 2 在（1 ，2）上单调递减，则 f （x） 在 1，2）上单调递增所以 f（2 xx 2）的单调递减区间为（0，1 ） 答案：（
12、0，1）8已知定义域为 R 的偶函数 f（x）在0，上是增函数，且 f（ ）0 ，则不等式 f（l og4x）的解集是 _解析：因为 f（x ）是偶函数，所以 f（ ）f （ ）0又 f（x）在0 ，上是增函数，2所以 f（x）在（ ，0 ）上是减函数所以 f（log 4x）0 log4x 或 log4x 21解得 x2 或 0x 答案：x2 或 0x1三、解答题10 设函数 f（x ） ，53 lg6（1）求函数 f（x）的定义域；（2）判断函数 f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数 f（x）的反函数 f1 （x ） ，问函数 yf 1 （x ）的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出
13、交点坐标；若无交点，说明理由解：（1）由 3x50 且 0，解得 x 且 x 取交集得 x 2 35223（2）令 （x）3 x5 ，随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；1 随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数 6又 ylg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y 是减函数，所以 f（x ）x23lg 是减函数532 lg（3）因为直接求 f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数 f（x）的反函数 f1 （x）与工轴的交点为（x 0，0） 根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与 y 轴的交点
14、是（0，x 0） ，将（0，x 0）代入 f（x） ，解得 x0 所以函数 yf 1 （x）的52图象与 x 轴有交点，交点为（ ，0 ） 。52一指数函数与对数函数 同底的指数函数 与对数函数 互为反函数；xyalogayx（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以 和 为桥梁；利用函数的单调性；作差0（三）例题分析：例 1 （1）若 ，则 ， ， 从小到大依次为 ；21ablogbalbloga（2）若 ，且 ， ， 都是正数，则 ， ， 从小到大依次为 ；35xyzxyz2x3y5z（3）设 ，且 （ ， ） ，则 与 的大小关系是 （ ）00b（ ） （ ） （ ） （ ）A1baB1abCaD1ab解：（1）由 得 ，故 2loglblog（2）令 ，则 ， ， ， ，35xyztl2txl3tyl5tz ， ；2lgl(g98)0lttxy同理可得： ， ， （3 ）取 ，知选（ ） 50xz5xz325yz1B
